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江苏省厉庄高级中学2008届高三第四阶段测试数学(文科)试题

时间:2011-06-14


届高三第四阶段测试数学(文科) 江苏省厉庄高级中学 2008 届高三第四阶段测试数学(文科)试题

一.填空题(每题 5 分,共 70 分) 填空题(
1.已知 z = 1 + i ,则

1+ z 等于 1+ z 2



2.与向量 a = (5, - 12) 共线的单位向量是

/>
. .

a 3.等差数列 { n }中, a2 + a3 + a4 = 6 , a5 = 6 ,则该数列的前 7 项的和为
4.已知命题 p : " x 危R,sin x

1 ,则 ?p :

.

5.若双曲线

x2 y 2 - 2 = 1 的 一 条 准 线 与 抛 物 线 y 2 = 8x 的 准 线 重 合 , 则 双 曲 线 的 离 心 率 8 b

. 为 6.下列流程图运行输出的结果为

7. 设两直线的方程分别为 x + y + a = 0, x + y + b = 0 , 已知 a, b 是关于 x 的方程 x + x + c = 0 的
2

两个实数根,且

1 1 ≤ c ≤ ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值的差为 16 8

?x + y ? 2 ≥ 0 ? 8.已知 ? x ? y + 2 ≥ 0 ,则 x 2 + y 2 的最小值为 ?x ≤ 2 ?
对于任意实数 x , f ( x ) ≥ 0 , 有 9. 已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c 的导数为 f ′( x ) ,f ′(0) > 0 ,



f (1) 的最小值为 f ′(0)
a // b ü ? ? ? b // g ; ? a // g ? ? ?

10. 设 m 、n 是不同的直线,a 、b 、g 是不同的平面,有以下四个命题:①



a ^ bü ? ? 轣m ? m // a ? ? ?

b ;③

m ^ aü ? ? 轣a ? m // b ? ? ?
x 2

b ;④

m // n ü ? ? ? m // a ,其中假命题是_____(填 ? n? a? ? ?

序号) . 11 . 下 列 函 数 中 : ① y = sin( +

p p p ) ; ② y = cos(2 x + ) ; ③ y = cos(2 x - ) ; ④ 6 3 6 p p y = sin(2 x - ) .同时具有性质①最小正周期是 p ;②图象关于直线 x = 对称;③ 在 6 3 p p [- , ] 上是增函数的函数为 (填序号) . 6 3 ì a (a < b ) ? x 12.定义运算 a ? b ? ,例如 1 ? 2 1 ,则函数 f (x)= 2  3 的值域为 . í ? b (a ? b) ? ?

14.函数 f ( x ) = ?

? 4 x ? 4, x ≤ 1 的图象和函数 g ( x ) = log 2 x 的图象的交点个数为 2 ?x ? 4x + 3 x > 1

.

解答题: 小题, 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 二、解答题: 本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (
⒖(本题满分 13 分) 已知 A 、 B 、C 是 △ ABC 的三个内角,向量 m = (- 1, 3) ,n = (cos A, sin A) 且 m ?n (1) 求角 A ; (2)若

1 .

1 + sin 2 B = - 3 ,求 tan B . cos 2 B - sin 2 B

π 16.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) = 2a sin 2 x ? 2 3a sin x ? cos x + b 的定义域为 [0, ] ,值域为
[?5,4];函数 g ( x) = a sin x + 2b cos x, x ∈ R . (Ⅰ) 求函数 g(x)的最小正周期和最大值; (Ⅱ) 当 x ∈ [0, π ] , 且 g(x) =5 时, 求 tan x.
2

17.(本题满分 15 分)某公司有价值 a 万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对 其进行技术改造,改造就需要投入,相应就要提高产品附加值.假设附加值 y 万元与技术改造投 入 x 万元之间的关系满足:① y 与 a ? x 和 x 的乘积成正比;②当 x =

a 时 , y = a 2 ;③ 2

0≤

x ≤ t. 其中 t 为常数,且 t ∈ [0,1] . 2( a ? x )
(1)设 y = f (x ) ,求出 f (x ) 的表达式,并求出 y = f (x ) 的定义域;

(2)求出附加值 y 的最大值,并求出此时的技术改造投入的 x 的值

18.已知正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 , O 是底 ABCD 对角线的交点. 证明: (1) C1O ∥面 AB1 D1 ; (2) A1C ^ 面 AB1 D1 .
D1 C1

A1 D

B1

C O A B

⒚(本题满分 16 分) 如图,已知曲线 C1 : y = x

3

(x  0)与曲线 C2 : y = - 2 x3 + 3x (x  0)交于
y C1 D A B O x= t C2

O 、 A 两点,直线 x = t (0 < t < 1)与曲线 C1 、 C2 分别交于
点B、D. (1)试写出四边形 ABOD 的面积 S 与 t 的函数关系式; (2)讨论 f (t )的单调性,并求出 f (t )的最大值.

x

⒛(本题满分 16 分) 设 f (x)=

x 1 , x = f (x )有唯一解, f (x1 )= , f (xn )= xn+ 1 (n  N * ). a (x + 2) 1003

(1)求 x2004 的值; (2)若 an =

a 2 + an 2 4 - 4009 且 bn = n+ 1 ? (n ? N * ),求证: b1 + b2 + 鬃 bn - n < 1 . 2 an + 1 an xn

江苏省厉庄高级中学 2008 届高三第四阶段测试

数学(文科)试题及参考答案
1.1 2. ? (

5 12 , ) 13 13
2

3.28

4. $ x ? R,sin x

1

5. 2

6. 26

7.

6 ?1 . 2

8.2 12. (0, 2]

9.

2

10.②④

11. (0,+  )

13.1 14.2 解答题: 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ⒖分析:本题考查向量与三角函数的结合.解题的关键是对三角函数式的化简要熟练. 解: (1)∵ m ?n

1 , \ - cos A +

3 sin A = 1 .--------------------------2

p 1 ) = .---------------------------------------------4 6 2 p p 5p ∵0 < A < p , \ - < A- < . 6 6 6 p p p 故 A= \ A = .-----------------------------------------6 6 6 3

\ sin( A -

(2)由

1 + sin 2 B 1 + 2sin B cos B = - 3 ,得 = - 3 .----8 2 2 cos B - sin B (cos B + sin B )(cos B - sin B )



cos B + sin B = - 3 ,--------------------------------------10 cos B - sin B 故 tan B = 2 .-----------------------------------------12

点拨:向量的数量积经常涉及到,要足够重视.且对三角函数的化简、求值、证明要加强练 16.解:f(x)=a(1-cos2x)- 3a sin2x+b =-a(cos2x+ 3 sin2x)+a+b=-2a sin(2x+
π
6

)+a+b . ----------------------------2 分

π π π 7π π 1 ∵x∈ [0, ] ,∴2x+ = [ , ] ,sin(2x+ )∈ [? ,1] . 显然 a=0 不合题意.--------3 分
2 6 ?b ? a = ?5, ? a = 3, (1) 当 a>0 时,值域为 ?b ? a, b + 2a ] ,即 ? ∴? -----------------------------5 分 ? ?b + 2a = 4, ?b = ?2. 6 6 6 2

(2) 当 a<0 时,值域为 [b + 2a, b ? a ] ,即 ?

?b ? a = 4, ? a = ?3, ∴? ······································· 6 分 ?b + 2a = ?5, ?b = 1.

(Ⅰ) 当 a>0 时,g(x)=3sinx?4cosx=5sin(x+?1), ∴T=2π, g(x)max=5; 当 a<0 时,g(x)= ?3sinx+2cosx= ? 13 sin(x+?2), ∴ T=π, g(x)max= 13 .······································································································ 8 分 (Ⅱ)由上可知, 4 π 当 a>0 时, 由 g(x)=5sin(x+?1),且 tan?1=? , g(x)max=5,此时 x+?1=2kπ + (k∈Z).
3 2

则 x=2kπ +

π
2

??1(k∈Z), x∈(0, π),∴tanx=cot ?1=? . ··············································· 10 分

3 4

当 a<0 时, g(x)max= 13 <5,所以不存在符合题意的 x. ············································· 12 分 综上,tan x=- . ------------------------------------------------------------------------------------14 分
3 4

17. 解:(1)设 y = k ( a ? x ) x . 由x=

a , y = a 2 ,得:k=4. 2 于是, y = 4( a ? x) x .---- ------3 分

解关于 x 的不等式: 0 ≤

x 2at .---- ------5 分 ≤ t ,得 0≤x≤ 2(a ? x) 1 + 2t

∴函数的定义域为 [0,

2at ] , t 为常数, t ∈ [0,1] .---- ------7 分 1 + 2t

a 2 ) + a2 . 2 2at a 1 a 当 ≥ 时, 即 ≤ t ≤ 1, x = 时, y max = a 2 ;---- ------9 分 1 + 2t 2 2 2 2at a 1 2at 当 < 时, 即0 ≤ t ≤ 时, y = 4( a ? x ) x在[0, ] 上 为 增 函 数 , 故 当 1 + 2t 2 2 1 + 2t
(2) y = 4( a ? x ) x = ?4( x ?

x=

2at 8at 2 时, ymax = .---- ------11 分 1 + 2t (1 + 2t ) 2

a 1 故 当 ≤ t ≤ 1 时,投入 x = 时,附加值 y 最大为 a 2 万元;---- ------13 分 2 2

8at 2 1 2at 当 0 ≤ t < 时,投入 x = 时,附加值 y 最大为 万元---- ------16 分 2 1 + 2t (1 + 2t ) 2
18.分析:本题考查立体几何中的线面平行、线面垂直.可通过添加辅助线,得到 C1O ∥ AO1 , 一定注意利用载体的几何性质.

D1

C1

A1 D

B1

C O A B

解: (1)连结 A1C1 ,设 A1C1 ∩ B1 D1 = O1 连结 AO1 ,

∵ ABCD - A1 B1C1 D1 是正方体,

\ A1 ACC1 是平行四边形. \ A1C1 ∥ AC 且 A1C1 = AC .
又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点, \ O1C1 ∥ AO 且 O1C1 = AO .

\ AOC1O1 是平行四边形 . \ C1O ∥ AO1 , AO1  面 AB1 D1 , C1O ? 面 AB1 D1

\ C1O ∥面 AB1 D1

------------------------------------------------8

(2)∵ CC1 ^ 面 A1 B1C1 D1 又∵ A1C1 ^ B1 D1 ,

\ CC1 ^ B1 D1 .

\ B1 D1 ^ 面A1C1C , 即A1C ^ B1 D1 .

同理可证 A1C ^ AB1 , 又 D1 B1 ∩ AB1 = B1 , \ A1C ^ 面 AB1 D1 .-----------------------------16 点拨:立体几何线面证明问题,对转化思想要能灵活运用,层层转化,最终得证. ⒚分析:本题考查导数的运用.运用导数研究函数的单调性.

ì y = x3 ? 得, O (0, 0)、 A ( ).------------------------------2 1,1 ? y = - 2 x3 + 3x ? ? 1 故 S = S△ ABD + S△OBD = BD 1- 0 2 1 1 3 = BD = (- 2t 3 + 3t - t 3 )= - (t 3 - t ) (0 < t < 1).-----------------6 2 2 2 3 3 9 2 3 ' (2)由 f (t )= - (t - t ),可得令 f (t )= - t + = 0 . 2 2 2
解: (1)由 ? í 得t =  

3 (负根舍去) .--------------------------------------------8 3

当0< t <

骣 3÷ 3 ' ÷ 时, f (t )> 0 ,从而 f (t )在区间 ?0, ? ? 3 ÷上单调递增;-------11 ÷ ? 3 桫



骣 3 3 ÷ < t < 1 时, f ' (t )< 0 ,从而 f (t )在区间 ?0, ÷上单调递减;--------14 ? ? 3 ÷ ÷ ? 3 桫 3 时, f (t )有最大值 3 骣3÷ 3 ? ÷ f ? ÷= ? 3 ÷ 3 .-------------------------16 ? 桫

故当 t =

点拨:导数研究函数有其优点,要善于用导数解决函数问题. ⒛分析:本题考查函数于数列的结合问题.解决关键是搞清题意,寻找突破口. 解: (1)由

x = x 得, ax 2 + (2a - 1)x = 0 有唯一解, a (x + 2)
1 2
,所以 f (x )=

故a =

2x .--------------------------------2 x+ 2



2 xn 1 1 1 = xn+ 1 ,得 = + ,------------------------------4 xn + 2 xn+ 1 xn 2

故数列 镲 睚

禳 镲 1 1 1 是一首项为 ,公差为 的等差数列, 镲n x x1 2 镲 铪 \ xn = 2 x1 .-----6 2 + (n - 1)x1

\

2 + (n - 1)x1 1 1 1 = + (n - 1)= . 2 x1 xn x1 2

∵ f (x1 )=

1 2 x1 1 2 = ,可得 , x1 = . x1 + 2 1003 1003 2005 2? 2 2005 2 .-------------------------8 n + 2004

所以 xn =

2 2 + (n - 1)  2005

=

\ x2004 =
(2) an =

2 1 = .---------------------------------10 2004 + 2004 2004

n + 2004 ? 4 4009 = 2n - 1 ,---------------------------------12 2 4n 2 + 1 1 1 = 1+ ,---------------------------------14 2 4n - 1 2n - 1 2n + 1
骣 1    + 1 1  n     桫 2n - 1 2n + 1 

bn =

骣 1鼢 骣 1 1 \ b1 + b2 + 鬃 bn - n = 珑+ 1- 鼢 1 + ? 1 + +鬃 ? 鼢 珑 珑 桫 3 桫 3 5

= 1-

1 < 1 .------------------------------18 2n + 1


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