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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 函数 第一章第六节 指数函数课件(理) 北师大版必修1


第六节 指数函数

1.根式 (1)根式的概念

根式的概念
如果 xn=a 那么x叫做a的n次方根

符号表示

备注
n>1且 n∈N+ 零的n次 方根是零

当n为奇数时,正数的n次方根是一 正数 个 ,负数的n次方根是一个 负数 当n为偶数时,正数的n

次方根有 两个 相反数 它们互为 ,

负数没有 偶次方根

(2)两个重要公式

?a n n ?a ① a =? ? |a|= ? ? ?-a ?
n
n

n为奇数 (a≥0) (a<0) n n为偶数 ;

②( a) =a(注意 a 必须使 a有意义).
2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念

m n m ①正分数指数幂: = a (a>0, n∈N+, n>1); a m、 且 n m 1 1 ②负分数指数幂:a- = = (a>0,m、n∈N+, n m n a am n 且 n>1).

分数指数幂与根式有何关系? 【提示】 分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运 算. (2)有理数指数幂的性质 ①aras=ar+s(a>0,r、s∈Q);

②(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q);
③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

(1)( a) 与 an 这两个式子虽然非常接近,但它们 的意义不同,差别很大,要注意区别. n m (2)在根式 a 中,只要 a>0,m,n∈N+,n>1,那么它 m 就可以化为分数指数幂 a . n

n

n

n

3.指数函数的图象和性质

函数 图象

y=ax(a>0,且a≠1) 0<a<1 a>1

在x轴

上方

,过定点 (0,1)

图象特征 定义域 值域 单调性
性 质

当x逐渐增大时,图象逐渐 当x逐渐增大时, 下降 图象逐渐上升

函数 值变化 规律

R (0,+∞) 递减 递增 y=1 当x=0时, y>1 0<y<1 当x<0 当x<0时, 0<y<1 ; y>1 ; 时, 当x>0 当x>0

指数函数的图象特征:

(1)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系:
在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从下到 上相应的底数由大变小;即无论在y轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变 大. (2)指数函数y=ax与y=x(a>0且a≠1)的图象关于y轴对称.

1.化简 16x8 y4 (x<0,y<0)得( ) 2 A.2x y B.2xy C.4x2 y D.-2x2 y

4

4 8 4 8 4 1 【解析】 ∵ 16x y =(16x y ) 4 1 =[24(-x)8· (-y)4] 4 1 1 1 =24× · (-x)8× · (-y)4× 4 4 4 2 2 =2(-x) (-y)=-2x y.
【答案】 D

2.函数f(x)=3-x-1的定义域、值域是( A.定义域是R,值域是R

)

B.定义域是R,值域是(0,+∞)
C.定义域是R,值域是(-1,+∞) D.以上都不对

【解析】 ∵y=3-x= 值域为(0,+∞),

,其定义域为R,

∴f(x)=3-x-1的定义域为R,值域为(-1,+∞).

【答案】 C

3.设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1),则下列等式不正确的是(

)

A.f(x+y)=f(x)·f(y)
B.f((xy)n)=fn(x)·fn(y) C.f(x-y)= D.f(nx)=fn(x) 【解析】 ∵f(x+y)=ax+y=ax·ay=f(x)·f(y), ,

f(x-y)=ax-y=ax÷ay=

f(nx)=anx=(ax)n=fn(x),∴A、C、D均正确,故选B.

【答案】

B

4.已知函数f(x)=a-

.若f(x)为奇函数,则a=______.

【解析】 ∵定义域为R,且函数为奇函数,

∴f(0)=0,即a-

=0,∴a=

.

【答案】

1 3 1 3 5.(2008 年重庆卷)若 x>0,则(2x +3 )(2x -3 )-4x 4 2 4 2 1 1 - (x-x )=________. 2 2

【解析】

1 3 1 3 1 1 (2x +3 )(2x -3 )-4x- (x-x ) 4 2 4 2 2 2

1 1 3 =4x -3 -4x +4 2 2 =-23.
【答案】 -23

指数幂的化简与求值

化简下列各式(其中各字母均为正数):
?1? 1 ( (1)? ? - · ? 4? 2

4ab 1)3



- - 1 0.1 2(a3b 3) 2

5 1 - 1 - 2 - 1 (2) a · 2· b (-3a- b 1)÷ (4a · 3) . b 6 3 2 3 2
【思路点拨】 (1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂,先化为分数

指数幂以便用法则运算; (2)题目中给出的是分数指数幂,先看其是否符合运算法则的条件,如符合用 法则进行下去,如不符合应再创设条件去求.

1 3 4 · 4 2 2 3 3 3 3 【解析】 (1)原式= a · b- · · a- b 100 2 2 2 2 4 0 0 4 = a·= . b 25 25 5 1 -3 2 -3 1 (2)原式=- a- b ÷ (4a · ) b 2 6 3 2 5 1 -3 1 3 5 1 3 =- a- b ÷ b- )=- a- · (a b- 4 6 3 2 4 2 2 5 1 5 ab =- · 3 =- . 4 ab 4ab2

指数函数的性质 求下列函数的定义域、值域及单调区间. (1)y=
【解析】

,(2)y=2x2-x-6.
(1)要使函数 y=2 1 有意义,则 x-4≠0, x-4

即 x≠4. ∴函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠4}. 1 1 又∵u= ≠0,∴2 ≠1. x-4 x-4 1 ∴y=2 的值域为{y|y>0,且 y≠1} x-4 1 1 1 又∵函数 y=2 可分解为 y=2u, u= , u= 而 x-4 x-4 x-4 在(-∞,4)上是减函数,在(4,+∞)上也是减函数.根据复 1 合函数的单调性的规律可得,函数 y=2 在(-∞,4)上是 x-4 减函数,在(4,+∞)上也是减函数.

(2)函数的定义域为 R,令 u=x2-x-6,则 y=2u. ? 1? 25 25 2 ?x- ? 2- ≥- , ∵二次函数 u=x -x-6= 2? 4 4 ? ? ?1? 25? ?y|y≥ ? ? ?. ∴函数的值域 ? ? 2? 4 ? 1 又∵二次函数 u=x2-x-6 的对称轴是 x= , 2 ?1 ? ? 1? 2 ? ,+∞?上 u=x -x-6 是增函数,在?-∞, ? 上是 在 2? ?2 ? ? ?1 ? 减函数, 又函数 y=2u 是增函数. ∴y=xx2-x-6 在? ,+∞? ?2 ? ? 1? 是增函数,在?-∞, ?上是减函数. 2? ?
涉及复合函数单调性问题,首先应弄清函数是由哪些基本函数复合 得到的,求出复合函数的定义域,然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层 函数的单调区间.利用定义证明时可分层比较,对于内外层函数,注意“同增异 减”.

1.已知函数f(x)= (1)讨论函数的单调性; (2)求函数的值域.
【解析】 (1)由复合函数的单调性求解. 令 u(x)=x2-2x=(x-1)2-1, ∴其对称轴为 x=1,开口向上, 故 u(x)在(-∞, 1]上是减函数, 在[1, +∞)上是增函数, ?1? 而 f(u)=? ? u 是递减函数, 由“同则增, 异则减”可知 f(x) ? 3?
?1 ? =? ?x2-2x 的单调递增区间是(-∞,1], ?3 ? 单调递减区间为[1,+∞).

1 (2)∵x2-2x=(x-1)2-1≥-1,而 0< <1, 3 ?1 ? ?1? - ∴0<? ?x2-2x≤ ? ? 1=3, ?3 ? ? 3? ∴函数 f(x)的值域为(0,3].

指数函数的综合问题 已知f(x)= (1)判断f(x)的奇偶性; (2)讨论f(x)的单调性; (3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立.求b的取值范围. (ax-a-x)(a>0且a≠1).

【解析】 (1)函数定义域为R,关于原点对称.
又因为f(-x)= 所以f(x)为奇函数. (a-x-ax)=-f(x),

(2)当a>1时,a2-1>0, y=ax为增函数,y=a-x为减函数, 从而y=ax-a-x为增函数, 所以f(x)为增函数. 当0<a<1时,a2-1<0, y=ax为减函数,y=a-x为增函数, 从而y=ax-a-x为减函数. 所以f(x)为增函数. 故当a>0,且a≠1时,f(x)在定义域内单调递增.

(3)由(2)知f(x)在R上是增函数, ∴在区间[-1,1]上为增函数.

所以f(-1)≤f(x)≤f(1),

∴要使f(x)≥b在[-1,1]上恒成立,则只需b≤-1,

故b的取值范围是(-∞,-1].

(1)函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题,常以指

数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题.
(2)求参数的范围也是常考内容,难度不大,但极易造成失分, 因此对题目进行认真分析,必要的过程不可少,这也是高考阅卷中

十分强调的问题.

2.已知f(x)= (1)求函数f(x)的定义域; (2)讨论f(x)的奇偶性;

(a>0且a≠1).

(3)求a的取值范围,使f(x)>0在定义域上恒成立. 【解析】 (1)由于ax-1≠0,则ax≠1,得x≠0, 所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}.

(2)对于定义域内任意 x,有 ? 1 1? ? f(-x)= ? - x + 2?(-x)3 ? ?a -1 ? x ? a 1? ? ? 3 =? x+ ? (-x) 2? ? 1-a ? 1 1? ? + ?(-x)3 =?-1- x a -1 2? ? ? ? 1 1? 3 ? + ?x =? x ? ?a -1 2? =f(x). ∴f(x)是偶函数.

(3)当a>1时,对x>0,由指数函数的性质知ax>1,

∴ax-1>0,
又x>0时,x3>0,∴x3 即当x>0时,f(x)>0.

>0,
>0,

又由(2),f(x)为偶函数,知f(-x)=f(x), 当x<0时,-x>0,有f(-x)=f(x)>0成立. 综上知a>1时,f(x)>0在定义域上恒成立. 对于0<a<1时,f(x)= 当x>0时,1>ax>0,ax+1>0, ax-1<0,x3>0,此时f(x)<0,不满足题意; 当x<0时,-x>0,f(-x)=f(x)<0,也不满足题意.

综上,所求a的范围是a>1.

近几年高考主要考查指数运算和指数函数图象,或由指数函数复 合而成的函数.对指数函数考查多是指数函数的综合问题及比较大 小、图象等问题.

1.(2009年山东卷)函数y=

的图象大致为(

)

【解析】 y= 【答案】

函数有意义,需使ex-e-x=0,其定义域为{x|x≠0},排除C,D.又因 ,所以当x>0时函数为减函数,故选A. A

2.(2008年安徽)若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数,且满足f(x)- g(x)=ex,则有( ) B.g(0)<f(3)<f(2) D.g(0)<f(2)<f(3)

A.f(2)<f(3)<g(0) C.f(2)<g(0)<f(3)

【解析】 ∵f(x)-g(x)=ex且f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数, ∴f(-x)-g(-x)=e-x,即-f(x)-g(x)=e-x, 解得f(x)= ,g(x)=- .

∵f(x)在[0,+∞)上是增函数, ∴f(3)>f(2)>f(0)=0且g(0)=-1, ∴g(0)<f(2)<f(3),故选D. 【答案】 D

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