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第十五讲 圆的方程复习


圆的方程复习
一、基础知识
1.圆的方程 圆的标准方程为___________________;圆心_________,半径________. 圆的一般方程为___________ _________ ____; 圆心________ , 半径__________.

圆的直径式方程 【圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B(

x2 , y2 ) 】. 与 x 轴相切的圆的方程 与 y 轴相切的圆的方程 二元二次方程 Ax + Cy + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件为: (1)_______ _______; 2.点和圆的位置关系
2 2

. .
2

2

(2) _______

__ .

点与圆的位置关系,点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种: 若 d ? (a ? x0 ) ? (b ? y0 ) , 则d ? r ? ;d ? r ? ;d ? r ?
2 2 2

3.直线和圆的位置关系:直线 Ax ? By ? C ? 0 ,圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,圆心到直线 的距离为 d. 则: (1)d=_________________;

? 相离 ? _________ (2) ________ ; ________? 相交 ? _________ ________? 相切 ? _________
4. 两圆的位置关系
2 2 圆 C1 : ( x - a1 ) + ( y - b1 ) = r1 ; 圆 C2 : ( x - a2 ) + ( y - b2 ) = r2 2 2 2 2

设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d

__________ __ ? 外离 ? _____条公切线 __________ __ ? 外切 ? _____条公切线 __________ __ ? 相交 ? _____条公切线 __________ __ ? 内切 ? _____条公切线 __________ __ ? 内含 ? _____条公切线
5. 圆系方程 (1) 过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交点的圆系方程 是 ,λ 是待定的系数.
2 2
2 2 (2)过圆 C1 : x2 ? y2 ? D1x ? E1 y ? F 1 ? 0 与圆 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F 2 ? 0 的交点

的圆系方程是

,λ 是待定的系

数. (3)两圆相交弦所在直线方程的求法: 2 2 2 2 圆 C1 的方程为:x +y +D1x+E1y+C1=0,圆 C2 的方程为:x +y +D2x+E2y+C2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为: 6.圆的切线方程 (1)已知圆 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ① 若 已 知 切 点 ( x0 , y0 ) 在 圆 上 , 则 切 线 只 有 一 条 , 其 方 程 是 当 ( x0 , y0 ) 圆外时, . 表示过两个切点的切 点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x2 ? y 2 ? r 2 . ①过圆上的 P 0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 为 ;②斜率为 k 的圆的切线方程

二、题型总结:
类型一:圆的方程

B(3 , 2) 且圆心在直线 y ? 0 上的圆的标准方程并判断点 P(2 , 4) 与 例 1 求过两点 A(1 , 4) 、
圆的关系. 例 2.求经过点 A(2,-1),和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上的圆 的方程. 例 3.已知一圆过 P(4,-2)、Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3,求圆的方程. 练习 1.求满足下列条件的圆的方程: (1)已知△ABC 的三个项点坐标分别是 A(4,1) ,B (6,-3) ,C(-3,0) ,求△ABC 外接圆的方程. (2)经过点 P(4,2),Q(-6,-2),且圆心在 y 轴上. (3)求经过 A(6,5),B(0,1)两点,并且圆心在直线 3x+10y+9=0 上的圆的方程. 例 4.已知圆 x2+y2-2ax-2y+(a-1)2=0(0<a<1),则原点 O 在 ( ) B.圆外
2, 2 2

A.圆内 A.在圆内
2

C.圆上 C.在圆上
2

D.圆上或圆外 ( D.不确定 )

练习 1.(1)点 P(m 5)与圆 x +y =24 的位置关系是 B.在圆外
2

2.如果圆的方程为 x +y +kx+2y+k =0,那么当圆面积最大时,圆心坐标为________. 类型二:切线方程、切点弦方程、公共弦方程弦长、弧问题 例 5 已知圆 O:x ? y ? 4 ,求过点 P?2, 4? 与圆 O 相切的切线.
2 2

例 6、过圆 x ? y ? 1 外一点 M ( 2,3) ,作这个圆的两条切线 MA 、 MB ,切点分别是 A 、 B ,求直线 AB 的方程。
2 2

练习:

1.求过点 M (3,1) ,且与圆 ( x ?1)2 ? y 2 ? 4 相切的直线 l 的方程.
2 2 2、过坐标原点且与圆 x ? y ? 4 x ? 2 y ?

5 ? 0 相切的直线的方程为 2
2

3、已知直线 5 x ? 12 y ? a ? 0 与圆 x ? 2 x ? y ? 0 相切,则 a 的值为
2

.

例 7、求直线 l : 3x ? y ? 6 ? 0 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦 AB 的长.

例 8、已知直线 l : m x ? (m ? 1) y ? 3 . (Ⅰ)求直线 l 斜率的取值范围; (Ⅱ )若直线 l 被圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 y - 8 ? 0 截得的 弦长为 4,求直线 l 的方程.

例 9、求两圆 x 2 ? y 2 ? x ? y ? 2 ? 0 和 x 2 ? y 2 ? 5 的公共弦长

2. 已知圆 C 和 y 轴相切, 圆心 C 在直线 x-3y=0 上, 且被直线 y=x 截得的弦长为 2 7, 求圆 C 的方程. 三、课后练习 1.方程 x2+y2-x+y+m=0 表示一个圆,则 m 的取值范围是 1 1 A.m≤2 B.m< C.m<2 D.m≤ 2 2 点都在圆 C 上,则 a=________. 3.圆的一条直径的两个端点是(2,0),(2,-2),则此圆的方程是 A.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=1 ( ) ( )

2.已知圆 C:x2+y2+2x+ay-3=0(a 为实数)上任意一点关于直线 l:x-y+2=0 的对称

D.(x+2)2+(y+1)2=1 3 4.圆(x-1)2+y2=1 的圆心到直线 y= x 的距离为 ( ) 3 1 3 A. B. C.1 D. 3 2 2 5.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相切,则 m 为( ) A.0 或 2 B.2 C. 2 D.无解 6.若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共 点,则实数 a 的取值范围是( ) A.[-3,-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 2 2 7.圆 x +y -4x+4y+6=0 截直线 x-y-5=0 所得的弦长等于( ) 5 2 A. 6 B. C.1 D.5 2 8.垂直于 x 轴的直线 l 被圆 x2+y2-4x-5=0 截得的弦长为 2 5,则直线 l 的方程为 __________. 9.自点 A(2,3)作圆 x2+y2-2y-4=0 的切线,则切线长为________.
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10.已知圆 C 过点(1,0),且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l:y=x-1 被该圆所截得的弦长 为 2 2,则圆 C 的标准方程为____________. 11.直线 l 将圆 x2+y2-2x-4y=0 平分,且与直线 x+2y=0 垂直,则直线 l 的方程为( A.y=2x 1 3 C.y= x+ 2 2 方程是 A.(x-2) +(y-1) =1 C.(x+2)2+(y-1)2=1 . 二、能力提升 14.方程 y= 9-x2表示的曲线是 A.一条射线 C.两条射线 A.第一象限 C.第三象限
2 2 2 2

)

B.y=2x-2 1 3 D.y= x- 2 2 ( B.(x-2) +(y+1) =1 D.(x-3)2+(y-1)2=1
2 2

12.若圆 C 半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准 )

( B.一个圆 D.半个圆

)

15.若直线 y=ax+b 通过第一、二、四象限,则圆(x+a)2+(y+b)2=1 的圆心位于( B.第二象限 D.第四象限

)

16.如果直线 l 将圆(x-1) +(y-2) =5 平分且不通过第四象限,那么 l 的斜率的取值范围 是________. 17. 由 x - y + 1 = 0 上的点 P 向圆 ( x - 3) + ( y + 2) = 1 引切线, 则切线长的最小值是 .
2 2


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