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江苏省滨海县八滩中学2015届高三第二次月考(12月)数学试题 Word版含答案


滨海县八滩中学 2015 届高三第二次月考 数学试卷
1.已知集合 A ? ?1,2,3? , B ? ?2, a? ,若 A
2

2014-12-9

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.

B ? ?0,1, 2,3? ,则 a 的值为______________。



2.对于命题 p : ?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ? p 为:__________________________。 3.已知幂函数 f ( x) ? k ? x? 的图象过点 ( , 4.若函数 f ( x) ? log a ( x ?

1 2

2 ) ,则 k ? ? =______________。 2

x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数,则 a ? ____________。

5.已知 | a |? 1, b ? (?1, 3),| a ? b |? 3 ,则 a 与 b 的夹角为____________。 6.设 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? 1, q ? 3, S k ? 364 ,则 ak ? ______________。 7.圆心在直线 2 x ? y ? 0 上,且与直线 y ? 1 ? x 相切于点 (2,?1) 的圆的标准方程为______。 8.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列正确命题的序号是__________。 (1)若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n; (2)若 m ? ? , m ? n 则 n / /? ;

(3)若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 ? ? ? ;(4)若 m ? ? , ? // ? ,则 m // ? 。

|x| ? kx 2 有两个不同的实数解,则实数 k 的取值范围是___________。 x?2 ? 1 4 10.已知 0 ? ? ? ? ? ? ? ,且 cos ? ? , cos( ? ? ? ) ? ? ,则 cos? ? ___________。 2 3 5
9.若关于 x 的方程 11.若函数 f ( x) ? mx2 ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围是__________。 12.设函数 f ( x ) ? ax ?

b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x ? 4 y ? 12 ? 0 。 x

则曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所围成的三角形面积为_____。 13.设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则 BC ? AO = 。

14.数列{an}的奇数项成等差数列,偶数项成等比数列,公差与公比均为 2,并且 a2+a4 ? a1 +a5, a4+a7 ? a6+a3。 则使得 am ? am?1 ? am?2 ? am ? am?1 ? am?2 成立的所有正整数 m 的值为 _______________。 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字

说明、证明或演算步骤. 15.已知 f ( x) ? 3 sin( x ?

?
3

) ? cos x 。

(1)求 f ( x ) 在 [0, ? ] 上的最小值; (2)已知 a, b, c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边,b ? 5 3, cos A ? 的长。

3 ,且 f ( B) ?1 ,求边 a 5

? 16.如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 ABB1 A 1 均为正方形, ?BAC ? 90 , 1 和侧面 ACC1 A

D为BC的中点。
(1)求证: A1 B // 平面ADC1 ; (2)求证:平面 C1 AD ? 平面 A1B1C 。

17.已知圆 M 的方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 ,点 P 在直线 l 上,过 P

点作圆 M 的切线 PA, PB ,切点为 A, B 。 (1)若 P 点的坐标为 (2,1) , 过 P 作直线与圆 M 交于 C , D 两点, 当 CD ? 方程; (2)求证:经过 A, P , M 三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标。 求直线 CD 的 2 时,

8.一走廊拐角处的横截面如图所示,已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径为 1 m 的四分之一圆 弧, AB , DC 分别与圆弧 BC 相切于 B , C 两点, EF ∥ AB , GH ∥ CD ,且两组平行 墙壁间的走廊宽度都是 1m 。 (1)若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M , N 分别在外壁 CD 和 AB 上, 且木棒与内壁圆弧相 切于点 P 。设 ?CMN ? ? (rad) ,试用 ? 表示木棒 MN 的长度 f (? ) ; (2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值。 C

?

M

D 1m

B

P

G

H 1m

m
N F Q

A

1m

1m
m

E

19.已知数列 {an } 中, a2 ? 1 ,前 n 项和为 Sn,且 Sn ? (1)求 a1; (2)证明数列 {an } 为等差数列,并写出其通项公式; (3)设 lg bn ?

n(an ? a1 ) 。 2

an ?1 ,试问是否存在正整数 p,q(其中 1<p<q),使 b1,bp,bq 成等比数列?若存在, 3n

求出所有满足条件的数组(p,q);若不存在,说明理由。

20.已知函数 f ( x) ? a ln x ? x 2 (a 为实常数 ) 。 (1)若 a ? ?2 ,求证:函数 f ( x) 在 (1,??) 上是增函数; (2)求函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值及相应的 x 值; (3)若存在 x ? [1, e] ,使得 f ( x) ? (a ? 2) x 成立,求实数 a 的取值范围。

滨海县八滩中学 2015 届高三第二次月考 数学试卷参考答案及评分标准
1.0; 6.243; 10. ? 2.?x ? R ,使得 x ? x ? 1 ? 0 , ;
2

3. 3 ; 2 8.(3)、(4); 13. ?

4.

2 ; 2

5.

2? ; 3

7. ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 2 ;
2 2

9. (??,0) ? (0,1) ;

6 2?4 ; 15

11. m ?

1 ; 2

12.6;

25 ; 2

14.1。

15.(1) f ( x) ? 3 ?

? sin x ? 3 ? 2 ? 2 cos x ? ? ? cos x ? ?
4分

?
?

3 1 ?? ? sin x ? cos x ? sin ? x ? ? 2 2 6? ?
∴当 x ? ? 时 f ( x) min ? ?

?
6

? x?

?
6

?

(2)∵ x ? ∴B ?

?
6

7? 6

? 2 k? ?

?
2

1 ; 2

7分

, k ? Z 时 f ( x) 有最大值, B 是三角形内角
10 分

?
3

∵ cos A ?

3 5

∴ sin A ?

4 5
∴a ? 8. 14 分

∵正弦定理

a b ? sin A sin B

16.(1) 证明:连接 A1C 交 AC1 于点 O ,连接 OD ∵四边形 ACC1 A1 为正方形 ∴ O 为 A1C 的中点上

又 D 为 BC 的中点, ? OD为?A1 BC 的中位线,

? A1 B ∥ OD ? OD ? 平面ADC1 , A1 B ? 平面ADC1 ,

? A1 B // 平面ADC1 ………………………………7 分
(2)由(1)可知, C 1 A ? CA1 .
?, ? 侧面 ABB 1A 1 为正方形, A 1 B1 ? AA 1 , 且 ?B1 A 1C ? ?BAC ? 90

∴ A1 B1 ? 平面 ACC1 A1 ∴ C1 A ? 平面 A1 B1C

又∵ C1 A ? 平面 ACC1 A1 又 C1 A ? 平面 C1 AD

∴ A1 B1 ? C1 A

∴平面 C1 AD ? 平面 A1 B1C ………………………………………………14 分 17. (1)易知 k 存在,设直线 CD 的方程为: y ? 1 ? k ( x ? 2)

由题知圆心 M 到直线 CD 的距离为 解得, k ? ?1 或 k ? ?

2 2 ?2k ? 1 ,所以 , ? 2 2 1? k 2

……………2 分

1 , 7

…………………………………4 分

故所求直线 CD 的方程为: x ? y ? 3 ? 0 或 x ? 7 y ? 9 ? 0 .………………………6 分 (2)设 P(2m, m) , MP 的中点 Q ( m,

m ? 1) ,因为 PA 是圆 M 的切线 2

所以经过 A, P , M 三点的圆是以 Q 为圆心,以 MQ 为半径的圆, 故其方程为: ( x ? m) ? ( y ?
2

m m ? 1) 2 ? m2 ? ( ? 1)2 ……………………………10 分 2 2

化简得: x2 ? y 2 ? 2 y ? m( x ? y ? 2) ? 0 ,此式是关于 m 的恒等式, 故?

? x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0, ? x ? y ? 2 ? 0,

解得 ?

? x ? 0 ? x ? 1, 或? ? y ? 2 ? y ? 1.

所以经过 A, P , M 三点的圆必过定点 (0, 2) 或 (1,1) .…………………………………14 分 18.(1)如图, 设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q , 过 Q 点作 CD 垂线, 垂足为点 T , 且交 MN 或 其延长线与于 S ,并连接 PQ ,再过 N 点作 TQ 的垂线,垂足为 W . 在 Rt ?NWS 中,因为 NW ? 2 , ?SNW ? ? ,

2 C T . cos ? ? 因为 MN 与圆弧 FG 切于点 P ,所以 PQ ? MN , 在 Rt ?QPS ,因为 PQ ? 1 , ?PQS ? ? , S B P G 1 1 所以 QS ? , QT ? QS ? 2 ? , cos ? cos ? ①若 S 在线段 TG 上,则 TS ? QT ? QS Q F TS QT ? QS N W ? 在 Rt ?STM 中, MS ? , sin ? sin ? QT ? QS 因此 MN ? NS ? MS ? NS ? sin ? 1m A E ②若 S 在线段 GT 的延长线上,则 TS ? QS ? QT TS QS ? QT ? 在 Rt ?STM 中, MS ? , sin ? sin ? m QS ? QT QT ? QS ? NS ? 因此 MN ? NS ? MS ? NS ? sin ? sin ? QT ? QS 2 2 1 ? ?( ? ) f (? ) ? MN ? NS ? sin ? cos ? sin ? sin ? cos ? 2(sin ? ? cos ? ) ? 1 ? ? (0 ? ? ? ) .………………………………………8 分 sin ? cos ? 2 t 2 ?1 (2)设 sin ? ? cos ? ? t (1 ? t ? 2) ,则 sin ? cos ? ? , 2 4t ? 2 因此 f (? ) ? g (t ) ? 2 . t ?1 4(t 2 ? t ? 1) 因为 g ?(t ) ? ? ,又 1 ? t ? 2 ,所以 g ?(t ) ? 0 恒成立, (t 2 ? 1)2
所以 NS ?

M

D 1m H 1m

m

1m

因此函数 g (t ) ? 即 MNmin

4t ? 2 在 t ? (1, 2] 是减函数,所以 g (t )min ? g ( 2) ? 4 2 ? 2 , t 2 ?1 ? 4 2 ?2.

答:一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为 4 2 ? 2 . …………………………………………………………………………16 分 1(a ? a ) 19.解:(1)令 n=1,则 a1=S1= 1 1 =0. …………………………2 分 2 (2)由 Sn ? 得

n(an ? a1 ) na ,即 Sn ? n , 2 2 (n ? 1)an ?1 . 2

① ② ③ ④ ………………………6 分

Sn ?1 ?

②-①,得

(n ? 1)an ?1 ? nan .

于是, nan ? 2 ? (n ? 1)an ?1 . ③+④,得 nan ? 2 ? nan ? 2nan ?1 ,即 an ? 2 ? an ? 2an ?1 . 又 a1=0,a2=1,a2-a1=1, 所以,数列{an}是以 0 为首项,1 为公差的等差数列. 所以,an=n-1.

………………………………………………………………8 分

(3)假设存在正整数数组(p,q),使 b1,bp,bq 成等比数列,则 lgb1,lgbp,lgbq 成等差数列, 于是,

2p 1 q ? ? . 3 p 3 3q

…………………………………………………………10 分

所以, q ? 3q (

2p 1 ? ) (☆). 3p 3

易知(p,q)=(2,3)为方程(☆)的一组解. …………………………………………12 分 当 p≥3,且 p∈N*时, 于是

2( p ? 1) 2 p 2 ? 4 p 2p ? p ? p ?1 <0,故数列{ p }(p≥3)为递减数列, p ?1 3 3 3 3

2p 1 3 ? 1 <0,所以此时方程(☆)无正整数解.……………………14 分 ? ≤ 2? 3 p 3 3 3 3

综上,存在唯一正整数数对(p,q)=(2,3),使 b1,bp,bq 成等比数列. ……………16 分 20.(1)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 ln x ,当 x ? (1,??) , f ?( x) ?

2( x 2 ? 1) ? 0, x

故函数 f ( x) 在 (1,?? ) 上是增函数.………………………………………2 分 (2) f ?( x) ?

2x 2 ? a ( x ? 0) ,当 x ?[1, e] , 2x 2 ? a ?[a ? 2, a ? 2e 2 ] x

①若 a ? ?2 , f ?( x ) 在 [1, e] 上非负(仅当 a ? ?2 ,x=1 时, f ?( x) ? 0 ) ,故函数 f ( x) 在 [1, e] 上 是增函数,此时 [ f ( x)] min ? f (1) ? 1 . ……………………………………………4 分

②若 ? 2e 2 ? a ? ?2 ,当 x ?

?a 时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2

?a 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 2

是减函数; 当

?a ?a ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 是增函数.故 [ f ( x)] min ? f ( ) 2 2

?

a a a ln(? ) ? .……………………………………………6 分 2 2 2

③若 a ? ?2e 2 , f ?( x ) 在 [1, e] 上非正 (仅当 a ? ?2e 2 , x=e 时, f ?( x) ? 0 ) , 故函数 f ( x) 在 [1, e] 上是减函数,此时 [ f ( x)] min ? f (e) ? a ? e 2 .…………………………………8 分 综上可知,当 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值为 1,相应的 x 值为 1;当 ? 2e 2 ? a ? ?2 时, f ( x)

的最小值为

?a a a a ;当 a ? ?2e 2 时, f ( x) 的最小值为 a ? e 2 , ln(? ) ? ,相应的 x 值为 2 2 2 2

相应的 x 值为 e ……………………………………………………………10 分 (3)不等式 f ( x) ? (a ? 2) x , 可化为 a( x ? ln x) ? x 2 ? 2 x .

∵ x ?[1, e] , ∴ ln x ? 1 ? x 且等号不能同时取,所以 ln x ? x ,即 x ? ln x ? 0 , 因而 a ?

x 2 ? 2x ( x ?[1, e] )……………………………………………………………12 分 x ? ln x
x 2 ? 2x ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) ( x ?[1, e] ) ,又 g ?( x) ? ,………………………14 分 x ? ln x ( x ? ln x) 2

令 g ( x) ?

当 x ? [1, e] 时, x ? 1 ? 0, ln x ? 1 , x ? 2 ? 2 ln x ? 0 , 从而 g ?( x) ? 0 (仅当 x=1 时取等号) ,所以 g ( x) 在 [1, e] 上为增函数, 故 g ( x) 的最小值为 g (1) ? ?1 ,所以 a 的取值范围是 [?1,?? ) . ………………………16 分


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