nbhkdz.com冰点文库

2007年“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题参考答案

时间:2011-06-17


中国教育学会中学数学教学专业委员会 《数学周报》 “ 数学周报》杯”2007 年全国初中数学竞赛试题参考答案
小题, 一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分. 以下每道小题均给出了 选择题( 的四个选项, 其中有且只有一个选项是正确的 代号为 A,B,C,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确 选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分) 选项的代号填入题后的括号里 不填、多填或错填得零分) ? x + y = 12, ? 1.方程组 ? 的解的个数为( ?x + y = 6 ? (A)1 (A) . 答: (B) 2 ) . (D)4

(C) 3

? x + y = 12, ? 于是 y ? y = ?6 ,显然不可能. 解:若 x ≥0,则 ? ? x + y = 6, ?

若 x < 0 ,则

?? x + y = 12, ? ? ? x + y = 6, ?

于是 y + y = 18 ,解得 y = 9 ,进而求得 x = ?3 .
? x = ?3, 所以,原方程组的解为 ? 只有 1 个解. ? y = 9,

故选(A) .
2.口袋中有 20 个球,其中白球 9 个,红球 5 个,黑球 6 个.现从中任取 10 个球,使得白球不少于 2 个但不多于 8 个,红球不少于 2 个,黑球不多于 3

个,那么上述取法的种数是( (A) 14 ( . 答: B) 解:用枚举法: 红球个数 5 4 3 2 所以,共 16 种. 故选(B) . (B) 16

) . (C)18 (D)20

白球个数 2 ,3 ,4 ,5 3 ,4 ,5 ,6 4 ,5 ,6 ,7 5 ,6 ,7 ,8

黑球个数 3 ,2 ,1 ,0 3 ,2 ,1 ,0 3 ,2 ,1 ,0 3 ,2 ,1 ,0

种 数 4 4 4 4

3.已知△ ABC 为锐角三角形,⊙ O 经过点 B,C,且与边 AB,AC 分别相

交于点 D,E. 若⊙ O 的半径与△ ADE 的外接圆的半径相等,则⊙ O 一定经过
1

△ ABC 的( (A)内心 (B) . 答:

) . (B)外心 (C)重心 (D)垂心

解: 如图,连接 BE,因为△ ABC 为锐角三角形,所以
∠BAC , ∠ABE 均为锐角.又因为⊙ O 的半径与△ ADE 的外

接 圆 的 半 径 相 等 , 且 DE 为 两 圆 的 公 共 弦 , 所 以

∠BAC = ∠ABE .于是, ∠BEC = ∠BAC + ∠ABE = 2∠BAC .
若△ ABC 的外心为 O1 , ∠BO1C = 2∠BAC , 则 所以, O ⊙ 一定过△ ABC 的外心. 故选(B) . 4.已知三个关于 x 的一元二次方程
ax 2 + bx + c = 0 , bx 2 + cx + a = 0 , cx 2 + ax + b = 0 a2 b2 c2 恰有一个公共实数根,则 + + 的值为( bc ca ab
(第 3 题答案图)

) . ( D) 3

( A) 0 ( . 答 : D)

(B )1

(C )2

解:设 x0 是它们的一个公共实数根,则

ax0 + bx0 + c = 0 , bx0 + cx0 + a = 0 , cx0 + ax0 + b = 0 .
2 2 2

把上面三个式子相加,并整理得
2 (a + b + c)( x0 + x0 + 1) = 0 .

1 3 2 因为 x0 + x0 + 1 = ( x0 + )2 + > 0 ,所以 a + b + c = 0 . 2 4 于是 a 2 b 2 c 2 a 3 + b 3 + c 3 a 3 + b 3 ? ( a + b) 3 + + = = bc ca ab abc abc = ?3ab(a + b) = 3. abc

故选(D) .
5.方程 x3 + 6 x 2 + 5 x = y 3 ? y + 2 的整数解(x,y)的个数是( ). (A )0 (B )1 (C )3 (D)无穷多

( . 答 : A)

2

解:原方程可化为 x( x + 1)( x + 2) + (x 2 + x) y ( y ? 1)( y + 1) + 2 , 3 = 因为三个连续整数的乘积是 3 的倍数,所以上式左边是 3 的倍数,而右边除以 3 余 2,这是不可能的.所以,原方程无整数解. 故选(A). 小题, 二、填空题(共 5 小题,每小题 6 分,满分 30 分) 填空题( 6.如图,在直角三角形 ABC 中, ∠ACB = 90° ,CA=4.点 P 是半圆弧 AC 的中点,连接 BP,线段 BP 把图形 APCB 分成两部分,则这两部分面积之差的 绝对值是 答 : 4. 解:如图,设 AC 与 BP 相交于点 D,点 D 关于圆心 O 的对称 点记为点 E,线段 BP 把图形 APCB 分成两部分,这两部分面积之 差的绝对值是△BEP 的面积,即△BOP 面积的两倍.而 1 1 S ?BPO = PO ? CO = × 2 × 2 = 2 . 2 2 因此,这两部分面积之差的绝对值是 4.
7.如图, 点 A,C 都在函数 y =



(第 6 题答案图)

3 3 ( x > 0) 的图象上,点 B,D 都在 x 轴上, x

且使得△OAB,△BCD 都是等边三角形,则点 D 的坐标 为 . ( . 答 : 2 6 ,0 ) 解:如图,分别过点 A,C 作 x 轴的垂线,垂足分别 为 E,F.设 OE=a,BF=b, 则 AE= 3 a ,CF= 3 b , 所以,点 A,C 的坐标为
(第 7 题答案图)

, , ( a , 3 a )(2 a +b , 3 b ) 所以 解得
?a = 3 , ? ? ?b = 6 ? 3 , ? ? 3 a2 = 3 3 , ? ? ? 3 b (2a + b) = 3 3 , ?

. 因此,点 D 的坐标为( 2 6 ,0)
3

8. 已知点 A, 的坐标分别为 B (1, , 2, . 若二次函数 y = x 2 + ( a ? 3) x + 3 0) ( 0) 的图象与线段 AB 恰有一个交点,则 a 的取值范围是
1 答: ?1 ≤ a < ? ,或者 a = 3 ? 2 3 . 2 解:分两种情况:



(Ⅰ) 因为二次函数 y = x 2 + ( a ? 3) x + 3 的图象与线段 AB 只有一个交点, 且 点 A,B 的坐标分别为(1,0)(2,0) , ,所以

[1
1 得 ?1 < a < ? . 2

2

+ (a ? 3) × 1 + 3 × 2 2 + (a ? 3) × 2 + 3 < 0 ,

] [

]

由 12 + ( a ? 3) × 1 + 3 = 0 ,得 a = ?1 ,此时 x1 = 1 , x2 = 3 ,符合题意;
1 3 由 2 2 + ( a ? 3) × 2 + 3 = 0 ,得 a = ? ,此时 x1 = 2 , x 2 = ,不符合题意. 2 2

(Ⅱ)令 x 2 + ( a ? 3) x + 3 = 0 ,由判别式 ? = 0 ,得 a = 3 ± 2 3 . 当 a = 3 + 2 3 时, x1 = x2 = ? 3 ,不合题意;当 a = 3 ? 2 3 时, x1 = x2 = 3 , 符合题意.
1 综上所述, a 的取值范围是 ?1 ≤ a < ? ,或者 a = 3 ? 2 3 . 2 9.如图, ∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G = n ? 90° ,则 n=



答 : 6. 解:如图,设 AF 与 BG 相交于点 Q,则
∠AQG =∠A + ∠D + ∠G ,

于是
∠A + ∠B + ∠C + ∠D + ∠E + ∠F + ∠G = ∠B + ∠C + ∠E + ∠F + ∠AQG = ∠B + ∠C + ∠E + ∠F + ∠BQF = 540° = 6 × 90° . 所以,n=6. 10.已知对于任意正整数 n,都有
(第 9 题答案图)

a1 + a2 + L + an = n3 ,



1 1 1 + +L+ = a2 ? 1 a3 ? 1 a100 ? 1



4

33 . 100 解:当 n ≥2 时,有

答:

a1 + a 2 + L + a n ?1 + a n = n 3 , a1 + a2 + L + an ?1 = (n ? 1)3 ,

两式相减,得 所以

an = 3n 2 ? 3n + 1 ,

1 1 1 1 1 = = ( ? ), n = 2,3,4, L a n ? 1 3n(n ? 1) 3 n ? 1 n
1 1 1 + +L+ a2 ? 1 a3 ? 1 a100 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? ) 3 2 3 2 3 3 99 100 1 1 33 = (1 ? )= . 3 100 100

因此

三、解答题(共 4 题,每小题 15 分,满分 60 分) 解答题(
11 A) 已知点 M, 的坐标分别为 0, ) 0, 1) 点 P 是抛物线 y = ( . N ( 1 , - , ( 1 2 x 4

上的一个动点. (1)判断以点 P 为圆心,PM 为半径的圆与直线 y = ?1 的位置关系; (2)设直线 PM 与抛物线 y = 证: ∠PNM = ∠QNM . ( 解: 1)设点 P 的坐标为 ( x0 ,
1 2 x0 ) ,则 4 1 2 x 的另一个交点为点 Q,连接 NP,NQ,求 4

1 2 1 2 1 2 2 PM= x0 + ( x0 ? 1) 2 = ( x0 + 1)2 = x0 + 1 ; 4 4 4
1 2 1 2 又因为点 P 到直线 y = ?1 的距离为 x0 ? (?1) = x0 + 1 , 4 4

所以, 以点 P 为圆心,PM 为半径的圆与直线 y = ?1 相切. …………5 分 (2)如图,分别过点 P,Q 作直线 y = ?1 的垂线,垂 足分别为 H,R.由(1)知,PH=PM,同理可得,QM =QR.
(第 11A 题答案图) 5

因为 PH,MN,QR 都垂直于直线 y = ?1 ,所以,PH∥MN∥QR,于是
QM MP = , RN NH QR PH = , RN HN

所以

因此,Rt△ PHN ∽Rt△ QRN . 于是 ∠HNP = ∠RNQ ,从而 ∠PNM = ∠QNM . …………15 分 1 12(A) .已知 a,b 都是正整数,试问关于 x 的方程 x 2 ? abx + (a + b) = 0 是 2 否有两个整数解?如果有,请把它们求出来;如果没有,请给出证明. 解:不妨设 a ≤b,且方程的两个整数根为 x1 , x2 ( x1 ≤ x2 ),则有
? x1 + x2 = ab, ? ? 1 ? x1 x2 = 2 (a + b), ?

所以

1 1 x1 x2 ? x1 ? x2 = a + b ? ab , 2 2
4( x1 ? 1)( x2 ? 1) + (2a ? 1)(2b ? 1) = 5 .

…………5 分 因为 a ,b 都是正整数,所以 x1,x2 均是正整数,于是, x1 ? 1 ≥0, x2 ? 1 ≥0,
2a ? 1 ≥1, 2b ? 1 ≥1,所以
?( x1 ? 1)( x2 ? 1) = 0, ? ?(2a ? 1)(2b ? 1) = 5,



(x1 ? 1)( x 2 ? 1) = 1, ? ? ?(2a ? 1)(2b ? 1) = 1.

(1)当 ?

?( x1 ? 1)( x2 ? 1) = 0, 时,由于 a,b 都是正整数,且 a ≤b,可得 ?(2a ? 1)(2b ? 1) = 5

a =1 ,b =3 ,

此时,一元二次方程为 x 2 ? 3 x + 2 = 0 ,它的两个根为 x1 = 1 , x2 = 2 . (2)当 ?
?( x1 ? 1)( x2 ? 1) = 1, 时,可得 ?(2a ? 1)(2b ? 1) = 1

a =1 ,b =1 ,

此时,一元二次方程为 x 2 ? x + 1 = 0 ,它无整数解. 综上所述,当且仅当 a=1,b=3 时,题设方程有整数解,且它的两个整数 解为 x1 = 1 , x2 = 2 .
6

……………15 分

13(A) .已知 AB 为半圆 O 的直径,点 P 为直径 AB 上的任意一点.以点 A 为圆心,AP 为半径作⊙A,⊙A 与 半圆 O 相交于点 C;以点 B 为圆心,BP 为半径作⊙B, ⊙B 与半圆 O 相交于点 D, 且线段 CD 的中点为 M. 求证: MP 分别与⊙A 和⊙B 相切. 证明:如图,连接 AC,AD,BC,BD,并且分别过点 C,D 作 AB 的垂线,垂足分别为 E , F ,则 CE∥DF. 因为 AB 是⊙O 的直径,所以 ∠ACB = ∠ADB = 90° . 在 Rt△ ABC 和 Rt△ ABD 中,由射影定理得
PA2 = AC 2 = AE ? AB , PB 2 = BD 2 = BF ? AB .
(第 13A 题答案图)

……………5 分 两式相减可得

PA2 ? PB 2 = AB ( AE ? BF ) ,
又 于是有 即

PA2 ? PB 2 = ( PA + PB)( PA ? PB) = AB ( PA ? PB ) ,
AE ? BF = PA ? PB , PA ? AE = PB ? BF ,

所以 PE = PF ,也就是说,点 P 是线段 EF 的中点. 因此,MP 是直角梯形 CDFE 的中位线,于是有 MP ⊥ AB ,从而可得 MP 分 别与⊙A 和⊙B 相切. ……………15 分
14(A)(1)是否存在正整数 m,n,使得 m(m + 2) = n(n + 1) ? .

(2)设 k ( k ≥3)是给定的正整数,是否存在正整数 m,n,使得
m(m + k ) = n(n + 1) ?

( 解: 1)答案是否定的.若存在正整数 m,n,使得 m(m + 2) = n(n + 1) ,则
(m + 1) 2 = n 2 + n + 1 ,

显然 n > 1 ,于是
n 2 < n 2 + n + 1 < (n + 1) 2 ,

所以, n 2 + n + 1 不是平方数,矛盾.

……………5 分

7

(2)当 k = 3 时,若存在正整数 m,n,满足 m(m + 3) = n(n + 1) ,则
4m 2 + 12m = 4n 2 + 4n , (2m + 3) 2 = (2n + 1) 2 + 8 , (2m + 3 ? 2n ? 1)(2m + 3 + 2n + 1) = 8 , (m ? n + 1)(m + n + 2) = 2 ,

而 m + n + 2 > 2 ,故上式不可能成立. ………………10 分 当 k ≥4 时,若 k = 2t (t 是不小于 2 的整数)为偶数,取
m = t 2 ? t , n = t 2 ?1 ,



m(m + k ) = (t 2 ? t )(t 2 + t ) = t 4 ? t 2 , n(n + 1) = (t 2 ? 1)t 2 = t 4 ? t 2 ,

因此这样的(m,n)满足条件. 若 k = 2t +1(t 是不小于 2 的整数)为奇数,取
m= t2 ? t t2 + t ? 2 , n= , 2 2



m( m + k ) =

t2 ? t t2 ? t 1 ( + 2t + 1) = (t 4 + 2t 3 ? t 2 ? 2t ) , 2 2 4

t2 + t ? 2 t2 + t 1 4 n(n + 1) = ? = (t + 2t 3 ? t 2 ? 2t ) , 2 2 4

因此这样的(m,n)满足条件. 综上所述,当 k = 3 时,答案是否定的;当 k ≥4 时,答案是肯定的. ……………15 分 注:当 k ≥4 时,构造的例子不是唯一的.

8

11(B) .已知抛物线 C1 : y = ? x 2 ? 3 x + 4 和抛物线 C2 : y = x 2 ? 3 x ? 4 相交 于 A,B 两点. 点 P 在抛物线 C1 上,且位于点 A 和点 B 之间;点 Q 在抛物线 C2 上,也位于点 A 和点 B 之间. (1)求线段 AB 的长; (2)当 PQ∥y 轴时,求 PQ 长度的最大值. 解:(1)解方程组
? y = ? x 2 ? 3x + 4, ? ? 2 ? y = x ? 3 x ? 4, ?



? x1 = ?2, ? ? y1 = 6,

? x2 = 2, ? ? y2 = ?6,

所以,点 A,B 的坐标分别是(-2,6),(2,-6). 于是
AB = (2 + 2) 2 + (?6 ? 6) 2 = 4 10 .

…………5 分 (2)如图,当 PQ∥y 轴时,设点 P,Q 的坐标分别为
(t ,?t 2 ? 3t + 4) , (t , t 2 ? 3t ? 4) ,
?2 < t < 2 ,

因此

PQ = 2(4 ? t 2 ) ≤8,

当 t = 0 时等号成立,所以,PQ 的长的最大值 8. ……………15 分
(第 11B 题答案图)

12(B) .实数 a,b,c 满足 a≤b≤c,且 ab + bc + ca = 0 ,abc=1.求最大 的实数 k,使得不等式

a+b ≥k c
恒成立. 解:当 a = b = ? 3 2 , c =
3

2 时,实数 a,b,c 满足题设条件,此时 k ≤4. 2

……………5 分 下面证明:不等式 a + b ≥ 4 c 对满足题设条件的实数 a,b,c 恒成立. 由已知条件知,a,b,c 都不等于 0,且 c > 0 .因为 1 1 ab = > 0, a + b = ? 2 < 0 , c c 所以 a ≤ b < 0 .
9

由一元二次方程根与系数的关系知,a,b 是一元二次方程 1 1 x2 + 2 x + = 0 c c 的两个实数根,于是 1 4 ? = 4 ? ≥0, c c 1 所以 c3 ≤ . 4 ……………10 分 因此
a + b = ?( a + b ) =

1 ≥ 4c = 4 c . c2 ……………15 分

13(B) .如图,点 E,F 分别在四边形 ABCD 的边 AD,BC 的延长线上, 且满足
DE AD = . CD ,FE 的延长线相交于点 G , DEG 的外接圆与△ CFG 若 △ CF BC
AD PD = ; BC PC

的外接圆的另一个交点为点 P ,连接 PA,PB,PC,PD.求证: (1)

(2)△ PAB ∽△ PDC . 证明: 证明 (1)连接 PE,PF,PG,因为 ∠PDG = ∠PEG , 所以 ∠PDC = ∠PEF . 又因为 ∠PCG = ∠PFG ,所以 △ PDC ∽△ PEF , PD PE 于是有 = , ∠CPD = ∠FPE , PC PF 从而 △ PDE ∽△ PCF , PD DE 所以 = . PC CF DE AD AD PD 又已知 = ,所以, = . CF BC BC PC

(第 13B 题答案图)

………………10 分 (2)由于 ∠PDA = ∠PGE = ∠PCB ,结合(1)知,△ PDA ∽△ PCB ,从而 有
PA PD = , ∠DPA = ∠CPB , PB PC 所以 ∠APB = ∠DPC ,因此 △ PAB ∽△ PDC .

………………15 分

14(B) .证明:对任意三角形,一定存在两条边,它们的长 u,v 满足 1≤
u 1+ 5 . < v 2
10

证明: 证明:设任意△ABC 的三边长为 a,b,c,不妨设 a > b > c .若结论不成立, 则必有
a 1+ 5 ≥ , b 2 b 1+ 5 ≥ . c 2

1 ○ 2 ○

………………5 分 记 b = c + s, a = b + t = c + s + t ,显然 s, t > 0 ,代入○得 1
c + s + t 1+ 5 ≥ , c+s 2 s t 1+ + c c ≥ 1+ 5 , s 2 1+ c s t 令 x = , y = ,则 c c

1+ x + y 1+ 5 ≥ . 1+ x 2

3 ○
t <1. c

由 a < b + c ,得 c + s + t < c + s + c ,即 t < c ,于是 y = 由○ 得 2
b c+s 1+ 5 = = 1+ x ≥ , c c 2

4 ○

由○ ,○ 得 3 4
? 1+ 5 ? 5 ?1 1+ 5 y ≥? ? 2 ? 1? (1 + x) ≥ 2 ? 2 = 1 , ? ? ?

此式与 y < 1 矛盾.从而命题得证. ………………15 分

11


赞助商链接

...杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案...

《数学周报》杯2007年全国初中数学竞赛试题参考答案 隐藏>> 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯2007 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选...

“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

《数学周报》杯2007年全国初中数学竞赛试题参考答案_初二理化生_理化生_初中教育_教育专区。教育系统内部资料 共享于大众中国教育学会中学数学教学专业委员会 《数...

...杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案...

《数学周报》杯2007年全国初中数学竞赛试题参考答案 请多指教请多指教隐藏>> “ 数学周报》杯”2007 年全国初中数学竞赛试题参考答案 《数学周报》小题, 一...

“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

初中数学辅导网 www.shuxuefudao.cn 中国教育学会中学数学教学专业委员会 《数学周报》数学周报》杯”2009 年全国初中数学竞赛试题参考答案 小题, 一、选择题...

“《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题(含答案)

《数学周报》杯”2008年全国初中数学竞赛试题(含答案)_学科竞赛_初中教育_教育专区。全国初中数学竞赛试题(三)参考答案一、选择题(共 5 小题,每小题 6 分,...

“《数学周报》杯”2010年全国初中数学竞赛试题参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “ 《数学周报》杯”2010 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题(共 5 小题,每小题 7 分,共 35 分.其中有且只有一...

...杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯2007年全国初中数学竞赛试题参考答案_学科竞赛_初中教育_教育专区。中国教育学会中学数学教学专业委员会“ 《...

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题参考答案

com/ 初中数学辅导网 http://www.shuxuefudao.cn/ 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “ 《数学周报》杯”2011 年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题 1....

...杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案...

中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯2007年全国初中数学竞赛试题参考答案 2007年全国各地初中数学竞赛试题参考答案及评分标准2007年全国各地初中数学竞...

“《数学周报》杯”2011年全国初中数学竞赛试题及参考...

求△ABC 的面积. -3- (第 14 题) 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2011 年全国初中数学竞赛试题参考答案 数学周报》一、选择题 1.A ...