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湖北省枣阳市阳光中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


湖北省枣阳市阳光中学高二年级 2015-2016 学年度下学期期中考试 数学(文科)试题
★ 祝考试顺利 ★ 时间:120 分钟 分值 150 分 第 I 卷(选择题共 60 分) 一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.若 a ? R ,则“ a ? 2 ”是“ ? a ? 2?? a ? 4? ? 0 ”的( A.充要条件 C.必要不充分

条件
2



B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 =3 ,则弦 AB 的中点到准线的距

2.已知以 F 为焦点的抛物线 y =4x 上的两点 A、B 满足 离为( ) A. B. C.2 D.1

3.设非零向量 a 与 b 的夹 角为 ? ,则 ? ? ( A.充分不必要条件 C.充要条件 4.设曲线 y= A.2 B.
3

?

?

?
2

? ? , ? ) 是 a ? b ? 0 的(



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+3=0 垂直,则 a 等于( C.-2 D.-

5.已知 f ? x ? ? ? 2 x ? 1? ? A.4 B. 5

2a ? 3a ,若 f ? ? ?1? ? 8 ,则 f ? ?1? ? x C. - 2
0

D. - 3

6.在 ?ABC 中,“ ?A ? 60 ”是“ sin A ? A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件

3 ”的( 2



7.命题“ ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0 ”的否定是( )
2

A. ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0
2

1

D. ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0
2

8.命题“ ?x ? R, x 2 ? 0 ”的否定是( A. ?x ? R, x 2 ? 0 C. ?x ? R, x2 ? 0 9. 函数 A.2 B.3 C.4



B. ?x ? R, x 2 ? 0 D. ?x ? R, x2 ? 0 已知 D.5 时取得极值, 则 的值等于 ( )

10.已知直线 y ? x ? 1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,则 a 的值为( ) (A) 1 (B) 2
2

(C) ?1 ( )

(D) ?2

11. “ x ? 1 ”是“ log 1 ( x ? 2) ? 0 ”的 A、充要条件 C、必要 不充分条件

B、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

' 12. 定义域为 R 的可导函数 y ? f ?x ? 的导函数为 f ? x ? , 满足 f ?x ? ? f ' ?x ? , 且 f ?0? ? 1, 则

不等式

f ?x ? ? 1 的解集为( ex

) C. ?? ?,2? D. ?2,???

A. ?? ?,0?

B. ?0,???

第 II 卷(非选择题) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每题 5 分,满分 20 分)

x2 y 2 ? ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 的值= 13.双曲线 4 m
14. 若不等式|x-m|<1 成立的充分不必要条件是
3



1 1 <x< , 则实数 m 的取值范围是________. 3 2


15. 直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? ax ? b 相切于点 A ?1,3? , 则 b 的值为

16.已知椭圆 C: 为 A,

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点分别 4 3

B,线段 MN 的中点在 C 上,则 | AN | ? | BN |?



三、解答题(70 分)

2

17 .( 本 题 12 分 ) 已 知 命 题 p : ?x ?? 2,4? , x ? 2x ? 2a ? 0 恒 成 立 , 命 题
2

?1 ? q : f ? x ? ? x2 ? ax ?1在区间 ? , ?? ? 上是增函数.若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题, ?2 ?
求实数 a 的取值范围. 18. (本小题满分 12 分) 已知函数 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)若在区间[1,e]上至少存在一点 成立,求实数 p 的取值范围.

19. (本题 12 分)已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x ?[?1,1] 时,方程 f ( x) ? 2 x ? m 恒成立,求实数 m 的范围. 20.(本题 12 分)(本小题满分 l2 分)(注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知函数 f(x)=x +bx +ax+d 的图象过点 P(0,2) ,且在点 M(-1,f(-1) )处的切线 方程为 6x-y+7=0. (Ⅰ)求函数 y=f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 y=f(x)的单调区间.
3 2

21. (本题 12 分)已知双曲线与椭圆 方程.

x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线 3 49 24

22. (本题 10 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 在 x ? 2 处取得极值为 c ? 16
3

b 的值; (1)求 a、 (2)若 f ( x ) 有极大值 28,求 f ( x ) 在 [?3,3] 上的最小值.

参考答案 1.B 【解析】 试题分析:若“ a ? 2 ” ,则“ ? a ? 2?? a ? 4? ? 0 ” ;反之 “ ? a ? 2?? a ? 4? ? 0 ” ,则 a ? 2, 或 a ? ?4 .故“ a ? 2 ”是“ ? a ? 2?? a ? 4? ? 0 ”的充分不必要条件. 考点:充分、必要条件的判断. 2.A
3

【解析】 试题分析:抛物线的焦点为 F ?1,0 ? ,准线方程为 x ? ?1 设 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,直线 AB 的方程为: y ? k ? x ?1?
2 ? 4 ? y ? 4x 2 由? 消法 x 得: y ? y ? 4 ? 0 k ? ? y ? k ? x ? 1?

(*)

由题设知: y1 , y2 是方程的两根,所以 y1 ? y2 ? ?4 又因为 =3 ,所以 y1 ? ?3 y2 (2)

(1)

解由方程(1) (2)组成的方程组得: y1 ? 2 3, y2 ? ?

2 3 3

所以 x1 ?

y12 y2 1 ? 3, x2 ? 2 ? 4 4 3
x1 ? x2 5 ? ,所以 C 到准线的距离 2 3

设 弦 AB 的 中 点 为 C ? x0 , y0 ? , 则 x0 ?

d ? x0 ? ? ?1? ?

5 8 ?1 ? 3 3

故选 A. 考点:1、抛物线的标准方程与几何性质;2、直线与抛物线的位置关系. 3. A 【解析】 试题分析:因为当 ? 为钝角或平角时 a ? b ? 0 均成立,所以 ? ? ( 必要条件,故选 A. 考点:1、充分条件与必要条件的判定;2、平面向量的夹角. 4.C 【解析】

? ?

?
2

? ? , ? ) 是 a ? b ? 0 的充分不

试题分析: 由导数的几何意义可得曲线在 又直线 的斜率为

, 处的切线斜率为 , ,



依题意可得

,解得

.故 C 正确.

考点:1 导数的几何意义;2 直线垂直. 5.A

4

【解析】 试题分析: f ? x ? ? ? 2 x ? 1? ?
3

2a 2a 2 ? 3a ? f ' ? x ? ? 6 ? 2 x ? 1? ? 2 ? f ' ? ?1? ? 8 ? a ? 1 x x

? f ? x ? ? ? 2 x ? 1? ?
3

2 ? 3? f ? ?1? ? 4 x

考点:函数导数及函数求值 6.A 【解析】 试 题 分 析 : 若 ?A ? 600 , 则 s i A n?

3 3 , 则 s i ?n ?6 0; 若 s i A n? 2 2 3 ”的充分不必要条件. 2

?A ? 6 0 ? k? 3 ? 6 0 k ?;故“ , z ? ?A ? 600 ”是“ sin A ?

考点:充分、必要条件的判断. 【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方 法:①充分不必要条件:如果 p ? q ,且 p ? ? q ,则说 p 是 q 的充分不必要条件; ②必 p ? q q 要不充分条件:如果 p ? ,且 ,则说 p 是 q 的必要不充分条件; ③既不充分也 ? 不必要条件:如果 p ? ? q ,且 p ? ? q ,则说 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 7.A 【解析】 试 题 分 析 : 由 特 称 命 题 和 全 称 命 题 的 关 系 可 知 “ ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0 ” 的 否 定 为
2

?x ? R, x2 ? 2x ? 2 ? 0 。
考点:特称命题与全称命题 8.D 【解析】 试题分析:全称命题的否定是存在性命题.“ ?x ? R, x2 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x2 ? 0 ” 故选 D . 考点:全称命题与存在性命题 9.D 【解析】因为 10. 【解析】 试题分析: 考点: 11.B 【解析】 log 1 ( x ? 2) ? 0 ? x ? 2 ? 1 ? x ? ?1 ,因此选 B.
2

,所以

,解得

.故选 D.

考点:充分必要条件. 12.B

5

【解析】 试题分析:构造函数 F ( x) ?

f ?( x)e x ? f ( x)e x f ?( x) ? f ( x) f ( x) ? ,则 ,因为 F ( x ) ? ? ex (e x ) 2 ex
f ( x) 在定义域 R 上为单调减函数,而 ex

f ?x ? ? f ' ?x ? ,所以 F ?( x) ? 0 ,所以函数 F ( x) ?
F ( 0) ?

f ?x ? f ( 0) ? 1,所以不等式 x ? 1 可转化为 F ( x) ? F (0) ,根据函数的单调性可知不 0 e e 等式的解为 x ? 0 ,答案选 B.
考点:导数与函数的单调性 13.16 【解析】 试题分析:由双曲线方程可知 a2 ? 4, b2 ? m?a ? 2, b ? m ,由虚轴长是实轴长的 2 倍可 知 m ? 4 ? m ? 16 考点:双曲线方程及性质 14. [? , ] 【解析】 试题分析:由题意得,不等式 x ? m ? 1 得 m ? 1 ? x ? m ? 1 ;因为不等式 x ? m ? 1 成立的

1 4 2 3

1 ? m ?1 ? ? 1 4 1 1 ? 3 ? ? ? m ? ,经检验知,等号可以取得, 充分不必要条件是 ? x ? ,所以 ? 3 2 2 3 ?m ? 1 ? 1 ? ? 2
所以 ?

1 4 ?m? . 2 3

考点:充分不必要条件的应用. 15. 3 【解析】
2 试题分析:由题意得, y? ? 3x ? a ,所以 k ? 3 ? a

①.因为切点为 A ?1,3? ,∴所以

②, 3 ? 1 ? a ? b 考点:导数的几何意义.

3 ? k ?1

③,由①②③解得 a ? ?1,b ? 3 .

【思路点睛】 根据直线与曲线相切的切点坐标求相关 参数时, 通常是首先求得导函数 f ?( x ) , 然后将切点坐标代入导函数得到切线的斜率, 由此通过建立参数的方程进行求解, 整个解答 过程体现转化思想与方程思想的应用. 16. 8 . 【解析】 试题分析:如图,设 MN 的中点为 P ,由题意可知, PF1 , PF2 分别为 ?AMN , ?BMN

6

的中位线, ∴ | AN | ? | BN |? 2(| PF 1 | ? | PF 2 |) ? 2 ? 4 ? 8 .

考点:椭圆的性质. 17. ? ??,1? ??4, ??? . 【解析】 试题分析:根据函数恒成立问题,求出 p 为真时的 a 的范围,根据二次函数的性质求出 q 为 真时的 a 的范围,从而判断出 p 、q 一真一假时的 a 的范围即可,最后求两范围的并集即可. 试题解析:若 p 为真命题,则 a ? 4 ,若 q 为真命题,则 a ? 1 ? 由题意知 p 、 q 一真一假, 当 p 真 q 假时, a ? 4 ;当 p 假 q 真时, a ? 1 , 所以 a 的取值范围为 ? ??,1? ??4, ??? . 考点:复合命题的真假. 18. (1) (0,1)∪(3,+∞) ; (2) p ? ?8 【解析】试题解析: (1) f ( x) ? 6ln x ? x ? 8x
2

f ?( x) ?

6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)( x ? 3) ? 2x ? 8 ? ? x x x
2( x ? 1)( x ? 3) ? 0 ? 0 ? x ? 1或x ? 3 x

令 f ?( x) ?

∴函数 f ( x ) 的递增区间是(0,1)∪(3,+∞) (2)∵在区间[1,e]上至少存在一点 x0,使 f(x0)>g(x0)成立,即(f(x0)-g(x0) )max>0 即可
2 设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 6 ln x ? x ? 8 x ?

p p ? x 2 ? 6 ln x ? 8 x ? , x ? ?1, e ? x x

h?( x) ?

6 p ?8 x 2 ? 6 x ? p ?8? 2 ? x x x2
7

令 ?8x2 ? 6 x ? p ? 0 知 ? ? 36 ? 32 p ①当 ? ? 36 ? 32 p ? 0 ? p ? ?

9 时,此时 h?( x) ? 0 ,即函数 h( x) 在 x ??1, e? 单调递减 8

∴ h( x)max ? h(1) ? ?8 ? p ? 0 ? p ? ?8 ② 当

9 ? ? 3 ?6 p ?3 ?2p ? ? 0 时 8

















x1 ?

3? 9?8p 3? 9?8p , x2 ? ?1 8 8 3 ? 9? 8p ? e ? p ? 8e2 ? 6e , 即 x ??1, e? 时 , h?( x ) ? 0, 函 数 h( x) 在 8

⑴ 当 x1 ?

x ??1, e? 单调递增
∴ h( x) max ? h(e) ? 6 ? 8e ? ⑵当 x1 ? 单调递减

p ? 0 ? p ? 6e ? 8e 2 ,此时无解 e

3? 9?8p 9 当 x ??1, e? ,h?( x) ? 0 , 函数 h( x) 在 x ??1, e? ? 1 ? ? ? p ? 2 时, 8 8

h( x)max ? h(1) ? ?8 ? p ? 0 ? p ? ?8 ,此时无解
⑶当 2 ? p ? 8e2 ? 6e 时, 1 ?

3? 9?8p ?e 8

∴ x ? (1, ∴

3? 9?8p 3? 9?8p ) , h?( x) ? 0 , x ? ( , e) , h?( x) ? 0 8 8

h( x)max ? h(

3? 9?8p 3? 9?8p 3? 9?8p p ) ? 6ln ? 8? ? ? 6ln e ? 8 ? ?2 8 8 8 3? 9?8p 8

此时无解 综上所述, p ? ?8 存在一点 x0,使 f(x0)>g(x0)成立 考点:本题考查函数与导数 点评:解决本题的关键是导数应用,注意分类讨论 19. (1) f ( x) ? x ? x ? 1; (2) (??, ?1] .
2

【解析】

8

试题分析: (1)根据条件 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 以及 f (0) ? 1 即可建立关于 a , b , c 的方 程组,从而求解; (2)参变 分离后将不等式等价转化为 m ? f ( x) ? 2 x ,从而将问题等价转 化为求 f ( x) ? 2 x 在 [ ?1,1] 上的最小值即可. 试 题 解 析 : ( 1 ) ∵

f ( x ? 1) ? f ( x) ? a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? (ax2 ? bx ? c) ? 2ax ? a ? b ? 2x ,
∴?

? 2a ? 2 ?a ? 1 ,又∵ f (0) ? 1 ,∴ c ? 1 ,∴ f (x) ? x 2 ? x ? 1 ;(2)由题意得: ?? ?a ? b ? 0 ?b ? ?1

m ? x 2 ? 3x ? 1, x ?[?1,1] ,令 g ( x) ? x2 ? 3x ? 1 , x ?[?1,1] ,∴ g ( x) ? [?1,3] ,∴实
数 m 的取值范围 是 (??, ?1] . 考点:1.二次函数的解析式;2.二次函数的最值;3.恒成立问题. 20.

【解析】略 21.

x2 y2 ? ?1 9 16

【解析】 试题分析:由椭圆的方程可求焦点坐标为(5,0),(-5,0),即 c=5,设出双曲线方程,通过条件 与双曲线的性质易得双曲线方程为

x2 y2 ? ?1. 9 16

试题解析:由椭圆

x2 y2 ? ?1 ? c ? 5. 49 24

设双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 ,则 a2 b2

9

2 4 ?b ? ?a ? 9 ? ?? ? ? 2 3 ?a ?b ? 16 ?a 2 ? b 2 ? 25 ? ?

故所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1. 9 16

考点:1.双曲线的方程;2.椭圆的性质 22. (1) a ? 1, b ? ?12 (2) f ( x ) 在 ?? 3, 3? 上的最小值为 f ?2? ? ?4 【解析】 试题分析: ( 1 ) 由 f ' (x ) ? 3 a 2x? , 又 知 f ? x ? 在 x ? 2 处 取 得 极 值 c ? 16 , b

? f '(2) ? 0, f (2) ? c ? 16 ,即可解得 a , b 的值.
( 2 )由( 1 )可得 f '( x ) ? 3x2 ? 12,即可求得函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处有极大值,再由

f ( ?2) ? 28 ,可得

c ? 12 , ? f ( x) ? x3 ? 12 x ? 12 ,再利用单调性易判断 f ( x ) 在 ?? 3, 3? 上的最小值为

f ?2? ? ?4 .
试题解析: (1)∵ f ( x) ? ax ? bx ? c ,∴ f '( x) ? 3ax ? b
3 2

又∵ f ? x ? 在 x ? 2 处取得极值 c ? 16 ,∴ f ??2? ? 0 且 f ?2? ? c ?16 , 即 12 a ? b ? 0 且 8a ? 2b ? c ? c ? 16 ,解得: a ? 1, b ? ?12 . (2)由(1)得: f ? x ? ? x ?12x ? c , f '( x) ? 3x ? 12 ,
3
2

令 f ( x) ? 3x ? 12 ? 0 ,解得: x1 ? ?2, x2 ? 2 ,
' 2

x
f '( x)

? ??, ?2?
?
?

?2

? ?2, 2?
?
?

2

? 2, ???
?
?

0
极大值

0
极小值

f ? x?

∴函数 f ( x ) 在 x ? ?2 处有极大值,且 f ? ?2? ? 16 ? c ? 28 ,

10

∴ c ? 12 ,此时, f ? ?3? ? 21, f ?3? ? 3, f ? 2? ? ?4 ,

? f ?x ? 在 ?? 3, 3? 上的最小值为 f ?2? ? ?4 .
考点:利用函数极值求参数;利用导数求函数最值.

11


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