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高二上学期文科数学期末试题(含答案)


东联现代中学 2014-2015 学年第一学期高二年级期末考试

文科数学
【试卷满分:150 分,考试时间:120 分钟】 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合要求的。 1、抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点坐标为( A. (0,?4) 2.在 ?ABC 中,“ A ? B.

) C. (0,4) D. (?4,0)

(4,0)

?
3

”是“ cos A ?

1 ”的( ) 2

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 圆的离心率为( A. ) B.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点和一个顶点,则该椭 a 2 b2

5 5

1 2

C.

2 5 5

D.

2 3

c 4、?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , 若 ? cos A , 则 ?ABC 为 ( ) b A、等边三角形 B、锐角三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形
5.函数 f(x)=x-lnx 的递增区间为( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(0,+∞) 6. 已知函数 f ( x) 的导函数 f ?( x) 的图象如图 所示,那么函数 f ( x) 的图象最有可能的是( )

1

7.设等比数列 {an } 的公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n ,则 (A)

15 4

(B)

15 2

(C)

7 4

S4 的值为( a2 7 (D) 2



? x ? y ? 2, ? 8.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 2, 则 z ? 2 x ? y 的最小值是( ?0 ? y ? 3, ?
(A)5 (B)



5 2

(C) ?5

(D) ?

5 2

9 .已知 F1 (?1, 0), F2 (1, 0) 是椭圆的两个焦点,过 F1 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点,若

?MF2 N 的周长为 8 ,则椭圆方程为(
(A)



x2 y2 ? ?1 4 3 x2 y2 ? ?1 16 15

(B)

y2 x2 ? ?1 4 3 y2 x2 ? ?1 16 15

(C)

(D)

10、探照灯反射镜的轴截面是抛物线 y 2 ? 2 px( x ? 0) 的一部分,光源位于抛物 线的焦点处,已知灯口圆的直径为 60cm,灯深 40cm,则抛物线的焦点坐标为 ( )
? 45 ? A、 ? ,0 ? ? 2 ? ? 45 ? B、 ? ,0 ? ? 4 ? ? 45 ? C、 ? ,0 ? ? 8 ? ? 45 ? D、 ? ,0 ? ? 16 ?

11、双曲线 C 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 F2 恰好为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, 设双曲线 C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF1 F2 是以 AF1 为底边的等腰三 角形,则双曲线 C 的离心率为 ( A、 2 C、 1 ? 3 B、 1 ? 2 D、 2 ? 3 )

2

12 、如图所示曲线是函数 f ( x) ? x 3 ? bx 2 ? cx ? d 的大致图象,则 x12 ? x2 2 ? ( ) 8 A、 9
10 9 16 9 5 4

B、

C、

D、

y

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13 、 若 命 题

x2

p : " ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0" , 则 ?p 为

2

?1

x1 0

2

____________________;. 14. S n 为 等 差 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , a2 ? a6 ? 6 , 则

S7 ?

. .

15.曲线 y ? ln x ? x 在点(1,1)处的切线方程为

16. 过点 (2 2 , 3 ) 的双曲线 C 的渐近线方程为 y ? ?

3 x, P 为双曲线 C 右支上一 2
.

点, F 为双曲线 C 的左焦点,点 A(0,3), 则 PA ? PF 的最小值为

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本题满分 10 分) 等差数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn ,已知 a10 ? 30,a20 ? 50 . (1) 求通项 an ; (2)若 Sn ? 242 ,求 n . 18. (本题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边, A 为 B , C 的等差中项. (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a=2,△ABC 的面积为 3,求 b,c 的值. 19. (本题满分 12 分) 若不等式 ? a ? 2? x ? 2 ? a ? 2? x ? 4 ? 0 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

20.(本题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 f(x)=x3-x2-x+a. (1)求 f(x)的极值; (2)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y=f(x)与 x 轴有三个交点? 21.(本题满分 12 分) 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点 O ,对称轴为 x 轴,焦点为 F ,抛物线上一点 A 的横坐

3

标为 2,且 FA ? OA ? 16 . (Ⅰ)求抛物线的方程; (Ⅱ)过点 M (8,0) 作直线 l 交抛物线于 B , C 两点,求证: OB ? OC .

22.(本题满分 12 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1),平行 于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m ? 0) , l 交椭圆于 A、B 两个不同点. (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

4

东联现代中学 2014-2015 学年第一学期高二年级期末考试

文科数学
第Ⅰ卷(选择题
共 60 分) 一、选择题(每小题只有一个正确选项,每小题 5 分,共 12 小题,共 60 分)

1
B C

2
C

3
D

4
C

5
A

6
B

7
C

8
A

9

10
C B

11

12
C

第 II 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题 (本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中的横 线上. )
13. ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0. ;14
2

21

. 15. y ? 2 x ? 1 ;16. 8

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)14.21;15. y ? 2 x ? 1 ;16.8.
17.解:设数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d . (1)∵ a10 ? a1 ? 9d ? 30, a20 ? a1 ? 19d ? 50, 分 解 得 ……………4

a1 ? 1

2 d ? 2, ,
…………6 分



an ? a1 ? ? n ?1? d ? 12 ? ? n ?1? ? 2 ? 2n ?10,
(2) 由 sn ? na1 ?

n ? n ? 1? d =242 , 把 a1 ? 12, d ? 2, 代 入 上 式 , 解 之 得 : n ? 11 或 2


n ? ?22 (舍)
故 求 n ? 11 …………10 分 .18. . 解: (Ⅰ)∵ A 为 B ,C 的等差中项, 2 A ? B ? C , 2 分 ······································ π ∵ A ? B ? C ? ? ,∴A= .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 3

5

1 (Ⅱ)△ABC 的面积 S= bcsinA= 3,故 bc=4. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 2 2 2 2 2 2 而 a =b +c -2bccosA,故 b +c =8. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 解得 b=c=2. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 19.解:因为 a ? 2 时,原不等式为 ?4 ? 0 ,所以 a ? 2 时恒成立 分 当 ……………4

a?2













?

a ? 2 ? 0, ?? 0,

……………6 分



?

a?2 4? a ?2? ?4? a ?2?? ?4??0,
2

……………8

分 解得

?2 ? a ? 2
分 综上两种情况可知:

……………10

?2 ? a ? 2 。 2 20.解: (1)f′(x)=3x -2x-1.
1 令 f′(x)=0,则 x=- 或 x=1. 3 当 x 变化时 f′(x)、f(x)变化情况如下表: x f′(x) f(x)

……………12 分 ……1 分 ……2 分

1 (? ?,? ) 3


- 0

1 3

? 1 ? ? ? , 1? ? 3 ?


1 0 极小 值

(1,+∞) +

极大 值

……………………………………………… 6 分

? 1? 5 所以 f(x)的极大值是 f ? ? ? = +a, 27 ? 3?
极小值是 f(1)=a-1. …………………8 分

6

21、 (满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题设抛物线的方程为: y ? 2 px ( p ? 0) ,
2

p · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 , 0) ,点 A 的一个坐标为 (2, 2 p ) , · 2 p ∵ FA ? OA ? 16 ,∴ (2 ? , 2 p )(2, 2 p ) ? 16 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2 ∴ 4 ? p ? 4 p ? 16 ,∴ p ? 4 ,∴ y ? 8 x . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)设 B 、 C 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) , 法一:因为直线当 l 的斜率不为 0,设直线当 l 的方程为 x ? ky ? 8
则点 F 的坐标为 (

? y 2 ? 8 x, 2 得 y ? 8ky ? 64 ? 0 , ? x ? ky ? 8 y1 ? y2 ? 8k , y1 gy2 ? ?64 uuu r uuu r 因为 OB ? ( x1 , y1 ), OC ? ( x2 , y2 ),
方程组 ?

uuu r uuu r 所以 OB ? OC ? x1 x2 ? y1 y2 ? (ky1 ? 8)(ky2 ? 8) ? y1 y2

? (k 2 ? 1) y1 y2 ? 8ky ( y1 ? y2 ) ? 64 =0, 所以 OB ? OC . 法二:①当 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x ? 8 ,此时 B (8,8), C (8,?8),
即 OB ? (8,8), OC ? (8,?8), 有 OB ? OC ? 64 ? 64 ? 0, 所以 OB ? OC .…… 8 分 ② 当 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? k ( x ? 8). 方程组 ?

? y 2 ? 8 x, 2 2 2 2 2 得 k x ? (16k ? 8) x ? 64k ? 0, ky ? 8 y ? 64k ? 0. y ? k ( x ? 8 ), ?

7

所以 x1 x 2 ? 64, y1 y 2 ? ?64, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分 因为 OB ? ( x1 , y1 ), OC ? ( x2 , y2 ), 所以 OB ? OC ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 64 ? 64 ? 0, 所以 OB ? OC . 由①②得 OB ? OC . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

uuu r

uuu r

22.(12 分)解: (1)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2 x2 y2 ∴椭圆方程 ? ? 1 …………4 分 8 2
1 2
∴l 的方程为:

?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 则? 4 解得? 2 1 ? 2 ?1 ? ? ?b ? 2 2 b ?a

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 K OM ?

y?

1 x?m 2

1 ? y ? x?m ? ? 2 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8
2

? x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0 ∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不

同点,? ? ? (2m) ? 4(2m ? 4) ? 0, ∴
2

m













{m | ?2 ? m ? 2且m ? 0} ……………8 分
(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可…………9 分 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
可得 x1 ? x 2 ? ?2m, x1 x 2 ? 2m ? 4 …… ……… 10
2

由x 2 ? 2mx ? 2m 2 ? 4 ? 0
分 而 k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1)( x 2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) ,? ? x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

8

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) ? x1 x 2 ? (m ? 2)( x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ? ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ? 0 ∴k1+k2=0 故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

等腰三角形.…12 分

9


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