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湖南省株洲市第二中学2016届高三上学期第四次月考(期中)数学(理)试题 Word版含答案


株洲市二中 2016 届高三第四次月考试题 理科数学答案 命题、审题:高三理科数学备课组 时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题只有一个正确答案) 1、设集合 A={x| A.

x2 y2 + ? 1 },B={y|y=x2},则 A∩B=( B ) 4 3
B. C.[0,+∞


2

D.{(-2,4) , (2,4)}

2、“0<a<4”是“命题‘? x∈R,不等式 x +ax+a≥0 成立’为真命题”的 ( A ) A、充分不必要条件 C、充要条件 B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

3、如图所示,程序框图的输出值 S ? ( C ) A、 15 开始 i=1,S=0 S=S+i i=i+2 S≤20
否 是
x 3 3

B、 22

C、 24

D、 28

x

4 正视图

4 侧视图

输出 S 结束

第3题

俯视图 图2

4、一空间几何体的三视图如图 2 所示, 该几何体的 体积为 12? ? 为( C) A. 5
n *

8 5 ,则正视图中 x 的值 3
D. 2 B ) D、10

B. 4
2

C. 3

5、二项式 ( x ? 1) (n ? N ) 的展开式中 x 的系数为 15,则 n ? ( A、5 B、 6 C、8

→ → → 6、已知 P 是△ABC 内一点,PB+PC+2PA=0,现将一粒黄豆随机投入△ABC 内,则该粒黄豆 落在△PAC 内的概率是( A A、 )

1 4

B、

1 3

C、

1 2

D、

2 3

7、在 ?ABC 中,若 3(tanB ? tanC) ? tan B ? tanC ?1 ,则 sin 2 A ? ( A、?

D ) D、

1 2

B、

1 2

C、?

3 2

3 2

? y ?1 ? 8、 已知实数 x、 y 满足 ? y ? 2 x ? 1 , 如果目标函数 z ? x ? y 的最小值为-1, 则实数 m= ( B ) . ?x ? y ? m ?
A、 6 B、5 C、4 D、3 9、已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且对任意 x ? R 都有 f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ? 4 f (2) ,若函 数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (?1, 0) 对称,且 f (1) ? 3 ,则 f (2015) ? ( A、 6 B、 3 C、 0 D )

D、 ?3

x2 y2 10、 设 F 是双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点, 过点 F 向 C 的一条渐近线引垂线, a b
垂足为 A ,交另一条渐近线于点 B .若 2 AF ? FB ,则双曲线 C 的离心率是( A、 2 B、2 2 3 C、 3 D、 14 3 C )

11、已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (1) ? 4 ,且 f ( x ) 导函数 f ?( x) ? 3 ,则不等式

f (ln x) ? 3ln x ? 1 的解集为 ( D
A、 (1, ??) B、 (e, ??)

) C、 (0,1) D、 (0, e)

12、已知正项等比数列 ?an ? 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,若存在两项 am , an 使得

aman ? 4a1 ,则

1 5 ? 的最小值为( m n
A、 1 ?

B



5 3

B、

7 4
6 5

C、 2
4 2

D、

11 4

【试题分析】 :根据已知条件, a1q ? a1q ? 2a1q ,整理为 q ? q ? 2 ? 0 ,又 q ? 0 ,解 得, q ? 2 ,由已知条件可得: a1 q m?n?2 ? 16a1 ,整理为 2
2 2
m? n ?2

? 16 ,即 m ? n ? 6 ,所



n 5m 1 5 1 1 5 1 n 5m 5 ,当且仅当 ? 取等号,但此 ? ? (m ? n)( ? ) ? (6 ? ? ) ? 1? m n m n 6 m n 6 m n 3
*

时 m, n ? N .又 m ? n ? 6 ,所以只有当 m ? 4, n ? 2 时,取得最小值是

7 . 4

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分,只需将最后结果填到答题卡上对应的位置) 13、复数 z 满足 ?1 ? 2i ?z ? 7 ? i ,则复数 z 的共轭复数 z ?

1 ? 3i



14、对于实数 x , [ x] 表示不超过 x 的最大整数,观察下列等式:

[ 1] ? [ 2 ] ? [ 3 ] ? 3 [ 4 ] ? [ 5 ] ? [ 6 ] ? [ 7 ] ? [ 8 ] ? 10 [ 9 ] ? [ 10] ? [ 11] ? [ 12] ? [ 13] ? [ 14] ? [ 15] ? 21 ??
按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为

2n 2 ? n



15、如图,在平面直角坐标系中,边长为 a n 的一组正三角形 An Bn ?1 Bn 的底边 Bn?1Bn 依次排列 在 x 轴上( B0 与坐标原点重合) 。设 {an } 是首项为 a ,公差为 d 的等差数列,若所有正三角 形顶点 An 在第一象限,且均落在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上,则
2

a 的值为 d

1

.

16、已知函数 f ? x ? ? x ?

g ? x? a (a ? R ) , g ? x ? ? ln x , 若关于 x 的方程 2 ? f ? x ? ? 2e ( e 为 x x
e2 ? 1 e

自然对数的底数)只有一个实数根, 则 a =

解: 由

g ? x? ln x a ln x ? x 2 ? 2ex ? a . ? f ? x ? ? 2e , 得 2 ? x ? ? 2e , 化为 2 x x x x
ln x 1 ? ln x ' ' , 则 h ? x? ? .令 h ? x ? ? 0 , 得 x ? e . x x2

令 h ? x? ?

' ' 当 0 ? x ? e 时, h ? x ? ? 0 ; 当 x ? e 时, h ? x ? ? 0 .

∴函数 h ? x ? 在区间 ? 0, e ? 上单调递增, 在区间 ? e, ?? ? 上单调递减. ∴当 x ? e 时, 函数 h ? x ? 取得最大值, 其值为 h ? e ? ?
2 2 而函数 m ? x ? ? x ? 2ex ? a ? ? x ? e ? ? a ? e , 2

1 . e

当 x ? e 时, 函数 m ? x ? 取得最小值, 其值为 m ? e? ? a ? e .
2
2 ∴ 当a ? e ?

g ? x? 1 1 2 ,即 a ? e ? 时, 方程 2 ? f ? x ? ? 2e 只有一个根. e e x

三、解答题(共 6 题,共 80 分。需在答题卡对应位置写出必要的解题步骤和推演过程)

?? ? 17、 在△ABC 中,a, b, c 分别为角 A、 B、 C 的对边, 若 m =( sin 2 B ? C , 1 ) , n ? (?2,cos 2 A ?1) , 2
且m? n . (Ⅰ)求角 A 的度数; (Ⅱ)当 a ? 2 3 ,且△ABC 的面积 S ? 【解】 : (I)由于 m ? n ,所以

??

?

a 2 ? b2 ? c2 时,求边 c 的值和△ABC 的面积。 4 3

??

?

?? ? B?C A m ? n ? ?2sin 2 ? cos 2 A ? 1 ? 1 ? 2 cos 2 ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 cos 2 A ? cos A ? 1 2 2
? (2cos A ? 1)(cos A ? 1) ? 0 .
所以 cos A ? ? 即

1 或 1(舍去) , 2
A 的 度 数 为



2 ? 3
(II)由 S ?

.....................................6 分

? 3 a 2 ? b2 ? c2 及余弦定理得: tan C ? , ∴C ? 。 6 3 4 3
a c ? 得c ? 2, sin A sin C


又由正弦定理 所

?ABC







S?

1 ac sin B ? 3 。 2

.....................................12 分

18、 (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为菱形, 且 PA ? PD ? DA ? 2 ,

?BAD ? 600 .
(Ⅰ)求证: PB ? AD ; (Ⅱ)若 PB ? 6 ,求二面角 A ? PD ? C 的余弦值。 A

P

D B
0

C

【解析】 : (Ⅰ)证明:取 AD 的中点 E ,连接 PE, BE , BD .

∵ PA ? PD ? DA ,四边形 ABCD 为菱形,且 ?BAD ? 60 , ∴ ?PAD 和 ?ABD 为两个全等的等边三角形, 则 PE ? AD, BE ? AD,

∴ AD ? 平面 PBE ,又 PB ? 平面 PBE , ∴ PB ? AD ;

.....................................6 分

(Ⅱ)解:在 ?PBE 中,由已知得, PE ? BE ? 3 , PB ? 6 ,
2 2 2 则 PB ? PE ? BE ,∴ ?PEB ? 900 ,

即 PE ? BE ,又 PE ? AD ,∴ PE ? 平面 ABCD ; 以点 E 为坐标原点,分别以 EA,EB,EP 所在直线为 x,y,z 轴, 建立如图所示空间直角坐标系, 则 E(0,0,0) , C(-2, 则 DP =(1,0, z P) 3 ,

??? ?

3 ,0) ,D(-1,0,0) ,P(0,0, ???? 3) , DC =(-1, 3 ,0) ,
?

由题意可设平面 PAD 的一个法向量为 m ? (0,1, 0) ; 设平面 PDC 的一个法向量为 n ? (x, y, z) , 由已知得: ?
? ?

D A x E B

C y

? x ? 3z ? 0, ? ? ?? x ? 3 y ? 0,

令 y=1,则 x ? 3 ,z=-1,

∴ n ? ( 3,1, ?1) ; 则 m? n ? 1,所以 cos ? m, n ??
? ?

? ?

m? n

? ?

m n

? ?

?

1 5 ? , 5 5

由题意知二面角 A ? PD ? C 的平面角为钝角, 所 以 二 面 角

A ? PD ? C











?

5 . .....................................12 分 5

19 、 已 知 数 列 ?an ? 为 等 差 数 列 , a1 ? 2 , 其 前 n 和 为 Sn , 数 列 ?bn ? 为 等 比 数 列 , 且

a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? anbn ? (n ?1) ? 2n?2 ? 4 对任意的 n ? N? 恒成立.
(1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)是否存在 p, q ? N ,使得 2(ap ) ? bq ? 2016 成立,若存在,求出所有满足条件的 p, q ;
5
?

若不存在,说明理由. 【解】 (1)法 1:设数列 ?an ? 的公差为 d ,数列 ?bn ? 的公比为 q 。

因为 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? anbn ? (n ?1) ? 2n?2 ? 4(n ? N? ) 令 n ? 1, 2,3 分别得 a1b1 ? 4 , a1b1 ? a2b2 ? 20 , a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 68 ,又

a1 ? 2
? a1 ? 2, b1 ? 2 ? (2 ? d )(2q) ? 16 ? 所以 ? a2b2 ? 16 即 ? ? 3d 2 ? 4d ? 4 ? 0 2 (2 ? 2 d )(2 q ) ? 48 ? ? a b ? 48 ? 3 3

2 ? ?d 2 ? 2 ?d1 ? ? 得? 3 或? ?q2 ? 2 ? ? q1 ? 6
经检验 d ? 2, q ? 2 符合题意, d ? ? 所

2 , q ? 6 不合题意,舍去。 3


an ? 2n bn ?

n

.

....................................6 , 分 ①

法 2:因为 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? anbn ? (n ?1) ? 2n?2 ? 4 对任意的 n ? N 恒成立
?

则 a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ???? ? an-1bn-1 ? (n ? 2) ? 2n?1 ? 4 ( n ? 2 ) ① ? ②得 anbn ? n ? 2n?1 (n ? 2) 又 a1b1 ? 4 ,也符合上式,所以 anbn ? n ? 2n?1 (n ? N? ) 由于 ?an ? 为等差数列,令 an ? kn ? b ,则 bn ? 因 ?bn ? 为等比数列,则
2



n ? 2n ?1 , kn ? b

bn 2n[k (n ? 1) ? b] ? ? q (为常数) bn?1 (n ? 1)(kn ? b)

即 (qk ? 2k )n ? (bq ? kq ? 2b ? 2k )n ? qb ? 0 恒成立 所以 q ? 2, b ? 0 ,又 a1 ? 2 ,所以 k ? 2 , 故

an ? 2n, bn ? 2n .
?

.....................................6 分

(2)假设存在 p, q ? N 满足条件,因为 则 由 得

2(ap )5 ? bq ? 2016
5 q ?5

2(2 p)5 ? 2q ? 2016 ,

化简得, 2 p ? 63 ? 2 所以 2
q ?5

p ? N? 得 2 p5 ? 63 为奇数, 2 p5 ? 63 ? 1 ? p5 ? 32 ,

为奇数,故 q ? 5

故p?2



p?2
.....................................12 分



q?5

20、 (本小题满分 13 分)如图, F1 、 F2 为椭圆 C : 的两个顶点,椭圆的离心率 e ?

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点, D 、 E 是椭圆 a 2 b2

3 3 , S?DEF2 ? 1 ? .若 M ( x0 , y0 ) 在椭圆 C 上,则点 2 2

N(

x0 y0 , ) 称为点 M 的一个“好点”.直线 l 与椭圆交于 A 、 B 两点, A 、 B 两点的“好 a b

点”分别为 P 、 Q ,已知以 PQ 为直径的圆经过坐标原点.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ) ?AOB 的面积是否为定值?若为定值,试求出该定值;若不为定值,请说明理由. 【解析】 (Ⅰ)由题意得 e ?

1 c 3 3 ? a ,b ? a . ,故 c ? 2 a 2 2

1 1 3 a 1 3 3 , S?DEF2 ? (a ? c) ? b ? (a ? a) ? ? (1 ? )a 2 ? 1 ? 2 2 2 2 4 2 2
2 故 a ? 4 ,即 a ? 2 ,所以 b ?

1 a ? 1, c ? 3 2



C1
.....................................4 分



x2 ? y 2 ? 1. 4
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则 P (

x1 x , y1 ) 、 Q ( 2 , y2 ) . 2 2

①当直线 AB 的斜率不存在时,即 x1 ? x2 , y1 ? ? y2 , 由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点可得 OP ? OQ , 即

x1 x2 x2 ? ? y1 y2 ? 1 ? y12 ? 0 ,解得 x12 ? 4 y12 , 2 2 4

又点 A( x1 , y1 ) 在椭圆上,所以 所

4 y12 2 ? y12 ? 1 ,解得 | y1 |? ,| x1 |? 2 , 4 2


S?A


?

1 | 2

1



.....................................6 x |? O

1

②当直线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m .

? y ? kx ? m ? 2 2 2 由 ? x2 ,消 y 得, (4k ? 1) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 2 ? ? y ?1 ?4

4m 2 ? 4 ?8km 由根与系数的关系可得 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 4k 2 ? 1 4k 2 ? 1
由以 PQ 为直径的圆经过坐标原点可得 OP ? OQ ,即 即

x1 x2 ? ? y1 ? y2 ? 0 , 2 2

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 4

x1 x2 1 ? 4k 2 ? ( kx ? m )( kx ? m ) ? x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 故 1 2 4 4

?

1 ? 4k 2 4m 2 ? 4 ?8km ? 2 ? mk ? 2 ? m2 4 4k ? 1 4k ? 1
8k 2 m2 ?0 4k 2 ? 1
2 2 2

? 2m 2 ? 1 ?
2

整理得 (2m ?1)(4k ? 1) ? 8k m ? 0 ,即 2m2 ? 4k 2 ? 1 ? 0 . 所以 4k 2 ? 1 ? 2m2 . 而

?8km 2 4m 2 ? 4 16 | x1 ? x2 | ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? ( 2 ) ? 4 ? 2 ? (4k 2 ? 1 ? m2 ) 2 2 4k ? 1 4k ? 1 (4k ? 1)
2 2

4 1? k 2 故 | AB |? 1 ? k | x1 ? x2 |? 4k 2 ? 1
2

4k 2 ? 1 ? m 2


而点 O 到直线 AB 的距离 d ?

|m| 1? k 2

所以 S?AOB ?

1 1 4 1? k 2 | AB | ?d ? ? 2 2 4k 2 ? 1

4k 2 ? 1 ? m2 ?

| m| 1? k 2

?
综 1. 合

2|m| 2|m| 4k 2 ? 1 ? m 2 ? 2m 2 ? m 2 ? 1 . 2 4k ? 1 2m 2
①② 可 知

?AOB













.....................................12 分

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处的切线 l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,函数

g ( x) ? f ( x) ?

1 2 x ? bx . 2

(1)求实数 a 的值; (2)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ? 【解析】 (1)∵ f ( x ) ? x ? a ln x ,∴ f ?( x) ? 1 ?

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. 2

a . x
x ?1

∵ l 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? y ?

? 1? a ? 2 ,

∴a ?1 (2)? g ? x ? ? ln x ?

......................................2 分

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 2 1 x ? ? b ? 1? x,? g ? ? x ? ? ? x ? ? b ? 1? ? 2 x x

由题知 g ? ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上有解,

? x ? 0 设 u ? x ? ? x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 ,则 u ? 0 ? ? 1 ? 0 ,
b ?1 ? ?0 b ?1 ? ? 2 ?? 所以只需 ? ?? ? ? b ? 1?2 ? 4 ? 0 ?b ? 3或b<-1 ?
故 b 的取值范围是

? 3, ?? ? .
(3)? g ? ? x ? ?

.....................................6 分

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 , ? x ? ? b ? 1? ? x x

所以令 g ? ? x ? ? 0

? x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1

1 1 2 ? ? ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ?ln x1 ? x12 ? ? b ? 1? x1 ? ? ?ln x2 ? x2 ? ? b ? 1? x2 ? 2 2 ? ? ? ?

? ln
? 0 ? x1 ? x2
所以设 t ?

x1 1 2 x 1? x x ? 2 ? ? x1 ? x2 ? ? b ? 1?? x1 ? x2 ? ? ln 1 ? ? 1 ? 2 ? ? x2 2 x2 2 ? x2 x1 ?

x1 1 1? ? 0 ? t ? 1? h ? t ? ? ln t ? ? ? t ? ? ? 0 ? t ? 1? x2 2? t ?
2

? t ? 1? ? 0 ,所以 h t 在 0,1 单调递减, 1 1? 1? h? ? t ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ?? ? ? t 2? t ? 2t 2
?x ? x ? 1 25 7 25 2 2 即 ? x1 ? x2 ? ? 1 2 ? t ? ? 2 ? 又b ? ? ? b ? 1? ? x1 ? x2 t 4 2 4
2

1 ? 1 ? 15 ? 0 ? t ? 1,? 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0,? 0 ? t ? , h ? t ? ? h ? ? ? ? 2 ln 2 , 4 ?4? 8
故 所 求 的 最 小 值 是

15 ? 2 ln 2 8

.....................................12 分

22、 (本题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与 BC 的延长线交于 E 点,且 EC=ED.

(1)证明:CD∥AB; (2)延长 CD 到 F,延长 DC 到 G,使得 EF=EG,证明:A,B,G,F 四点共圆. 解析:证明: (1)因为 EC=ED,所以∠EDC=∠ECD. 因为 A,B,C,D 四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA, 故∠ECD=∠EBA.所以 CD∥AB. (2)由(1)知,AE=BE,因为 EF=EG,故∠EFD=∠EGC, 从而∠FED=∠GEC. 连接 AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE. 又 CD∥AB,∠EDC=∠ECD,所以∠FAB=∠GBA, 所以∠AFG+∠GBA=180°,故 A,B,G,F 四点共圆.

23、 (本题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x ? cos ? ?? 为参数? , 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ? y ? m ? sin ?

? 5 t ?x ? 1? ? 5 ? t为参数 ? , ? ?y ? 4 ? 2 5 t ? 5 ?
(1)求曲线 C 与直线 l 的普通方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 P, Q 两点,且 PQ ?

4 5 ,求实数 m 的值。 5

解析: (1)由 ?

? x ? cos? ? x ? cos? 得? ? y ? m ? sin ? ? y ? m ? sin ?

(1) , (2)

(1)2 ? (2)2 得,曲线 C 的普通方程为: x2 ? ( y ? m)2 ? 1 ;
由 x ? 1?

5 5 2 5 t得 t ? x ? 1 代入 y ? 4 ? t 得 y ? 4 ? 2( x ? 1) , 5 5 5

所以直线 l 的普通方程为 y ? 2 x ? 2 . (2) 圆心 (0, m) 到直线 l 的距离为 d ?
2

?m?2 5
2



? ?m?2 ? ?2 5? ? ? 1, ? ?? 所以由勾股定理得 ? ? ? ? 5 ? ? ? ? 5 ?
解之得, m ? 3 或 m ? 1 .

24、 (本小题满分 10 分)选修 4—5: 《不等式选讲》 已知 a 、 b 、c 为正数, (1)若直线 2x-(b-3)y+6=0 与直线 bx+ay-5=0 互相垂直,试求 2 a ? 3b 的最小值; (2)求证: (ab ? a ? b ? 1)(ab ? ac ? bc ? c ) ? 16abc.
2

解: (1)由已知,有: 2b ? a[?(b ? 3)] ? 0 即:

ab ? 3a ? 2b ? 0

? ?

(a ? 2)(b ? 3) ? 6

a 、 b 为正数,

? a ? 2, b ? 3

?

2a ? 3b ? 2(a ? 2) ? 3(b ? 3) ? 13 ? 2 2(a ? 2) ? 3(b ? 3) ? 13 ? 25
当且仅当 2(a ? 2) ? 3(b ? 3) 时取等号,此时: a ? b ? 5

故 (2)?

当 a ? b ? 5 时, 2 a ? 3b 的最小值是 25.

a 、 b 、c 为正数,
(ab ? a ? b ? 1)(ab ? ac ? bc ? c2 )
? ( a ? 1)(b ? 1)(a ? c )(b ? c ) ? 2 a ? 2 b ? 2 ac ? 2 bc ? 16abc

?


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