北京市顺义区2016届高三上学期期末统一测试数学(理)试题

顺义区 2016 届高三年级期末统一测试

数

学

试

卷

（理科）

第Ⅰ卷（选择题

共 40 分）

一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项. 1．已知集合 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0} ， B ? {x | ?1 ? x ? 0} ，那么 A ? B ? （A） {x | x ? ? } （C） {x | ?1 ? x ? ? } （ ）

1 2

（B） {x | x ? 0}

1 2

（D） {x | ?

1 ? x ? 0} 2
（ ） （D） y ? 2 ? 1
x

2.下列函数中为偶函数的是 （A） y ? x ? sin x
2

（B） y ? x ? cos x

（C） y ? ln | x |

3.某学校共有师生 4000 人.现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 200 的样本， 调查师生对学校食堂就餐问题的建议.已知从学生中抽取的人数为 190 人，那么该校的教师人 数为 （ ）

（A） 100 人

[来源:Zxxk.Com]

（B） 150 人

（C） 200 人 （

（D） 250 人 ） （D）

4.极坐标方程分别是 ? ? 2cos ? 和 ? ? 2sin ? 的两个圆的圆心距是 （A） 2 （B） 2 （C）1

2 2

5.在 ? ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ，且 c ? 1 ， ?A ? 45 ， S? ABC ? 2 ，则 a ?
0

（C） 41 （D） 5 2 ? ? ? ? ? ? ? 3 b0 ? ”是“ a ∥ b ”成立的 6.对于非零向量 a, b ， “ 2a ? （A） 5 （B） 25 （A）充分而不必要条件 （C）充要条件 （B）必要而不充分条件

（

）

（D）既不充分又不必要条件

7.如下程序框图中，当 n ? N * (n ? 1) 时，函数 f n ( x) 表示函数 f n ?1 ( x) 的导函数， 即 f n ( x) ? f 'n?1 ( x) .若输入函数 f1 ( x) ? sin x ? cos x ，则输出的函数

f n ( x) 为
（A） 2 sin( x ?

(

) （B） ? 2 sin( x ?

? ) 4 ? （C） 2 sin( x ? ) 4

? ) 4 ? （D） ? 2 sin( x ? ) 4

8.设函数 f ( x) ?| 2 ? 1|, c ? b ? a ，且 f (c) ? f (a) ? f (b) ，则下列关系式正确的是
x

（ （A） a ? c ? 0 （B） a ? c ? 0 （C） a ? c ? 0 （D ） a ? c ? 0

）

第Ⅱ卷（非选择题
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9．复数
?2

共 110 分）

?1 ? i ? __________ . 1? i
1

10． 3 ,2 3 ,log 1 3 三个数中最大的数 是 _________.
2

11. 设双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个顶点为 (1, 0) , 它的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8 x a 2 b2

的焦点相同，则双曲线 C 的方程为 __________, 离心率为 _________.

?x ? y ?1 ? 0 ? 12.若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 ，则 z ? ?2 x ? y 的最大值为 _______. ?x ? 2 ?
13.已知函数 y ? a
x ?1

(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在一次函数 y ? mx ? n 的图象上，

其中 m ? 0, n ? 0 ，则 mn 的最大值为 _________. 14.某大众创业公司，2015 年底共有科研人员 10 人，公司全年产品总产值 500 万元,从 2016 年起 该公司计划产品的年产值每年增加 100 万元,为扩大规模，科研人员每年净增 a 人，设从 2016 年 起的第 x 年（ x ? N * , 2016 年为第一年） ，该公司科研人员人均产值 y 万元，则 y 与 x 之间的函 数关系式为 ____________ ；为使该公司的人均产值每年都不低于前一年的人均产 值，那么该

公司每年增加的科研人员不能超过 ________ 人. 三、解答题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ? sin 2

x 3 1 ? sin x ? ． 2 2 2

（Ⅰ）求函数 f ( x) 的最小正周期； （Ⅱ）求函数 f ( x) 的单调递增区间. 16.（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ?| x ? a | , g ( x) ? x ? 2ax ? 1 ( a 为正常数),且函数 f ( x ) 和 g ( x) 的图像与 y 轴相
2

交于同一点. （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x ) ? g ( x ) 在 [1, 2] 上的最大值与最小值． 17.（本小题满分 13 分） 某班级举行一次 “科普知识” 竞赛活动， 活动分为初赛和决赛两个阶段.现将初赛答卷成绩 （得 分均为整数，满分为 100 分）进行统计，制成如下频率分布表

分 组（分数段） [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90,100] 合 计

频 数（人 数）

频

率

8

0.44
14

0.28

50

1

（Ⅰ）填写频率分布表中的空格； （Ⅱ）决赛规则如下：参加决赛的每位同学从给定的 5 道小题中依次口答，答对 3 道题就终止答 题并获一等奖；如果前 3 道题都答错就不再答第 4、5 题而被淘汰.某同学进入决赛，每道题 答对的概率均为 0.5. ①求该同学恰好答满 5 道题并获一等奖的概率； ②记该同学决赛中答题的个数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.

18.（本小题满分 13 分） 已知函数 f ( x) ? ln x , g ( x) ? ?

k ,(k ? 0) x

（Ⅰ）求曲线 y ? f ( x) 在 (e, f (e)) 处的切线方程； （Ⅱ）求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间； （Ⅲ）若对 ?x ? (??, 0) ? (0, ??) 都有 f (| x |) ? g (| x |) 成立，试确定实数 k 的取值范围.

19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 E :

[来源:学科网]

x2 y2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的一个顶点 A(0,1) ，离心率 e ? . 2 a b 2

（Ⅰ）求椭圆 E 的方程； (Ⅱ)过右焦点 F 作斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于 M 、 N 两点.若在 x 轴上存在 点 P (m, 0) ，使得以 PM , PN 为邻边的平行四边形是菱形，试求出 m 的取值范围. 20.（本小题满分 14 分）

n2 (n ? 4, n ? N * ) 个正数排 成一个 n 行 n 列的数阵，
? a11 ? ? a21 A ? ? a31 ? ?? ? ?a ? n1 a12 ??? a1n ? ? a22 a23 a24 ??? a2 n ? a32 a33 a34 ??? a3n ? 其中 aij (1 ? i ? n ,1? j ? n )表示该数阵中位于第 i 行 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? an 2 an 3 an 4 ??? ann ? ? a13 a14

第 j 列的数， 已知该数阵每一行的数成等差数列， 每一列的数成公比为 2 的等比数列， 且 a22 ? 6, a33 ? 16 . (Ⅰ) 求 a11 和 ai j
；

(Ⅱ)设 An ? a1n ? a2( n?1) ? a3( n?2) ??????? ?an1 . ①求 An ； ②证明：当 n 是 3 的倍数时， An ? n 能被 21 整除.

顺义区 2016 届高三期末统一测试 （理科）
参考 答案及评分标准
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. B ； 2. C ； 3. C； 4. B； 5. A； 6. A； 7. C ； 8 . D. 2016.1

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.

9.

10.

11.

，

12.

， 13.

14. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分 13 分）

解： （Ⅰ）由已知

【3 分】

【6 分】 的最小正周期为 . 【7 分】

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

当

时

递增

【10 分】

即

函数

的递增区间为

【13 分】

16.（本小题满分 13 分） 解： （Ⅰ） 函数 解得 和 . 的图像与 轴相交于同一点， 【4 分】

（Ⅱ）令

，

【8 分】

的对称轴为

，

当 在 上

时， 的最小值为 ，最大值为

单调递增。 【13 分】

17. （本小题满分 13 分）
分 组（分数段） [60, 70) [70, 80) [80, 90) [90,100] 合 计
[来源:Z#xx#k.Com]

频 数（人 数）

频

率

解： （Ⅰ） 【4 分】 （Ⅱ）①该同学答满 道题并获一等奖，即前 道题回答结果 对 错，而第 道题答对，
[来源:Z#xx#k.Com]

【 6 分】 ②该同学答题的个数可能为 、 、 ，即 ， 【7 分】

时分两种情况：答完 3 道题获奖或答完 3 道题淘汰，

时分两种情况：答完 4 道题获奖或答完 4 道题淘汰，

时分两种情况：答完 5 道题获奖或答完 5 道题淘汰，

【10 分】

【13 分】

18.（本小题满分 13 分）

解： （Ⅰ）当

时，

，

，

，

所求切线方程为

，即

【4 分】

（Ⅱ）令

当 当

时， 时， 在

在 在 上递增

上成立， 上成立， 【8 分】 则 时， ， 【10 分】

在 在

上递增， 上成立

（Ⅲ）解法（一） ：令 等价于 等价于 时，

，

为偶函数.

，

当 当

时，令 时， 在

则 在 上递增， 上成立， 在

，这与 在

矛盾, 上成立

不合题意.

上递减

，解得

，又

，

【13 分】

解法（二） ：由已知 等价于 只需 时，

,
，令 ， 即 时， ，则 ； 【10 分】

， 为偶函数，

当

，

，

，令

则

在

递减，在

递增，

故

，

【13 分】

19.（本小题满分 14 分）解： （Ⅰ）由 已知

， 【2 分】

解得

，

所求椭圆方程为

【4 分】

(Ⅱ) 由已知直线 的斜率 存在且

设 ： .

，

消去

得：

设

， 【8 分】 ， ， 【10 分】 ， 为邻边的平行四边形是菱形，
[来源:学科网]

在 轴上存在动点 由于对角线互相垂直

，使得以

即 ，

，

，化简得

又

【14 分】 (Ⅱ)解法 2.若在 轴上存在动点 则 点 在 ，使得以 的中垂线上， ， 为邻边的平行四边形是菱形，

设

的中点为

，由

，

） ，

，化简得

而 20.（本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ）由已知 ， 知 ，

(参照解法 1 相应给分)

，解得

是公差为 4 的等差数列，由 又每一列的数成公比为 2 的等比数列，由 类似的可得

【2 分】

即 （Ⅱ）由

【4 分】

①由
⑴ 2 ⑵

⑵-⑴ 即 【8 分】 ， 是 的倍数，令 【8 分】

②

.

【14 分】

第②问当 是 的正整数倍时，用数学归纳法证明正确的给相应的分数.