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【成才之路】2014-2015学年高中数学 本册综合素能检测 新人教A版必修1


本册综合素能检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则下列结论中正确的是( A.

A? B C.A∪B={1,2,3,4,5} [答案] D [解析] A 显然错误;A∩B={2,3},B 错;A∪B={1,2,3,4},C 错,故选 D. 2.已知集合 A={x|y= 1-x ,x∈Z},B={y|y=x +1,x∈A},则 A∩B 为( A.? C.[0,+∞) [答案] B [解析] 由 1-x ≥0 得,-1≤x≤1, ∵x∈Z,∴A={-1,0,1}. 当 x∈A 时,y=x +1∈{2,1},即 B={1,2}, ∴A∩B={1}. 3.已知函数 f(x)=(x-a)(x-b)(其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x)=a +b 的 图象是( )
x
2 2 2 2

)

B.A∩B={2} D.A∩(?UB)={1}

)

B.{1} D.{(0,1)}

[答案] A [解析] ∵f(x)=0 时,x=a 或 x=b. 又∵a>b,∴b<-1,0<a<1. 根据图象变换,不难得出答案为 A. 4.下列函数中,在 R 上单调递减的是( )
1

A.y=|x| C.y=x
2

B.y=log2x 1 x D.y=( ) 2

[答案] D [解析] 由四种函数的图象可知 D 正确. 5.函数 f(x)=2 +3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) [答案] B [解析] ∵f(x)=2 +3x, 5 ∴f(-1)=- <0,f(0)=1>0,故选 B. 2 6.高为 H、满缸水量为 V 的鱼缸的轴截面如图所示,其底部碰了一个小洞,满缸水从 洞中流出,若鱼缸水深为 h 时水的体积为 v,则函数 v=f(h)的大致图象是( )
x x

)

B.(-1,0) D.(1,2)

[答案] B [解析] 水流速度恒定,开始鱼缸中水的高度下降快,逐渐越来越慢,到达中间,然后 高度下降又越来越快,故排除 A、C、D,选 B. 7.实数 a=0.2 A.a<c<b C.b<a<c [答案] C [ 解析 ] ( 2) . 8.设 f(x)=3 +3x-8,用二分法求方程 3 +3x-8=0 在 x∈[1,3]上的近似解的过程 中取区间中点 x0=2,那么下一个有根区间为( )
2
x x
0.2 2

,b=log

2

0.2,c=( 2) 的大小关系正确的是( B.a<b<c D.b<c<a

0.2

)

根据指数函数和对数函数的性质 b = log

2

0.2 < 0 < a = 0.2

2

<1<c=

A.[1,2] C.[1,2]或[2,3]都可以 [答案] A

B.[2,3] D.不能确定

[解析] 由于 f(1)<0,f(2)>0,f(3)>0,所以下一个有根区间为[1,2]. 1 1 |x| 9.已知函数 f(x)=log x,则方程( ) =|f(x)|的实根个数是( 2 2 A.1 C.3 [答案] B 1 |x| 1 [解析] 在同一平面直角坐标系中作出函数 y=( ) 及 y=|log x|的图象如图,易得 2 2 B. B.2 D.2006 )

10.若偶函数 f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中,成立的是)( 3 A.f(- )<f(-1)<f(2) 2 3 C.f(2)<f(-1)<f(- ) 2 [答案] D [解析] ∵f(x)为偶函数,∴f(2)=f(-2). 3 又∵-2<- <-1,且 f(x)在(-∞,-1)上是增函数, 2 3 ∴f(2)<f(- )<f(-1). 2 11.若函数 f(x)=lg(10 +1)+ax 是偶函数,g(x)= ( ) 1 A. 2 1 C.- 2 [答案] A B.1 D.-1
x

)

3 B.f(-1)<f(- )<f(2) 2 3 D.f(2)<f(- )<f(-1) 2

4 -b x 是奇函数,则 a+b 的值是 2

x

[解析] ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x),即 lg(10 +1)-ax=lg(10 +1)-(a+ 1 x 1)x=lg(10 +1)+ax,∴a=-(a+1),a=- .又 g(x)是奇函数,∴g(-x)=-g(x),即 2
3

-x

x

b b 1 -x x 2 - -x=-2 + x,∴b=1.∴a+b= . 2 2 2
12.已知函数 f(x)=|2 -1|,当 a<b<c 时,f(a)>f(c)>f(b),那么正确的结论是 ( ) A.2 >2
-a

x

a

b

B.2 >2
c a

a

c

C.2 <2

D.2 +2 <2

c

[答案] D [解析] 函数 y=|2 -1|如图,
x

当 a<b<c 时 f(a)>f(c)>f(b),

a,b,c 不可能同时大于 0 或小于 0,
∴a<0,c>0,∴0<2 <1,2 >1. 又 f(a)=|2 -1|=1-2 ,f(c)=|2 -1|=2 -1, ∴1-2 >2 -1,即 2 +2 <2. 故应选 D. 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.函数 y= log3x的定义域为______________.(用区间表示) [答案] [1,+∞) [解析] log3x≥0,即 x≥1 定义域为[1,+∞). 14.设 P、Q 是两个非空集合,定义集合间的一种运算“⊙”:P⊙Q={x|x∈P∪Q,且
a c a c a a c c a c

x?P∩Q},如果 P={y|y= 4-x2},Q={y|y=4x,x>0},则 P⊙Q=________.
[答案] [0,1]∪(2,+∞)

[解析] P=[0,2],Q=(1,+∞), ∴P⊙Q=[0,1]∪(2,+∞).
?2 +1,x<1, ? 15.已知函数 f(x)=? 2 ? ?x +ax,x≥1,
x

若 f[f(0)]=4a,则实数 a 等于________.

[答案] 2 [解析] ∵0<1,∴f(0)=2 +1=2.
4
0

∵2>1,∴f(2)=4+2a, ∴f[f(0)]=f(2)=4+2a=4a, ∴a=2. 16.已知函数 f(x)=lg(2 -b)(b 为常数),若 x∈[1,+∞)时,f(x)≥0 恒成立,则 b 的取值范围是________. [答案] (-∞,1] [解析] ∵要使 f(x)=lg(2 -b)在 x∈[1,+∞)上,恒有 f(x)≥0,∴有 2 -b≥1 在
x x x

x∈[1,+∞)上恒成立,即 2x≥b+1 恒成立.
又∵指数函数 g(x)=2 在定义域上是增函数.∴只要 2≥b+1 成立即可,解得 b≤1. 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分, 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)计算: 2 1 log 3 (1)计算 273 -2 2 ×log2 +log23×log34; 8 1 1 -1 - (2)已知 0<x<1,且 x+x =3,求 x2 -x 2 . 2 1 log 3 [解析] (1)27 -2 2 ×log2 +log23×log34=9-3×(-3)+2=20. 3 8 1 1 1 1 1 1 - 2 1 -1 - - (2)(x2 -x 2 ) =x +x -2=1,∵0<x<1? x2 -x 2 <0? x2 -x 2 =-1. 18.(本小题满分 12 分)已知集合 A={x|x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5}. (1)若 a=-2,求 A∩?RB; (2)若 A? B,求 a 的取值范围. [解析] (1)当 a=-2 时,集合 A={x|x≤1},?RB={x|-1≤x≤5}; ∴A∩?RB={x|-1≤x≤1}. (2)∵A={x|x≤a+3},B={x|x<-1 或 x>5},
x

A? B,
∴a+3<-1, ∴a<-4. 19.(本小题满分 12 分)二次函数 f(x)满足 f(x+1)-f(x)=2x,且 f(0)=1. (1)求 f(x)的解析式; (2)在区间[-1,1]上, y=f(x)的图象恒在 y=2x+m 的图象上方, 试确定实数 m 的取值 范围. [解析] (1)设 f(x)=ax +bx+c(a≠0), 则 f(x+1)-f(x)=[a(x+1) +b(x+1)+c]-(ax +bx+c)=2ax+a+b. 又∵f(x+1)-f(x)=2x,
5
2 2 2

?2a=2, ? ∴? ?a+b=0. ?

解得?

?a=1, ? ?b=-1. ?
2

又∵f(0)=c=1,∴f(x)=x -x+1. (2)由题意,得 x -x+1>2x+m, 即 m<x -3x+1 对 x∈[-1,1]恒成立. 易得 m≤(x -3x+1)min=-1,即 m≤-1. 20. (本小题满分 12 分)(2013~2014 学年山东省潍坊市四县一区高一上学期 11 月份月 考数学试题)
2 2 2

x+b 函数 f(x)= 2是定义在(-1,1)上的奇函数. 1+x
(1)求函数 f(x)的解析式; (2)用单调性定义证明函数 f(x)在(0,1)上是增函数. [解析] (1)∵函数 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,f(-x)=-f(x), 故 -x+b x+b 2 =- 2,所以 b=0, 1+x 1+ x

所以 f(x)= 2. 1+x (2)设 0<x1<x2<1,x2-x1>0, 则 f(x2)-f(x1)= 2- 2 1+x2 1+x1
2 x2-x1+x2x2 ?x2-x1??1-x1x2? 1-x1x2 = = , 2 2 ?1+x12??1+x2? ?1+x12??1+x2?

x

x2

x1

∵0<x1<x2<1,∴Δ x=x2-x1>0,1-x1x2>0, ∴而 1+x1>0,1+x2>0,∴Δ y=f(x2)-f(x1)>0, ∴f(x)在(0,1)上是增函数. 21.(本小题满分 12 分)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足:①对任意的 x,y∈R,都有
2 2

f(xy)=f(x)+f(y);②当 x>1 时,f(x)>0.
(1)求证:f(1)=0; 1 (2)求证:对任意的 x∈R,都有 f( )=-f(x);

x

(3)判断 f(x)在(-∞,0)上的单调性. [解析] (1)证明:令 x=y=1,则有

f(1)=f(1)+f(1)? f(1)=0.
1 1 1 (2)证明:对任意 x>0,用 代替 y,有 f(x)+f( )=f(x· )=f(1)=0,

x

x

x

6

1 ∴f( )=-f(x).

x

(3)f(x)在(-∞,0)上是减函数. 取 x1<x2<0,则 >1, ∴f( )>0, 1 x1 ∵f(x1)-f(x2)=f(x1)+f( )=f( )>0,

x1 x2

x1 x2

x2

x2

∴f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(-∞,0)上为减函数. 22.(本小题满分 12 分)我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段 以达到节约用水的目的.某市用水收费标准是:水费=基本费+超额费+定额损耗费.且有 如下三条规定: ①若每月用水量不超过最低限量, 即 m 立方米时, 只付基本费 9 元和每户每月定额损耗 费 a 元; ②若每月用水量超过 m 立方米时, 除了付基本费和定额损耗费外, 超过部分每立方米付

n 元的超额费;
③每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元. (1)求每户每月水费 y(元)与月用水量 x(立方米)的函数关系式; (2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示: 月份 一 二 三 用水量(立方米) 4 5 2.5 水费(元) 17 23 11

试分析该家庭今年一、二、 三各月份的用水量是否超过了最低限量, 并求 m, n,a 的值. [解析] (1)依题意,得

y=?

? ?9+a,

0<x≤m, ②



?9+n?x-m?+a,x>m, ?

其中 0<a≤5. (2)∵0<a≤5,∴9<9+a≤14. 由于该家庭今年一、二月份的水费均大于 14 元,故用水量 4 立方米,5 立方米都大于 最低限量 m 立方米. 将?
? ?x=4, ?y=17 ?

和?

? ?x=5, ?y=23 ?

分别代入②,

7

?17=9+n?4-m?+a, ? 得? ?23=9+n?5-m?+a. ?

两式相减,得 n=6. 把 n=6 代入 17=9+n(4-m)+a,得 a=6m-16. 又三月份用水量为 2.5 立方米,水费为 11 元<14 元, ∴将?
? ?x=2.5, ?y=11 ?

代入①,得 11=9+a,

解得 a=2,将 a=2 代入 a=6m-16,得 m=3. ∴该家庭今年一、 二月份的用水量超过了最低限量, 三月份的用水量没有超过最低限量, 且 m=3,n=6,a=2.

8


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