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2011高考数学二轮复习 专题八 思想方法第4讲 转化与化归思想配套课件


第4讲

转化与化归思想 明确考向

感悟高考

(2009· 辽宁)正六棱锥 P—ABCDEF 中, 为 PB 的中点, G 则三棱锥 D—GAC 与三棱锥 P—GAC 体积之比为( C ) A.1∶1 C.2∶1 B.1∶2 D.3∶2

解析 如图,设棱锥的高为 h, 1 1 VD-GAC=VG

-DAC= S△ADC·h, 3 2 1 1 h VP—GAC= VP—ABC=VG—ABC= S△ABC·. 2 3 2 又 S△ADC∶S△ABC=2∶1, 故 VD—GAC∶VP—GAC=2∶1.

考题分析 本题以几何体为背景, 考查三棱锥体积公式 的灵活运用, 考查考生将体积之比转化为底面积之比或 高之比的转化与化归的能力. 此题考查的重点是等价转 化的数学思想方法在解决问题中的应用. 易错提醒
(1)找不到转化问题的方法,即不能入手. (2)“换顶点”后,两三棱锥的关系不清.

思想方法概述
转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学 问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化,进而得 到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转 化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求 解的问题,将未解决的问题通过变换转化为已解决的问 题. 转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位,数 学问题的解决,总离不开转化与化归,如未知向已知的 转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的 转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学 问题转化等. 各种变换、 具体解题方法都是转化的手段, 转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过 程中.

1.转化与化归的原则 (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题, 以利于我们运用熟知的知识、经验来解决. (2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题,通过 对简单问题的解决,达到解决复杂问题的目的,或 获得某种解题的启示和依据. (3)直观化原则:将比较抽象的问题化为比较直观的 问题来解决. (4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,可 考虑问题的反面,设法从问题的反面去探讨,使问 题获解.

2.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时, 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一 种情形,也就是转化到另一种情境使问题得到解决, 这种转化是解决问题的有效策略,同时也是成功的 思维方式.常见的转化方法有: (1)直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基 本公式或基本图形问题. (2)换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使 整式降幂等,把较复杂的函数、方程、不等式问题 转化为易于解决的基本问题. (3)数形结合法:研究原问题中数量关系(解析式)与 空间形式(图形)关系,通过互相变换获得转化途径. (4)等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等 价命题,达到化归的目的.

(5)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化, 并证明特殊化后的问题、结论适合原问题. (6)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为 易于解决的问题. (7)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题 是转化方法的一个重要途径. (8)类比法: 运用类比推理, 猜测问题的结论, 易于确定. (9)参数法:引进参数,使原问题转化为熟悉的形式进行 解决. (10)补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题 的结果看做集合 A,而把包含该问题的整体问题的结果 类比为全集 U,通过解决全集 U 及补集?UA 获得原问题 的解决,体现了正难则反的原则.

3.转化与化归的指导思想 (1)把什么问题进行转化,即化归对象. (2)化归到何处去,即化归目标. (3)如何进行化归,即化归方法. 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心.

热点分类突破
题型一 函数、方程与不等式之间的转化与化归 1 3 例 1 设函数 f(x)= x -(1+a)x2+4ax+24a, 其中常数 3 a>1. (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. 思维启迪 (1)求 f′(x)=0 的根,比较两根的大小、确
定区间,讨论 f(x)的单调性;(2)将 f(x)>0 恒成立转化为 f(x)的最小值大于 0. 解 (1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a). 由已知 a>1,∴2a>2, ∴令 f′(x)>0,解得 x>2a 或 x<2, ∴当 x∈(-∞,2)和 x∈(2a,+∞)时,f(x)单调递增, 当 x∈(2,2a)时,f(x)单调递减.

综上,当 a>1 时,f(x)在区间(-∞,2)和(2a,+∞)是增函 数,在区间(2,2a)是减函数. (2)由(1)知, x≥0 时, 当 f(x)在 x=2a 或 x=0 处取得最小值. 1 f(2a)= (2a)3-(1+a)(2a)2+4a· 2a+24a 3 4 3 4 2 =- a +4a +24a=- a(a-6)(a+3), 3 3 f(0)=24a. ?a>1, ? 由题设知?f(2a)>0, ?f(0)>0, ? ?a>1, ? ? 4 即?-3a(a+3)(a-6)>0, ? ?24a>0, ? 解得 1<a<6.故 a 的取值范围是(1,6).

探究提高

函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”,

解决方程、不等式的问题需要函数帮助,解决函数的问 题需要方程、不等式的帮助,因此借助于函数、方程、 不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简, 一般可将 不等关系转化为最值(值域)问题,从而求出参变量的范 围.

变式训练 1 已知函数 f(x)=log4(4x+1)+2kx(k∈R)是 偶函数, (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=m 有解,求 m 的取值范围.
解 (1)∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x), ∴log4(4-x+1)-2kx =log4(4x+1)+2kx, 4-x+1 ∴log4 x =4kx, 4 +1 1 ∴log4 x=4kx, 4 ∴-x=4kx,(4k+1)x=0 恒成立, 1 ∴k=- . 4

1 (2)由(1)知 f(x)=log4(4 +1)- x 是偶函数. 2 ∵f(x)在[0,+∞)上是增函数, 1 ∴f(x)≥f(0)=log42= . 2 1 ∴f(x)的值域为[ ,+∞), 2 1 若方程 f(x)=m 有解,则 m∈[ ,+∞), 2 1 ∴m 的取值范围为[ ,+∞). 2
x

题型二

正难则反的转化与化归

例 2 已知三条抛物线:y=x2+4ax-4a+3,y=x2+(a -1)x+a2, 2+2ax-2a 中至少有一条与 x 轴相交, y=x 求实数 a 的取值范围. 思维启迪

三条抛物线中至少有一条与 x 轴相交的情

况比较多,反面为三条抛物线与 x 轴都不相交,只有一 种情况.
?Δ1=(4a)2-4(3-4a)<0 ? 2 2 解 令 y=0,由?Δ2=(a-1) -4a <0 , ?Δ =(2a)2+8a<0 ? 3 3 解得- <a<-1, 2 3 ∴满足题意的 a 的取值范围是 a≤- 或 a≥-1. 2

探究提高

本题若从正面讨论则需分类讨论求解, 繁不

堪言, 但从其反面“三条抛物线都不与 x 轴相交”着手, 求出 a 的取值范围,再求其补集,则使问题简单得多 了.一个题目若出现多种成立的情况,则不成立的情况 一般较少,易从反面考虑,在排列组合中有较多这样的 问题.

变式训练 2

已知集合 A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+

1)>0},B={y|y2-6y+8≤0},若 A∩B≠?,则实数 a 的取值范围为__________________.
解析 由 题 意 得 A = {y|y>a2 + 1 或 y<a} , B = {y|2≤y≤4}, 我们不妨先考虑当 A∩B=?时 a 的取值范 围.如图:

?a≤2 ? 由? 2 ?a +1≥4 ?

?a≤2 ? 得? ?a≥ 3或a≤- ?

3



∴a≤- 3或 3≤a≤2. 即 A∩B=?时,a 的取值范围为 a≤- 3或 3≤a≤2. 而 A∩B≠?时,a 的取值范围显然是其补集,从而所求 范围为{a|a>2 或- 3<a< 3}.

答案 {a|a>2 或- 3<a< 3}

题型三 以换元为手段的转化与化归 例 3 已知 a∈R, 求函数 y=(a-sin x)(a-cos x)的最小 值. 思维启迪 本题考查函数的最值问题、化归思想及运算
能力.观察到等式右边是关于 sin x· x 与 sin x+cos x cos 的三角式,可设 t=sin x+cos x,则原问题可转化为二 次函数在闭区间上的最值问题.

解 函数可化为 y=sin x· x-a(sin x+cos x)+a2. cos 设 t=sin x+cos x, ? π? ? 则 t= 2sin?x+4?,故 t∈[- 2, 2]. ? ? ?

1 1 2 2 而 sin x· x= [(sin x+cos x) -1]= (t -1), cos 2 2 1 2 12 1 2 2 于是,y=f(t)=a -at+ (t -1)= t -at+a - 2 2 2 1 1 2 1 2 = (t-a) + a - . 2 2 2 1 1 2 1 2 原问题化归为求二次函数 f(t)= (t-a) + a - 在 2 2 2 t∈[- 2, 2]上的最值问题. 1 2 1 (1)当- 2≤a≤ 2时,若 t=a,f(t)min= a - ; 2 2 (2)当 a> 2时,f(t)在[- 2, 2]上单调递减, 1 2 f(t)min=f( 2)=a - 2a+ ; 2 (3)当 a<- 2时,f(x)在[- 2, 2]上单调递增. 1 2 f(t)min=f(- 2)=a + 2a+ . 2

探究提高

此类问题换元后将问题化为熟知的二次函数

问题,这种做法常被采用,在一个代数式中若 sin x· x cos 与 sin x+cos x 同时出现时, 常设 t=sin x+cos x 进而表示 出 sin x· x,原式转化为含有 t 的代数式进行求解,使 cos 问题顺利解决.

变式训练 3 已知奇函数 f(x)的定义域为实数集 R,且 π f(x)在[0,+∞)上是增函数,当 0≤θ≤ 时,是否存在 2 这样的实数 m,使 f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>f(0) ? π? ? 对所有的 θ∈?0,2?均成立?若存在,求出所有适合条 ? ? ? 件的实数 m;若不存在,请说明理由.
解 因为 f(x)在 R 上为奇函数,又在[0,+∞)上是增函 数, 故 f(x)在 R 上为增函数,且 f(0)=0. 由题设条件可得, f(cos 2θ-3)+f(4m-2mcos θ)>0. 又由 f(x)为奇函数,可得 f(cos 2θ-3)>f(2mcos θ-4m). ∵f(x)在 R 上为增函数,∴cos 2θ-3>2mcos θ-4m,

即 cos2θ-mcos θ+2m-2>0. π 令 cos θ=t,∵0≤θ≤ ,∴0≤t≤1. 2 于是问题转化为对一切 0≤t≤1, 不等式 t2-mt+2m-2>0 恒成立. t2-2 ∴t2-2>m(t-2),即 m> 恒成立. t-2 t2-2 2 又∵ =(t-2)+ +4≤4-2 2, t-2 t-2 ∴m>4-2 2, ∴存在实数 m 满足题设的条件,m>4-2 2.

规律方法总结 在将问题进行化归与转化时,一般应遵循以下几种原 则: (1)熟悉化原则:将陌生的问题转化为我们熟悉的问题. (2)简单化原则: 将复杂的问题通过变换转化为简单的问 题. (3)直观化原则: 将较抽象的问题转化为比较直观的问题 (如数形结合思想, 立体几何问题向平面几何问题转化). (4)正难则反原则:若问题直接求解困难时,可考虑运用 反证法或补集法或用逆否命题间接地解决问题.

知能提升演练
一、选择题 1.(2010· 湖南)若非零向量 a,b 满足|a|=|b|,(2a+b)· b =0,则 a 与 b 的夹角为 A.30° C.120° B.60° D.150° ( C )

解析 由(2 a+b)· b=0,得 2 a· b+b 2=0,设 a 与 b 的 夹角为 θ, ∴2|a||b|cos θ+|b|2=0. |b|2 |b|2 1 ∴cos θ=-2|a||b|=-2|b|2=-2,又 0° ≤θ≤180° , ∴θ=120° .

2.在等比数列{an}中,a1=a,前 n 项和为 Sn,若数列 {an+1}成等差数列,则 Sn 等于 A.an+1-a C.na B.n(a+1) D.(a+1)n-1 ( C )

解析 利用常数列判断 a,a,a,?,则存在等差数列 a+1,a+1,a+1,?或通过下列运算得到:2(aq+1) =(a+1)+(aq2+1),q=1,Sn=na.

3.方程 sin2x+cos x+k=0 有解,则 k 的取值范围是 ( D ) 5 5 A.-1≤k≤ B.- ≤k≤0 4 4 5 5 C.0≤k≤ D.- ≤k≤1 4 4
解析 求 k=-sin2x-cos x 的值域. k=cos2x-cos x-1 12 5 =(cos x- ) - . 2 4 1 5 当 cos x= 时,kmin=- , 2 4 当 cos x=-1 时,kmax=1, 5 ∴- ≤k≤1,故选 D. 4

3 5 ? 5 2 5 4.(2010· 安徽)设 a ? ( ) .b ? ( ) , c( ) , 则 a,b, 5 5 5 A
2 3 2

c 的大小关系是 A.a>c>b C.c>a>b
2 5

(

)

B.a>b>c D.b>c>a

解析 ∵y=x
2 2

在 x∈(0,+∞)递增.

3 5 2 5 ∴ ( ) ? ( ) , 即 a>c. 5 5

2x ∵y=( ) 在 x∈(-∞,+∞)递减, 5
2 5 2 5 ∴ ( ) ? ( ) .即 c>b, 5 5
2 3

∴a>c>b.选 A.

ax-1 5.若不等式 >0 的解集为{x|-1<x<2},则不等式 x+b bx+1 <0 的解集是 ( A ) ax+1 1 1 A.{x| <x<1} B.{x|x< 或 x>2} 2 2 1 C.{x|- <x<1} D. {x|x<-1, x>2} 或 2 ax-1 解析 >0?(ax-1)(x+b)>0, x+b 转化为 x1=-1,x2=2 是方程(ax-1)(x+b)=0 的两个 根(且 a<0), ?(-a-1)(-1+b)=0 ? 即? ?(2a-1)(2+b)=0 ?
?a=-1 ? 解得? ?b=-2 ?

bx+1 -2x+1 1 ,∴ = <0? <x<1.故选 A. 2 ax-1 -x+1

二、填空题 [1, 2] 6.函数 f(x)= x+ 1-x的值域为________.
解析 ∵f(x)的定义域为[0,1], π 2 ∴设 x=sin α(0≤α≤ ). 2 π 则 f(x)=y=sin α+cos α= 2sin(α+ )∈[1, 2]. 4

7.设集合 M={(x,y)|x2+y2≤25},N={(x,y)|(x-a)2 +y2≤9},若 M∪N=M,则实数 a 的范围是

[-2,2] ____________.
解析 因为 M∪N=M?N?M, 所以两圆内含或内切,从而|a|≤5-3=2, 解得 a∈[-2,2].

8.当 x∈(1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立,则 m (-∞,-5] 的取值范围是____________.
解析 方法一
?12+m+4≤0 ? 2 x +mx+4<0,则? 2 ?2 +2m+4≤0 ?



∴m≤-5. 方法二 x2+mx+4<0 在(1,2)内恒成立, 4 则 m<-(x+ )在(1,2)内恒成立. x 4 令 f(x)=-(x+ ). x ∵f(x)在(1,2)为增函数, ∴f(x)>f(1)=-5, ∴m≤-5.

三、解答题 9.已知非空集合 A={x|x2-4mx+2m+6=0,x∈R}, 若 A∩R ≠?,求实数 m 的取值范围(R 表示负实数 集,R 表示正实数集). 解 设全集 U={m|Δ=16m2-8m-24≥0} ? 3? ? ? ?m|m≤-1或m≥ ?. =? 2? ? ? 方程 x2-4mx+2m+6=0 的两根均非负的充要条件是
+ - -

?m∈U, ? 3 ?4m≥0, 可得 m≥ . 2 ?2m+6≥0, ? ∴A∩R-=?时, 实数 m
? 3? ? ? ?m|m≥ ?. 的取值范围为? 2? ? ?

∴A∩R-≠?时, 实数 m 的取值范围为{m|m≤-1}.

10.△ABC 的外接圆半径为 1,角 A,B,C 的对边分 别为 a,b,c.向量 m=(a,4cos B),n=(cos A,b)满 足 m∥n. (1)求 sin A+sin B 的取值范围; (2)若实数 x 满足 abx=a+b,试确定 x 的取值范围.
解 (1)m=(a,4cos B),n=(cos A,b)且 m∥n, ∴ab=4cos Acos B. a b c 又在△ABC 中 = = =2, sin A sin B sin C ∴a=2sin A,b=2sin B, ∴ab=4sin Asin B, ∴4sin Asin B=4cos Acos B, ∴cos(A+B)=0.

又 0<A+B<π, π ∴A+B= , 2 ∴△ABC 为直角三角形, π ∴sin A+sin B= 2sin(A+ ). 4 π π 3π 又 <A+ < , 4 4 4 2 π ∴ <sin(A+ )≤1, 2 4 即 1<sin A+sin B≤ 2.

(2)∵abx=a+b. a+b 2(sin A+sin B) sin A+cos A ∴x= = = . ab 4sin Asin B 2sin Acos A 令 t=sin A+cos A, 则 t∈(1, 2], ∴2sin Acos A=t2-1, t 1 ∴x= 2 = 在(1, 2]上为单调减函数. 1 t -1 t- t ∴当 t= 2时,xmin= 2. 当 t 趋向 1 时,x 趋向+∞, ∴x 的取值范围是[ 2,+ ∞).

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