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【名师一号】北师大版高中数学必修1双基限时练14


双基限时练(十四)

正整数指数函数

基 础 强 化
?1? 1.y=?3?x(x∈N+)的图像是( ? ?

) B. 一条下降的曲线 D. 一系列下降的点

A. 一条上升的曲线 C. 一系列上升的点

解析 因为正整指数函数当底大于 0 小于 1 时为单调递减函数

,故答案为 D. 答案 D 2.函数 f(x)=3x-2,x∈[-1,3]且 x∈N+,则 f(x)的值域是( A. {-1,1,7} C. {-1,1,7,25} B. {1,7,25}
? 5 ? D. ?-3,-1,1,7,25? ? ?

)

解析 由 x∈[-1,3],且 x∈N+,知 x∈{1,2,3},逐个代入函数 y=3x-2 可 得函数的值域{1,7,25},故选 B. 答案 B 3.函数 y=(a2-3a+3)ax 为正整数指数函数,则 a=( A. 1 C. 1 或 2 a -3a+3=1, ? ? 由题可知?a≠1, ? ?a>0,
2

)

B. 2 D. 以上都不对

解析

解之得 a=2.

答案 B 4.y=2|x|(x∈N+)是( )

A. 奇函数

B. 偶函数
1

C. 非奇非偶函数

D. 既奇且偶函数

解析 ∵x∈N+,∴函数的定义域不关于坐标原点对称,故选 C. 答案 C 5.函数 y=(2a-1)x(x∈N+)是减函数,则 a 的取值范围是( 1 A. a>1 B. a<2 1 1 C. 2<a<1 D. 2≤a<1 1 解析 由 y=(2a-1)x(x∈N+)为减函数知 0<2a-1<1,得2<a<1,故选 C. 答案 C 6.某公司的年利润值计划从 2013 年到 2033 年翻两番,设平均每年增长率 为 x,则( ) )

A.(1+x)19=4 B.(1+x)20=3 C.(1+x)20=2 D.(1+x)20=4 解析 设 2013 年的利润值为 a,则 2033 年的利润值为 4a,所以 a(1+x)20 =4a,即(1+x)20=4. 答案 D 7.正整数指数函数的图像过(2,9),则 f(3)· f(4)=________. 解析 设 f(x)=ax(x∈N+, a>0, 且 a≠1), 由题意得, a2=9, 又 a>0, 且 a≠1, ∴a=3. 故 f(x)=3x,∴f(3)· f(4)=33· 34=37. 答案 37 能 力 提 升 8.已知 0<a<1,则函数 y=ax-1(x∈N+)的图像在第________象限. 解析 y=ax 的图像在第一象限中 x 轴上方、直线 y=1 下方的一个区域内, 而 y=ax-1 的图像是将 y=ax 的图像向下平移 1 个单位, 因此, 图像在第四象限.
2

答案 四 9.若 y=(3a-5)x(x∈N+)的值总大于 1,则 a 的取值范围是________. 解析 由正整数指数函数的性质可知,3a-5>1,即 a>2. 答案 (2,+∞)
?2? 10.画出 y=?3?x(x∈N+)的图像,并说明函数的单调性. ? ?

?2? 解 由图像知,y=?3?x 的图像是由一些孤立的点组成的,并且随着 x(x∈N+) ? ?

的增大,y 逐渐减小,即函数是减函数. 11.在正整数指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1,x∈N+)中,分别求满足下列条件 的 a 的取值范围. (1)若 y=ax 在 x∈N+上是减少的,求 a 的取值范围. (2)若 ax≥a,x∈N+,求 a 的取值范围. 解 (1)由于 y=ax(a>0 且 a≠1,x∈N+)在 x∈N+上是减少的,所以由正整数 指数函数的性质知 0<a<1. (2)∵ax≥a1,x∈N+,可知 y=ax(x∈N+)在 N+上是增加的,∴a>1. 12.某化工厂仓库中有一种原料因包装破损散发出有害气体,经过采取适当 措施后已停止继续散发有害气体.自动监测器显示该气体浓度为 20%,打开排气 扇后,每分钟可排出有害气体的 10%,已知该气体的浓度超过 1%时就会对人体 产生危害. (1)写出该气体的浓度 y 与打开排气扇后分钟数 x 之间的函数关系式;
3

(2)使用计算器,计算工人在打开排气扇 30 分钟后是否可以不戴防毒面具进 入仓库. 解 (1)y=20%(1-10%)x,x∈N+. (2)打开排气扇 30 分钟后剩余有害气体的浓度为 20%×0.930≈0.0085<0.01. ∴可以不戴防毒面具进入仓库. 考 题 速 递 13.高一某学生家长今年年初到银行存入 2000 元,银行月利率为 2.38%, 那么如果他第 n 个月后从银行全部取回,他应取回钱数为 y,则 n 与 y 满足的函 数关系是________,今年年底他能取回的钱数是________. 解析 一个月后他应取回的钱数为 y=2000(1+2.38%), 二个月后他应取回钱数为 y=2000(1+2.38%)2; 三个月后他应取回钱数为 y=2000(1+2.38%)3,… n 个月后他应取回钱数为 y=2000(1+2.38%)n; 所以 n 与 y 之间的关系为 y=2000(1+2.38%)n(n∈N+); 一年后他全部取回,他能取回的钱数为 y=2000(1+2.38%)11 答案 y=2000(1+2.38%)n(n∈N+) y=2000(1+2.38%)11

4


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