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【智博教育原创专题】高考边缘热点问题之最值函数

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高考边缘热点问题之最值函数 【定义 1】最大值、最小值:设 a, b ? R ,记 min ?a, b? 为 a, b 中较小的数, max ?a, b? 为 a, b 中较大 的数,若 a ? b 时,则 min ?a, b? ? max ?a, b? ? a ; 【定义 2】 最大函数、 最小函数: 设 f ( x), g ( x) 均为定义在 I 上的函数, 记 min ?

f ( x), g ( x)? 为 f ( x), g ( x) 中较小的函数,记 max ? f ( x), g ( x)? 为 f ( x), g ( x) 中较大的函数,若 f ( x) ? g ( x) 时,则 min ? f ( x), g ( x)? ? max ? f ( x), g ( x)? ? f ( x) 。 【例1】 (2013 辽宁)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 , g ( x) ? ? x 2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 ? 8 ,设 H1 ( x) ? max ? f ( x), g ( x)? , H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)?,(max ? p, q?) 表示 p, q 中的较大值, min ? p, q? 表 示 p, q 中的较小值) ,记 H1 ( x) 得最小值为 A, H 2 ( x) 得最大值为 B ,则 A ? B ? 【 C 】 A.a2 ? 2a ? 16 B.a2 ? 2a ? 16 C. ? 16 D.16 【解析】理解最大值,最小值的定义,画出二次函数 f ( x), g ( x) 的图像,从图像上即可得到 A, B 的 取值。易知 A ? f (a ? 2) ? ?4a ? 4, B ? f (a ? 2) ? ?4a ? 12 ,所以 A ? B ? ?16 。 1? ? 1. 用 min ?a, b? 表示 a, b 两个数中的较小值,设 f ( x) ? min ?2 x ? 1, ? ( x ? 0) ,则 f ( x) 的最大值为 x? ? 【C 】 A. ? 1 B.0 C.1 D. 不存在 1 2. 设 min{ p, q} 表示 p, q 两者中较小的一个,若函数 f ( x) ? min{3 ? log 2 x,log 2 x} ,则满足 2 f ( x) ? 1 的 x 的取值范围是( ) 【C 】 1 D. ( ?? , ) 16 3. 已知 f ( x) 为 sin x 与 cos x 中较小者,其中 x ? R ,若 f ( x) 的值域为 ? a, b ? ,则 a ? b 的值是【 D 】 A.(0,2) B.(0, ??) C.(0,2) ? (16, ??) A.0 B.1 ? 2 2 C.1 ? 2 2 D. 2 ?1 2 ? sin x (sin x ? cos x) 【解析】已知 f ( x) 为 sin x 与 cos x 中较小者,其中 x ? R ,则 f ( x) ? ? ;由 ?cos x (sin x ? cos x) 3? ? ? 5? sin x ? cos x 知: 2k? ? ? x ? 2k? ? ,sin x ? cos x ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 4 4 4 4 3? ? ? sin x(2k? ? ? x ? 2 k? ? ) ? 3? ? ? 4 4 ,所以 f ( x) ? ? (k ? Z