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高中数学选修2-2综合测试题及答案


选修 2-2 综合测试题 一、选择题 1.在数学归纳法证明“ 1 ? a ? a2 ? 边为( A. 1 ) B. 1 ? a
1 3

? an ?

1 ? an?1 (a ? 1 ,n ? N? ) ”时,验证当 n ? 1 时,等式的左 1? a

C. 1 ? a

D. 1 ?

a 2

答案:C

? ∞) 上是增函数,则 m 的 2.已知三次函数 f ( x) ? x3 ? (4m ? 1)x2 ? (15m2 ? 2m ? 7)x ? 2在 x ? (?∞,

取值范围为( A. m ? 2 或 m ? 4

) B. ?4 ? m ? ?2 C. 2 ? m ? 4 D.以上皆不正确 答案:C )

3.设 f ( x) ? (ax ? b)sin x ? (cx ? d ) cos x ,若 f ?( x) ? x cos x ,则 a,b,c,d 的值分别为( A.1,1,0,0 答案:D B.1,0,1,0 C.0,1,0,1

D.1,0,0,1

, ,且在点 Q(2, ? 1) 处的切线平行于直线 y ? x ? 3 ,则抛 4.已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 通过点 P (11)

物线方程为( A. y ? 3x2 ? 11x ? 9 答案:A

) B. y ? 3x2 ? 11x ? 9 C. y ? 3x2 ? 11x ? 9 D. y ? ?3x2 ? 11x ? 9

5.数列 ?an ? 满足 an ?1
6 7 5 7

1 ? 2a , 0 ≤ an ≤ , ? 6 ? n 2 ?? 若 a1 ? ,则 a2004 的值为( 1 7 ? 2a ? 1 , ≤ an ? 1 , n ? ? 2



A.

B.

C.

3 7

D.

1 7

答案:C 6.已知 a,b 是不相等的正数, x ? A. x ? y 答案:B 7.复数 z ?
m ? 2i (m ? R) 不可能在( 1 ? 2i
a? b 2

, y ? a ? b ,则 x , y 的关系是( D.不确定



B. y ? x

C. x ? 2 y

) C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限 答案:A

B.第二象限

8.定义 A ? B,B ? C,C ? D,D ? A 的运算分别对应下图中的(1) , (2) , (3) , (4) ,那么,图中 (A) , (B)可能是下列( )的运算的结果
-1-

A. B ? D , A ? D 答案:B

B. B ? D , A ? C

C. B ? C , A ? D

D. C ? D , A ? D

9.用反证法证明命题“ a,b ? N ,如果 ab 可被 5 整除,那么 a , b 至少有 1 个能被 5 整除. ” 则假设的内容是( ) B. a , b 都不能被 5 整除 D. a , b 有 1 个不能被 5 整除 ) B.函数 y ? x 有极小值,但无极大值 D.函数 y ? x 无极值 答案:B 答案:B

A. a , b 都能被 5 整除 C. a 不能被 5 整除 10.下列说法正确的是(

A.函数 y ? x 有极大值,但无极小值 C.函数 y ? x 既有极大值又有极小值 11.对于两个复数 ? ? ?
1 2

? ? 3 1 3 i ,? ? ? ? i ,有下列四个结论:① ?? ? 1 ;② ? 1 ;③ ?1; ? 2 2 2 ?

④ ? 3 ? ? 3 ? 1 .其中正确的个数为( A.1 B.2 C.3

) D.4 答案:B ) D.
1 b f ( x)dx b ? a ?a

12.设 f ( x) 在 [a,b] 上连续,则 f ( x) 在 [a,b] 上的平均值是( A.
f (a) ? f (b) 2

B. ?a f ( x)dx

b

C.

1 b f ( x)dx 2 ?a

答案:D 二、填空题 13.若复数 z ? log2 ( x2 ? 3x ? 3) ? i log2 ( x ? 3) 为实数,则 x 的值为 14.一同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆,●表示实心圆) ○●○○●○○○●○○○○● 若将此若干个圆依此规律继续下去,得到一系列的圆,那么前 2006 年圆中有实心圆的个数 为 . 答案:61 . 答案:4

2] 上的最大值为 3,最小值为 ? 29 ,则 a , b 的值分 15.函数 f ( x) ? ax3 ? 6ax2 ? b(a ? 0) 在区间 [?1,

别为



答案:2,3
-2-

16.由 y 2 ? 4 x 与直线 y ? 2 x ? 4 所围成图形的面积为 三、解答题



答案:9

n 2, 3, 4 时的值,归纳猜测 x 的值. 17 .设 n ? N? 且 sin x ? cos x ? ?1 ,求 sinn x ? cos (先观察 n ? 1, n sinn x ? cos x 的值. )

解:当 n ? 1 时, sin x ? cos x ? ?1 ; 当 n ? 2 时,有 sin 2 x ? cos2 x ? 1 ; 当 n ? 3 时,有 sin3 x ? cos3 x ? (sin x ? cos x)(sin 2 x ? cos2 x ? sin x cos x) , 而 sin x ? cos x ? ?1 ,
∴1 ? 2sin x cos x ? 1 , sin x cos x ? 0 .

∴sin 3 x ? cos3 x ? ?1 .

当 n ? 4 时,有 sin 4 x ? cos4 x ? (sin 2 x ? cos2 x)2 ? 2sin 2 x cos2 x ? 1 . 由以上可以猜测,当 n ? N? 时,可能有 sin n x ? cosn x ? (?1)n 成立. 18.设关于 x 的方程 x2 ? (tan ? ? i) x ? (2 ? i) ? 0 , (1)若方程有实数根,求锐角 ? 和实数根; (2)证明:对任意 ? ? kπ ? (k ? Z) ,方程无纯虚数根. 解: (1)设实数根为 a ,则 a2 ? (tan ? ? i)a ? (2 ? i) ? 0 , 即 (a2 ? a tan ? ? 2) ? (a ? 1)i ? 0 .
π 又 0 ?? ? , 2
, ?a ? ?1 ? 得? π ?? . ? ? 4

π 2

, ?a 2 ? a tan tan ? ? 2 ? 0, ?a ? ?1 由于 a , tan ? ? R ,那么 ? ?? ?tan ? ? 1. ?a ? 1 ? 1

(2)若有纯虚数根 ? i(? ? R) ,使 (? i) 2 ?(tan ? ?)(i ? ) i (2 ? ) ?i0 ? 由 ? , tan ? ? R ,那么 ?
π 2
?? ? 2 ? ? ? 2 ? 0, ? ? tan ? ? 1 ? 0,

,即 (?? 2 ? ? ? 2) ? ( ?tan ? ? 1 ) ? i0



由于 ?? 2 ? ? ? 2 ? 0 无实数解.

故对任意 ? ? kπ ? (k ? Z) ,方程无纯虚数根.
0) 是函数 f ( x) ? x3 ? ax 与 g ( x) ? bx 2 ? c 的图象的一个公共点,两函数的图象 19.设 t ? 0 ,点 P (t,

3) 上单调递减, 在点 P 处有相同的切线. (1)用 t 表示 a,b,c ; (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 (?1,

求 t 的取值范围.
0) ,所以 f (t ) ? 0 ,即 t 3 ? at ? 0 . 解: (1)因为函数 f ( x) , g ( x) 的图象都过点 (t,

因为 t ? 0 ,所以 a ? ?t 2 .

g (t ) ? 0 ,即 bt 2 ? c ? 0 ,所以 c ? ab .

0) 处有相同的切线, 又因为 f ( x),g ( x) 在点 (t,
-3-

所以 f ?(t ) ? g ?(t ) ,而 f ?( x) ? 3x2 ? a , g ?( x) ? 2bx ,所以 3t 2 ? a ? 2bt . 将 a ? ?t 2 代入上式得 b ? t . 因此 c ? ab ? ?t 3 . 故 a ? ?t 2 , b ? t , c ? ?t 3 .

(2) y ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? t 2 x ? tx2 ? t 3 , y? ? 3x2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t )( x ? t ) . 当 y? ? (3x ? t )( x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减. 由 y ? ? 0 ,若 t ? 0 ,则 ? ? x ? t ; 若 t ? 0 ,则 t ? x ? ? .
? ? ? ? , 3) ? ? ? ,t ? 或 (?1 , 3) ? ? t, ? ?. 3) 上单调递减,则 (?1 由题意,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 (?1, 3 3 t t ? ? ? ?

t 3

t 3

所以 t ≤ ?9 或 t ≥ 3 .
3) 上不是单调递减的. 又当 ?9 ? t ? 3 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 (?1,

所以 t 的取值范围为 ? ?∞, ? 9? ?3 , ? ∞? . 20. 下列命题是真命题, 还是假命题, 用分析法证明你的结论. 命题: 若a ?b ?c, 且a?b?c ?0 , 则
b 2 ? ac ? 3. a
∵ a ? b ? c ? 0 , a ? b ? c ,∴ a ? 0 , c ? 0 .

解:此命题是真命题. 要证

b 2 ? ac ? 3 成立,只需证 b2 ? ac ? 3a , a

即证 b2 ? ac ? 3a 2 ,也就是证 (a ? c)2 ? ac ? 3a2 ,
∴(a ? c)(2a ? c) ? 0 成立,

即证 (a ? c)(2a ? c) ? 0 . 故原不等式成立.

∵ a ? c ? 0 , 2a ? c ? (a ? c) ? a ? ?b ? a ? 0 ,

21.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与利率的平方成正比,比例系数为
k (k ? 0) ,且知当利率为 0.012 时,存款量为 1.44 亿;又贷款的利率为 4.8% 时,银行吸收的存 0.048) ,则当 x 为多少时,银行可获得最大收 款能全部放贷出去;若设存款的利率为 x , x ? (0,

益? 解: 由题意, 存款量 f ( x) ? kx2 , 又当利率为 0.012 时, 存款量为 1.44 亿, 即 x ? 0.012 时,y ? 1.44 ;
· (0.012)2 ,得 k ? 10000 ,那么 f ( x) ? 10000x2 ,银行应支付的利息 g ( x) ? x · f ( x) ? 10000x3 , 由 1.44 ? k

设银行可获收益为 y ,则 y ? 480x2 ? 10000x3 , 由于 y? ? 960x ? 30000x2 ,则 y ? ? 0 ,即 960 x ? 30000 x2 ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? 0.032 .
-4-

0.032) 时, y ? ? 0 ,此时,函数 y ? 480x2 ? 10000x3 递增; 因为, x ? (0,
x ? (0.032, 0.048) 时, y ? ? 0 ,此时,函数 y ? 480x2 ? 10000x3 递减;

故当 x ? 0.032 时, y 有最大值,其值约为 0.164 亿. 22.已知函数 f ( x) ? (1)求 a2,a3,a4 ; (2)猜想数列 ?an ? 的通项,并予以证明.
x a1 1? a
2 1

x 1 ? x2

( x ? 0) ,数列 ?an ? 满足 a1 ? f ( x) , an ?1 ? f (an ) .

解: (1)由 a1 ? f ( x) ,得 a2 ? f (a1 ) ?

?

1 ? x2 ? x ? 1? ? ? 2 ? 1? x ?
2

?

x 1 ? 2 x2



x a3 ? f (a2 ) ? a2 1? a
2 2

?

1 ? 2x2 ? ? x 1? ? ? 2 ? 1 ? 2x ? x
2

?

x 1 ? 3x 2



a4 ? f (a3 ) ?

a3 1? a
2 3

?

1 ? 3x 2 ? ? x 1? ? ? 2 ? 1 ? 3x ?
x
2

?

x 1 ? 4 x2



(2)猜想: an ?

1 ? nx

2

( n ? N? ) ,

证明: (1)当 n ? 1 时,结论显然成立; (2)假设当 n ? k 时,结论成立,即 ak ?
x 1 ? kx 2



x

那么,当 n ? k ? 1 时,由 ak ?1 ? f (ak ) ?

1 ? kx 2 ? ? x 1? ? ? 2 ? 1 ? kx ?
2

?

x 1 ? (k ? 1) x 2



这就是说,当 n ? k ? 1 时,结论成立; 由(1) , (2)可知, an ?
x 1 ? nx
2

对于一切自然数 n(n ? N? ) 都成立.

-5-


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