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高中数学必修4第1章《三角函数》单元测试题


必修 4 第 1 章《三角函数》单元测试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若点 P( x, y ) 是 330 角终边上异于原点的一点,则
?

y 的值为( x



A. 3

B.? 3
?

C.

/>
3 3

D.?


3 3

2.半径为 ? cm ,圆心角为 120 所对的弧长为(

? A . cm 3

B.

?2
3

cm

2? C. cm 3

2? 2 D. cm 3


3.已知 sin ? ? cos ? ?

1 ,且 ? ? (0, ? ) ,则 sin ? ? cos ? ? ( 2
7 2

A.

7 2

B.?

C .?

7 2

D .?


1 2

4.已知 cos(? ?

?

1 ? ) ? ? ,则 sin(? ? ) 的值为( 6 3 3

A.

1 3

B.?

1 3 4

C.

2 3 3

D .?

2 3 3


5.函数 y ? 2cos[ ( x ?

? ? ? C . 6? , 2 , D . 6? , 2 , 12 12 4 ? 3? 6.下列各点中,能作为函数 y ? tan( x ? )( x ? R 且 x ? k? ? ,k ? Z )的一个对称中心的点是( ) 5 10 ? 3? C . ( , 0) A . (0, 0) B . ( , 0) D . (? , 0) 5 10 1 ? 7. y ? sin x 的图象上各点纵坐标不变,横坐标变为原来的 ,然后把图象沿 x 轴向右平移 个单位,则表 2 3
B . 3? , 2 ,
达式为( )

1 3 ? A . 3? , ?2 , 4

?

)] 的周期、振幅、初相分别是(

1 ? A . y ? sin( x ? ) 2 3

B . y ? sin(2 x ?

2? ) 3

C . y ? sin(2 x ? ) 3

?

1 ? D . y ? sin( x ? ) 2 3

8.函数 y ? b ? a sin x(a ? 0) 的最大值为 ?1 ,最小值为 ?5 ,则 y ? tan(3a ? b) x 的最小正周期为 ( )

2? 9 ? C. 3

A.

? 9 2? D. 3
B.


9.下列函数中,图像的一部分如右图所示的是(

第 1 页(共 6 页)

2x ? ? ) 3 3 2x ? C . y ? 4cos( ? ) 3 3

A . y ? 4sin(

2 x 2? ? ) 3 3 2 x 2? D . y ? 4cos( ? ) 3 3

B . y ? 4sin(

10.在 (0, 2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围为(



? A . ( ,? ) 4

? 5? B.( , ) 4 4

? ? 5? C . ( , ) ? (? , ) 4 2 4

? 5? 3? D . ( ,? ) ? ( , ) 4 4 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 已知 tan ? ? 3 ,则 ? 的取值集合为___________________________. 12. 已知 f (n) ? cos 13. 函数 y ? sin(

?
6

n? ,则 f (1) ? f (2) ? ? ? f (2010) ? f (2011) ? ___________________. 2

? 4 x) 的单调增区间为________________________________.

7? ) 的图象的对称轴方程是________________________. 2 1 2 15. 已知 sin ? ? sin ? ? ,则 sin ? ? cos ? 的最大值为_____________________. 3
14. 函数 y ? cos(2 x ? 三、解答题(本大题共 6 小题,16-19 每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分,共 75 分) 16.已知 ? 是第二象限角, f (? ) ?

sin(? ? ? ) tan(?? ? ? ) . sin(? ? ? )cos(2? ? ? ) tan(?? )

(1)化简 f (? ) ; (2)若 sin(? ?

3? 1 ) ? ? ,求 f (? ) 的值. 2 3

17.已知 tan ? ? 3 ,求下列各式的值: (1)

4sin ? ? cos ? 1 ; (2) . 3sin ? ? 5cos ? 2sin ? cos ? ? cos2 ?

18.求证:

1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? ? sin ? ? cos ? . 1 ? sin ? ? cos ?

19.求函数 y ? 2 ? 4sin x ? 4cos2 x 的最大值和最小值,并写出函数取最值时对应的 x 的值.

20. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ? ) 是 R 上的偶函数,其图像关于点 M ( 在区间 [0, ] 上是单调函数,求 ?,? 的值. 2
第 2 页(共 6 页)

3? ,0) 对称,且 4

?

21.已知函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? (1)求函数解析式; (2)若方程 f ( x) ? m 在 [?

?
2

) 的部

分图象,如图所示.

? 13?

, ] 有两个不同的实根,求 m 的取值范围. 6 12

第 3 页(共 6 页)

必修 4 第 1 章《三角函数》单元测试题 参考答案
1-5 DCAAC 11. ?? | ? ? k? ? 12. ?1 6-10CBBAB

? ?

?

? , k ? Z? 3 ?

k? 5? ? k? ? ? 13. ? x | ? ?x? ? , x ? Z? 2 12 ? 2 6 ?
14. x ? 15. 1.

k? ? ? , k ?Z 2 4

4 9
y 3 y ,知 ? ? ,故选 D. x 3 x 说明:本题主要是训练学生对三角函数的定义的理解.
解析:由三角函数定义 tan 330? ? 解析:由 | ? |?

2.

l ? 2? 2 ,知 l ?| ? | R ? 120 ? ,故选C. ?? ? 180 3 R 说明:本题主要是考查弧长公式和弧度制与角度值之间的换算公式.

3.

解析:由 (sin ? ? cos ? )2 ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2sin ? cos ? , sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 , sin ? ? cos ? ?

1 ,知 2
, 0故

2sin ? cos? ?

3 ,∴ cos ,∴ sin ?? 0 ?? 0 ? ? co ?s? ? 0 , 再 根 据 ? ? (0, ? ) , ∴ s i n 4

sin ?? co ? s?

(s ?i ? n

? c2 o s ? )

? 4 sin ? ?c o s? ?

1 4

3 4

7 ?2 .故选A. 2

说明:本题主要是训练学生对同角三角函数公式 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 的理解与应用.要注意对角的范围 进行取值. 4. 解析:由 ? ?

?

? ? ? ? ? ? 1 ? (? ? ) ? ,知 sin(? ? ) ? sin[(? ? ) ? ] ? ? cos(? ? ) ? .故选A. 3 6 2 3 6 2 6 3
1 3

说明:本题主要训练学生对诱导公式的运用及角的构造. 5. 解析: 由 y ? 2cos[ ( x ?

?

1 ? 2? ? ,知 T ? 6? , A ? 2 , ? ? .故选C. )] ? 2cos( x ? ) 及 T ? |? | 12 4 3 12

说明:本题主要训练学生对 y ? A cos(? x ? ? ) 中周期公式,振幅及初相的理解。要注意初相是令

? x ? ? 中的 x ? 0 得到的。
6. 解析:令 x ?

?
5

?

k? 3? .故选C. , k ? Z ,取 k ? 1 ,有 x ? 2 10 k? ,0) , 2

说明:本题主要训练学生对正切函数的对称中心点的理解.要注意正切函数的中心对称点为 (

k ? Z .包含点 (k? ?

?
2

,0) k ? Z .
第 4 页(共 6 页)

7.

解析: y ? sin x ?????? ? y ? sin 2 x ??????? ? y ? sin(2 x ?

横坐标变为原来的

1 2

沿x轴向右平移 个单位 3

?

2? ) ,故选B. 3

说明:本题训练学生对三角函数图象的平移的理解,特别是 x 的系数不为1时沿 x 轴左右平移的情况, 学生容易出错误. 8. 为 解析:由题意知, b ? a ? ?1 , b ? a ? ?5 ,解出 a ? ?2 , b ? ?3 。所以 y ? tan? 9x ,得最小正周期

? 。故选 B. 9

说明:本题将正弦函数的最值和正切函数周期性结合在一起,重点在于培养学生利用三角函数基本性 质解决问题的能力。

2x 2 ?? 2? 2 ? ? ? ? 0 ,得到 ? ? ,有 ? ,若 y ? 4sin( ? ? ) ,由 ? T 3 3 3 3 2 2x ? 2x 2 ?? ?? 2x ? ?? ,得到 ? ? ,有 y ? 4cos( y ? 4sin( ? ) 。若 y ? 4 cos( ? ? ) ,由 ? ?? ? ? )。 6 3 3 3 3 2 2 3 6 故选 A。 说明:能根据三角函数图象的特征,运用三角函数的五点作图法的找出 T , ? , ? ,解题时注意 ? 的
9. 解析:由图形知, T ? 3? , ? ? 求法,尤其注意可能有正余弦两种函数解析式。 10. 解析:由三角函数线或者三角函数图象得到, sin x ? cos x 成立的 x 的取值范围为 ( 说明:本题主要考查三角函数线的知识,重在培养学生数形结合的思想。 11. 解析:由 tan ? ? 3 ,根据终边角的集合表示有 ? ? k? ? 说明:本题考查正切函数特殊值的终边角的集合表示。 12. 解 析 : 由 f (n) ? cos

? 5?
4 , 4

) 。故选 B。

?
3

, k ?Z。

n? 的 周 期 为 4 , 且 f (1) ? f ( 2? ) f (3 ?) f 2

(? 4 ), 知 0 f (1)? f ( 2 ? )?

? f (2010) ? f (2011) 为 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ?1。故答案为: ?1 。
说明: 本题考查余弦函数的周期性,教师在讲解本题时可以再补充些题目加深学生对这方面的理解。 13. 解析: y ? sin(4 x ? 间 为

?
6

) 的单调增区间为

? ? k? ? k? 5? , k ?Z 。 故 y ? s i n ( ? x 4? )? s i n x( 4? ? ?x? ? 2 6 2 1 2 6 6

? k? ? k? ? ? ?x? ? , k ? Z 。 y ? sin(4 x ? ) 的单调减区 2 12 2 6 6
的 )单 调 增 区 间 为

k? 5? ? k? ? ? ? ?x? ? , x ? Z? 。 ?x | 2 12 ? 2 6 ?
说明:本题主要考查学生对于正弦函数的复合函数的单调性的理解,要注意 x 前面系数为负的情况。 14. 解析: y ? cos(2 x ? 轴方程为 x ?

7? ? ) ? sin 2 x ,由函数 y ? sin x 的对称轴方程为 x ? k? ? ,知 y ? sin 2 x 对称 2 2

k? ? ? , k ?Z。 2 4 说明:本题主要考查三角函数性质中的对称轴方程。
2 2 2

15. 解析: sin ? ? cos ? ? sin ? ? (1 ? sin ? ) ? sin ? ? sin ? ? 1 ? ( ? sin ? ) ? sin ? ? 1 =
2

1 3

1 11 4 2 (sin ? ? )2 ? ,当 sin ? ? 1 时, sin ? ? cos ? 有最大值为 。 6 12 9
第 5 页(共 6 页)

说明:本题考查 sin 2 x ? cos2 x ? 1 及二次函数的最值情况。 16. 解析: (1) f (? ) ?

3? 1 1 sin ? (? tan ? ) 1 ; (2)若 sin(? ? ) ? ? ,则有 cos ? ? ? ,所以 ? ? sin ? cos ? (? tan ? ) ? cos ? 2 3 3

f (? ) =3。 说明:本题主要考查三角函数的诱导公式,训练学生对于“奇变偶不变,符号看象限”的理解能力。 4sin ? ? cos? 4 tan ? ? 1 4 ? 3 ? 1 11 17. 解析: (1) ? ? ? ; 3sin ? ? 5cos ? 3tan ? ? 5 3 ? 3 ? 5 14 1 sin 2 ? ? cos 2 ? tan 2 ? ? 1 32 ? 1 10 (2) ? ? ? ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 2 ? 3 ? 1 7 说明:本题主要考查同角三角函数公式及其对于“1”的巧用。 1 ? sin ? ? cos ? ? 2sin ? cos ? 18. 解析:左边= 1 ? sin ? ? cos ? 2 ( s i? n ? c? os ?) ? s? i n ?c o s ? 1? s i? n ? c? os ( 1? s i? n? c? o s )? (? sin ? cos ) ? 1? s i? n ? c? os ?s i n ? ? c? os ? 右边 说明:本题考查同角三角函数公式的恒等证明。要求学生掌握恒等式的证明方法和技巧。 1 1 19. 解析:y ? 2 ? 4sin x ? 4cos2 x ? 4sin 2 x ? 4sin x ? 2 ? 4(sin x ? ) 2 ? 3 , 由于 sin x ?[?1,1] , 当s i n x? , 2 2 ? 5? ? 即 x ? 2k? ? 或 x ? 2k? ? 时, y 有最小值 ?3 ;当 sin x ? ?1,即 x ? 2k? ? 时, y 有最大值 6 。所 6 6 2 以 y ?[?3,6] 。
说明:本题是训练二次函数与正余弦函数结合的题目,重在训练学生利用二次函数配方求值域,三角 函数值求其角的集合的一道最值题目。主要培养学生分析问题、解决问题的能力。 20. 解析:因为 f ( x) ? sin(? x ? ?) 是 R 上的偶函数,所以 ? ? k? ? 有 f ( x) ? sin(? x ?

?
2

,k ? Z 。因为 0 ? ? ? ? 所以 ? ?

?
2



?
2

) ? cos ? x , 又 因 为 其 图 像 关 于 点 M (

3? 3? ,0) 对 称 , 所 以 有 cos ? ? 0 , 得 到 4 4

3? ? 4k 2 ? ? ? k? ? , k ? Z 。 得 到 ? ? ? , k ? Z 。 又 因 为 f ( x) 在 区 间 [ 0 , ]上 是 单 调 函 数 , 有 4 2 3 3 2 1 1 2? ? 2 T? ? ,得到 ? ? 2 。又因为 ? ? 0 所以得到 ? ? 或2 。 2 2 ? 2 3 说明:本题是三角函数,偶函数,单调函数,点对称的结合题目,重点训练三角函数中的函数性质。 T 5? ? 21. 解答:由题中的图象知, ? ,即 T ? ? ? 2 6 3 2? ? ? ? 所以 ? ? ? 2 ,根据五点作图法,令 2 ? ? ? ? ? ,得到 ? ? 。所以 f ( x) ? cos(2 x ? ) 3 3 3 T ? ? 13? 由 f ( x) ? cos(2 x ? ) 在 [? , ] 上的图象知,当 m ? 1 ,或者 m ? (?1,0) 上有两个不同的实根。 3 6 12 说明:本题是由三角函数图象和函数方程的结合,主要训练学生运用五点作图法来找出三角函数,再 利用函数方程的观点进行分析和解决求根问题。

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