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第二讲:整式及因式分解

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知识点:



1、代数式、代数式的值、整式、同类项、合并同类项、去括号与去括号法则; 2、幂的运算法则、整式的加减乘除乘方运算法则、乘法公式、正整数指数幂、 零指数幂、负整数指数幂的运算; 3、因式分解定义,提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式 (十字相乘法、求根) 、因式分解一般步骤。 教学目标: 1、了

解代数式的概念,会列简单的代数式;理解代数式的值的概念,能正确地 求出代数式的值; 2、理解整式、单项式、多项式的概念,会把多项式按字母的降幂(或升幂)排 列,理解同类项的概念,会合并同类项; 3、掌握同底数幂的乘法和除法、幂的乘方和积的乘方运算法则,并能熟练地进 行数字指数幂的运算; 4、能熟练地运用乘法公式(平方差公式,完全平方公式)进行运算; 5、掌握整式的加减乘除乘方运算, 会进行整式的加减乘除乘方的简单混合运算; 6、理解因式分解的概念,掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解 方法,掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法,能把简单多项式 分解因式。 教学重难点: 1、掌握整式有关运算法则,并能熟练地进行运算; 2、掌握整数指数幂的运算; 3、提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。 教学过程: 1.知识要点: 考点 1.代数式的有关概念: 1)代数式:代数式是由运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数 的字母连结而成的式子。单独的一个数或者一个字母也是代数式; 2)代数式的值:用数值代替代数式里的字母,计算后所得的结果 p 叫做代数式 的值;求代数式的值可以直接代入、计算;如果给出的代数式可以化简,要先 化简再求值。

考点 2.整式的有关概念: 1)单项式:由数与字母,字母与字母相乘组成的代数式叫做单项式;单独的一 个数或者一个字母也是单项式;一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个 单项式的次数;数字因数叫做系数。 .

2)多项式:几个单项式相加组成的代数式,叫做多项式;一个多项式中,次数 最高的项的次数叫做这个多项式的次数;不含字母的项叫做常数项。 注意:常数的次数为 0,如-5 的次数是 0;字母 x 的次数是 1 而不是 0;单项式 4 4xy 的系数包括前面的符号,如 ? 的系数为 ? ; 7 7 备注:单项式和多项式统称为整式 3)多项式的降幂排列与升幂排列: 把一个多项式按某一个字母的指数从大列小的顺序排列起来, 叫做把这个多 项式按这个字母降幂排列; 把—个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺斤排 列起来,叫做把这个多项式技这个字母升幂排列;给出一个多项式,要会根据要 求对它进行降幂排列或升幂排列; 考点 3 同类项、合并同类项: 所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项,叫做同类项。常数 项都是同类项。 把多项式中的同类项合并为一项叫做合并同类项; 合并同类项时同类项的系 数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变。 注意: (1)同类项是不要考虑字母的排列顺序,如-7xy 与 yx 是同类项; (2)只有同类项才能合并,如 x 2 ? x 3 不能合并。 考点 4.整式的运算: 1)整式的加减: 一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,再合并同类项。 2)整式的乘除: ①幂的运算:

a m ? a n ? a m?n (m, n是整数)

a m ? a n ? a m?n (a ? 0, m, n是整数)

(a m ) n ? a mn (m, n是整数)
a n an ( ) ? n (n是整数) b b

(ab) n ? a nbn (n是整数)
a? p ? 1 (a ? 0, p为正整数) ap

a 0 ? 1(a ? 0)

②单项式相乘(除):把它们的系数、相同字母分别相乘(除),对于只在一个单项 式(被除式)里含有的字母, 则连同它的指数作为积(商)的一个因式相同字母相乘 (除)要用到同底数幂的运算性质; ③多项式乘(除)以单项式: 先把这个多项式的每一项乘(除)以这个单项式, 再把 所得的积(商)相加; (a ? b)m ? am ? bm ;

?a

2

? ab ? a ? a ? b

?

④多项式与多项式相乘:先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项, 再把所得的积相加; (a ? b)(c ? d ) ? ac ? ad ? bc ? bd ⑤乘法公式:

(a ? b)(a ? b) ? a 2 ? b 2

(a ? b) 2 ? a ? 2ab ? b2
考点 5 因式分解: 多项式的因式分解,就是把一个多项式化为几个整式的积。分解因式要进 行到每一个因式都不能再分解为止。分解因式的常用方法有: (1)提公因式法 如多项式 am ? bm ? cm ? m(a ? b ? c), 其中 m 叫做这个多项式各项的公因 式, m 既可以是一个单项式,也可以是一个多项式。 (2)运用公式法,即用

a 2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b)
(3)十字相乘法

a 2 ? 2ab ? b2 ? (a ? b) 2
寻找满足 ab=q,a+b=p

2 对于二次项系数为 l 的二次三项式 x ? px ? q,

的 a , b , 如 有 , 则 x 2 ? px ? q ? ( x ? a)(x ? b); 对 于 一 般 的 二 次 三 项 式

ax2 ? bx ? c(a ? 0), 寻找满足 a1a2=a,c1c2=c, a1c2+a2c1=b 的 a1,a2,c1,
c2,如有, 则 ax2 ? bx ? c ? (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ). (4)分组分解法:把各项适当分组,先使分解因式能分组进行,再使分解因式在 各组之间进行;分组时要用到添括号:括号前面是“+”号,括到括号里的各项 都不变符号;括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号. ※(5)求根公式法:如果 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0), 有两个根 x1 , x 2 ,那么

ax2 ? bx ? c ? a( x ? x1 )(x ? x2 ).
备注:因式分解的一般步骤: (1)如果多项式的各项有公因式,那么先提取公因式; (2)如果各项没有公因式,那么尽可能尝试用公式来分解; (3)分解因式必须分解到不能再分解为止,每个因式的内部不 再有括号,且 同类项合并完毕,若有相同因式写成幂的形式,这些统称分解彻底. (4)注意因式分解中的范围,如 x 4 -4=( x 2 +2)( x 2 -2),在实数范围内分解 因式, x 4 -4=( x 2 +2)(x+ 2 )(x- 2 ),题目不作说明的,表明是在有理数 范围内因式分解. 注意提取公因式法、运用公式法的要点: 多项式因式分解往往需要对一些隐含的公因式(如互为相反数的因式)进行 调整变形,其依据是乘方的符号法则,变形时一般要进行观察,需要调整项的标 准有两个:(1)使需要调整的项尽量少;(2)尽量调整指数为偶数的项,这样可以 减少符号变化带来的麻烦及错误;平方差公式主要运用于二项式的因式分解,完 全平方公式主要运用于三项式的因式分解.

题型分类 深度剖析
题型一
【例 1】

整式的加减运算
(1)计算: a 2 ? 3a 2 =( B. 4a 2 ) C. 3a 4 D. 4a 4

A. 3a 2

(2)下列运算正确的是( ) A.-2(a-b)=-2a-b C.-2(a-b)=-2a-2b (3)计算:3(2xy-y)-2xy

B.-2(a-b)=-2a+b D.-2(a-b)=-2a+2b

探究提高
整式的加减,实质上就是合并同类项,有括号的,先去括号.只要算式中 没有同类项,就是最后的结果. 知能迁移 1 (1)(2011·义乌)下列计算正确的是( B.2x+3y=5xy D. x3 ? x 6 ) )

A. x 2 ? x 4 ? x 6 C. x 6 ? x3 ? x 2

? ?

2

(2)(2011·台北)化简(-4x+8)-3(4-5x),可得下列哪一个结果? ( A.-16x-10 B.-16x-4 C.56x-40 D.14x-10

题型二
【例 2】

同类项的概念及合并同类项
(1)若单项式 2 x 2 y m 与 ? x n y 3 是同类项,则 m+n 的值是________.

(2)若 ? 4x a y ? x 2 y b ? ?3x 2 y ,则 a+b=________.

探究提高
1.判断同类项时,看字母和相应字母的指数,与系数无关,也与字母的相 关位置无关,两个只含数字的单项式也是同类项. 2.只有同类项才可以合并。 知能迁移 2 (1)单项式 ? x a?b y a?1 与 3 x 2 y 是同类项,则 a-b 的值为( A.2 B.0 C.-2 ) D. 3x 2 y 2 D.1 )

(2)下列各式中,与 x 2 y 是同类项的是( A. xy 2 B.2xy C. ? x2 y

题型三
【例 3】

幂的运算
(1)计算 a 4 ? a3 ? a 2 ? =( A. a 3 B. a 4 ) C. a 5 D. a 6

(2)计算- x 2 · ?? x ? · ?? x? =________.
3 2

探究提高
1.幂的运算法则是进行整式乘除法的基础,要熟练掌握,解题时要明确运算 的类型,正确运用法则. 2.在运算的过程中,一定要注意指数、系数和符号的处理. 知能迁移 3 (1)(2011·威海)下列运算正确的是( B. x3 ? x 6 D. ?? ab? ? ?? ab? ? ?a3b3
5 2

)

A. a 3 ? a 2 ? a 6 C. x 5 ? x 5 ? x10

? ?

3

2)计算: 3a 2 ? a5 =________; y 3 ? y 5 =________; ? ? 2a 2 =________.

? ?

2

? ?

2

?

?

4

题型四
【例 4】

整式的混合运算及求值
(本题 5 分)先化简,再求值:

1 3x x 2 ? x ?1 ? ?x ? 1? 3x2 ? x ,其中 x= ? . 2

?

?

?

?

探究提高
注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏,另外去括号时,要注意符号 的变化,最后把所得式子化简,即合并同类项,再代值计算. 知能迁移 4 (1)(2011·温州)化简:a(3+a)-3(a+2).

(2)已知 x 2 -5x=14,求(x-1)(2x-1)- ?x ? 1? +1 的值
2

题型五
【例 5】

乘法公式
(1)计算(a+b)(a-b)+ ?a ? b ? -2 a 2 的值, 其中 a=3,b=-
2

1 ; 2

(2)已知 x 2 + y 2 =25,x+y=7,且 x>y,求 x-y 的值.

探究提高
1.算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算,任何时候都要遵循先化简, 再求值的原则. 2.在利用完全平方公式求值时,通常用到以下几种变形: (1)a2+b2=(a+b)2-2ab; (2)a2+b2=(a-b)2+2ab; (3)(a+b)2=(a-b)2+4ab; (4)(a-b)2=(a+b)2-4ab. 注意公式的变式及整体代入的思想. 1 2 知能迁移 5 (1)(2011· 衡阳)先化简, 再求值:?x ? 1? +x(x -2), 其中 x=- ; 2

(2)已知 x-y=7,x+y=5,求 xy 的值.

题型六
【例 1】

因式分解的意义
下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
2

A. ?a ? b? ? a 2 ? 2ab ? b2 、
1? ? C. a 2 ? 1 ? a? a ? ? a? ?

B. a 2 ? 2a ?1 ? a?a ? 1? ?1 D. ? a 2 ? b2 ? ?? a ? b??a ? b?

探究提高
熟练地掌握因式分解的意义.因式分解是将一个多项式化成几个整式积的 形式的恒等变形,若结果不是积的形式,则不是因式分解。 知能迁移 1 下列多项式的分解因式,正确的是( )

A.8abx-12 a 2 x 2 =4abx(2-3ax) B.-6 x 3 +6 x 2 -12x=-6x( x 2 -x+2) C.4 x 2 -6xy+2x=2x(2x-3y) D.-3 a 2 y +9ay-6y=-3y( a 2 +3a-2)

题型七

提取公因式法分解因式

【例 2】(1)多项式 6xy-2 xy 2 +4xyz 中各项的公因式是 __________. (2)分解因式: ①-4 x3 y 2 +28 x 2 y -2xy=___________________; ②6 a 2 ?x ? y ? -3a ? y ? x ? =___________________.
2 3

探究提高
1.当某项正好为公因式时,提取公因式后,该项应为 1,不可漏掉. 2.首项系数为负数时, 一般公因式的系数取负数,使括号内首项系数为正. 3.公因式也可以是多项式. 知能迁移 2 (1)把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提公因式(m-1)后,余下的部 分是( ) A.m+1 B.2m C.2 D.m+2 (2)分解因式: ?x ? y ? -3(x+y).
2

题型八

运用公式法分解因式
) B. x 2 +xy D. x 2 ? y 2

【例 3】 (1)下列多项式中,能用公式法分解因式的是( A. x 2 -xy C. x 2 ? y 2 (2)分解以下各多项式:

① 9 x 2 ?16y 2
探究提高

② ?x ?1?2 ? 9

③16x4 ? 72x2 y 2 ? 81y 4

1.用平方差公式分解因式,其关键是将多项式转化为 a2-b2 的形式,需 注意对所给多项式要善于观察,并作适当变形,使之符合平方差公式的特点,公 式中的“a” “b”也可以是多项式,可将这个多项式看作一个整体,分解后注意 合并同类项. 2.用完全平方公式分解因式时,其关键是掌握公式的特征.

知能迁移 3

分解因式: (2)25 ?x ? y ? -9 ?x ? y ? ;
2 2

(1) 4a 2 ? 1 ;
1 2 a +a+1 4

(3)

(4) x 3 -6 x 2 +9x

题型九

综合运用多种方法分解因式

【例 4】 给出三个多项式: x 2 +x-1; x 2 +3x+1; x 2 -x,请你选择其中 两个进行加法运算,并把结果分解因式.

探究提高
1.具有一定的开放性. 2.灵活运用多种方法分解因式,其一般顺序是:首先提取公因式,然后再考虑 用公式,最后结果一定要分解到不能再分解为止.

知能迁移 4 (1) a 5 -a

因式分解: (2)(x+2)(x+4)+ x 2 -4

(3)(2011·芜湖)因式分解: x 3 -2 x 2 y + xy 2 =____________;

(4)在实数范围内分解因式: x 4 -4.

题型十

因式分解的应用
)

【例 5】 (1)若 a+b=4,则 a 2 +2ab+ b 2 的值是( A.8 B.16 C.2 D.4

(2)已知 a 2 + b 2 +6a-10b+34=0,求 a+b 的值.

(3)如果多项式 2 x 3 + x 2 -26x+k 有一个因式是 2x+1,求 k 的值.

探究提高
1.利用因式分解,将多项式分解之后整体代入求值. 2.一个问题有两个未知数,只有一个条件,考虑到已知式右边等于 0,若将 左边转化成两个完全平方式的和,而它们都是非负数,要使和为 0,则每个完全 平方式都等于 0,从而使问题得以求解. 3.逆向思维,推出多项式分解后的几个因式,采用系数求等的方法列方程组 1 求解,或者利用恒等变形的性质,设 2x+1=0,x=- 代入原式,可求得 k. 2 知能迁移 5 (1)(2011· 衡阳)若 m-n=2, m+n=5, m2 ? n2 的值为_________ . 则

(2)若△ABC 的三边长分别为 a、b、c,且 a+2ab=c+2bc,判断△ABC 的形状.

易错警示:
试题 分解因式: (1)20 m3n -15 m 2 n 2 +5 m2 n ; (2)4 x 2 -16 y 2 ;

(3)m(a-b)+n(b-a);

(4)-3 x 2 +18x-27.


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