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常用逻辑用语知识点


常用逻辑用语

目标认知 考试大纲要求:
1. 理解命题的概念;了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义. 2. 了解命题“若 p,则 q”的形式及其逆命题、否命题与逆否命题,分析四种命题相互关系. 3. 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 4. 理解全称量词与存在量词的意义;能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

重点

: 难点:

充分条件与必要条件的判定 根据命题关系或充分(或必要)条件进行逻辑推理。

知识要点梳理 知识点一:命题
1. 定义: 一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的语句叫做命题. (1)命题由题设和结论两部分构成. 命题通常用小写英文字母表示,如 p,q,r,m,n 等. (2)命题有真假之分,正确的命题叫做真命题,错误的命题叫做假命题. 数学中的定义、公理、定理等都是真 命题 (3)命题“ ① 若要判断命题“ 判断。如: 一定推出 . ”是一个假命题,只需要找到一个反例即可. ”的真假判定方式: ”是一个真命题,需要严格的逻辑推理;有时在推导时加上语气词“一定”能帮助

② 若要判断命题“ 注意:“

不一定等于 3”不能判定真假,它不是命题.

2. 逻辑联结词: “或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词.
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(1)不含逻辑联结词的命题叫简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题叫复合命题. (2)复合命题的构成形式: ①p 或 q;②p 且 q;③非 p(即命题 p 的否定). (3)复合命题的真假判断(利用真值表): 非 真 真 假 假 真 假 真 假 假 假 真 真 真 真 真 假 真 假 假 假

①当 p、q 同时为假时,“p 或 q”为假,其它情况时为真,可简称为“一真必真”; ②当 p、q 同时为真时,“p 且 q”为真,其它情况时为假,可简称为“一假必假”。 ③“非 p”与 p 的真假相反. 注意: (1)逻辑连结词“或”的理解是难点,“或”有三层含义,以“p 或 q”为例:一是 p 成立 且 q 不成立,二是 p 不成立但 q 成立,三是 p 成立且 q 也成立。可以类比于集合中“ (2)“或”、“且”联结的命题的否定形式: “p 或 q”的否定是“ p且 q”; “p 且 q” 的否定是“ p或 q”. 或 ”.

(3)对命题的否定只是否定命题的结论;否命题,既否定题设,又否定结论。

知识点二:四种命题
1. 四种命题的形式: 用 p 和 q 分别表示原命题的条件和结论,用 原命题:若 p 则 q; 逆命题:若 q 则 p; 否命题:若 p则 q; 逆否命题:若 q则 p. p和 q 分别表示 p 和 q 的否定,则四种命题的形式为:

2. 四种命题的关系

①原命题 ②逆命题

逆否命题.它们具有相同的真假性,是命题转化的依据和途径之一. 否命题,它们之间互为逆否关系,具有相同的真假性,是命题转化的另一依据和途径.

除①、②之外,四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

命题与集合之间可以建立对应关系,在这样的对应下,逻辑联结词和集合的运算具有一致性,命
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题的“且” 、 “或” 、 “非”恰好分别对应集合的“交” 、 “并” 、 “补” ,因此,我们就可以从集合的角 度进一步认识有关这些逻辑联结词的规定。
知识点三:充分条件与必要条件
1. 定义: 对于“若 p 则 q”形式的命题: ①若 p ②若 p q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; q,但 q p,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件; p,记作 p q,则 p 是 q 的充分必要条件(充要条件).

③若既有 p 2. 理解认知:

q,又有 q

(1)在判断充分条件与必要条件时,首先要分清哪是条件,哪是结论;然后用条件推结论, 再用结论 推条件,最后进行判断. (2)充要条件即等价条件,也是完成命题转化的理论依据.“当且仅当”.“有且仅有”. “必须且只须”.“等价于”“?反过来也成立”等均为充要条件的同义词语. 3. 判断命题充要条件的三种方法 (1)定义法: (2)等价法:由于原命题与它的逆否命题等价,否命题与逆命题等价,因此,如果原 命题与逆命题真假不好判断时,还可以转化为逆否命题与否命题来判断.即利用 与 ; 与 ; 与 的等价关系,对于

条件或结论是不等关系(或否定式)的命题,一般运用等价法. (3) 利用集合间的包含关系判断,比如 A B 如图: “ “ ” ” “ “ ,且 ” 是 ” 是 的充分不必要条件. A,即 A B. B 可判断为 A B;A=B 可判断为 A B,且

的充分必要条件.

知识点四:全称量词与存在量词
1. 全称量词与存在量词 全称量词及表示:表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、“任意”、“每一个”等,通常用符 号“ ”表示,读作“对任意”。含有全称量词的命题,叫做全称命题。全称命题“对 M 中任意一个 x,有 p(x)

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成立”可表示为“

”,其中 M 为给定的集合,p(x)是关于 x 的命题.

(II)存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一个”,“存在一个”, “至少有一个”,“有点”,“有些”等,通常用符号“ ”表示,读作“存在”。含有 存在量词的命题,叫做特称命题 特称命题“存在 M 中的一个 x,使 p(x)成立”可表示 为“ ”,其中 M 为给定的集合,p(x)是关于 x 的命题.

2. 对含有一个量词的命题进行否定 (I)对含有一个量词的全称命题的否定 全称命题 p: ,他的否定 : 全称命题的否定是特称命题。

(II)对含有一个量词的特称命题的否定 特称命题 p: 注意: (1)命题的否定与命题的否命题是不同的.命题的否定只对命题的结论进行否定(否定一 次),而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进行否定(否定二次)。 (2)一些常见的词的否定: 正面词 否定词 等于 不等于 大于 不大于 小于 不小于 是 不是 都是 不都是 一定是 一定不是 至少一个 一个也没有 至多一个 至少两个 ,他的否定 : 特称命题的否定是全称命题。

规律方法指导
1. 解答命题及其真假判断问题时,首先要理解命题及相关概念,特别是互为逆否命题的真 假性一致. 2. 要注意区分命题的否定与否命题. 3. 要注意逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“并”“交”“补”是相关的,将二 者相互对照可加深认识和理解. 4. 处理充要条件问题时,首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证明,必须证明充分 性,又要证明必要性;判断充要条件一般有三种方法:用集合的观点、用定义和利用命 题的等价性;求充要条件的思路是:先求必要条件,再证明这个必要条件是充分条件. 5. 特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。 总结升华: 1. 判断复合命题的真假的步骤: ①确定复合命题的构成形式; ②判断其中简单命题 p 和 q 的真假; ③根据规定(或真假表)判断复合命题的真假. 2. 条件“ 或 ”是“或”的关系,否定时要注意.

类型二:四种命题及其关系
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2. 写出命题“已知 真假。 解析:逆命题:已知 否命题:已知 逆否命题:已知 总结升华: 1.“已知

是实数,若 ab=0,则 a=0 或 b=0”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断其

是实数,若 a=0 或 b=0, 则 ab=0, 真命题; 是实数,若 ab≠0,则 a≠0 且 b≠0,真命题; 是实数,若 a≠0 且 b≠0,则 ab≠0,真命题。

是实数”为命题的大前提,写命题时不应该忽略;

2. 互为逆否命题的两个命题同真假; 3. 注意区分命题的否定和否命题.

类型三:全称命题与特称命题真假的判断
总结升华: 1. 要判断一个全称命题是真命题,必须对限定的集合 M 中每一个元素 ,验证 要判断全称命题是假命题,只要能举出集合 M 中的一个 ,使 成立;

不成立可; ,使

2. 要判断一个特称命题的真假,依据:只要在限定集合 M 中,至少能找到一个 成立,则这个特称命题就是真命题,否则就是假命题.

类型四:充要条件的判断
总结升华: 1. 处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论; 2. 正确使用判定充要条件的三种方法,要重视等价关系转换,特别是 与 关系.

类型五:求参数的取值范围
总结升华:由 p 或 q 为真,知 p、q 必有其一为真,由 p 且 q 为假,知 p、q 必有一个为假,所以, “p 假且 q 真”或“p 真且 q 假”.可先求出命题 p 及命题 q 为真的条件,再分类讨论. 总结升华:从认知已知条件切入,将四种命题或充要条件问题向集合问题转化,是解决这类问题的基本策略。

类型六:证明
总结升华: 1. 利用反证法证明时,首先正确地作出反设(否定结论).从这个假设出发,经过推理论证, 得出矛盾,从而假设不正确,原命题成立,反证法一般适宜结论本身以否定形式出现, 或以“至多?” 、 “至少?”形式出现,或关于唯一性、存在性问题,或者结论的反面是 比原命题更具体更容易研究的命题. 2. 反证法时对结论进行的否定要正确,注意区别命题的否定与否命题.
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总结升华: 1. 对于充要条件的证明,既要证明充分性,又要证明必要性,所以必须分清条件是什 么,结论是什么。 2. 充分性:由条件 结论 ;必要性:由结论 条件 . ” ).

3.叙述方式的变化(比如

是 的充分不必要条件”等价于“ 的充分不必要要条件是

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