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徐汇区2015年高三数学理科一模试卷

时间:2015-01-23


2014 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 高三年级数学学科(理科)
2015.1 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的 空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得 0 分. 3 1.已知 sin ? ? ? ,则 cos 2? ? __ ___. 5
2.若实数 x, y 满足 xy ? 4 ,则 x

2 ? 4 y 2 的最小值为 3.设 i 是虚数单位,复数 z 满足 (2 ? i) ? z ? 5 ,则 z ? 4.函数 f ( x) ? x 2 ? 2( x ? 0) 的反函数 f ?1 ( x) ? 5.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 x ?
2 2

. . .

y ? 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为 3

. 6.若正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面边长为 2 ,高为 4 ,则异面直线 BD1 与 AD 所成角 的大小是 ______________. (结果用反三角函数值表示) 7.设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , Sn ? 为 .

1 an?1 ? 0(n ? N * ) ,则 ?an ? 的通项公式 2

x ?1 1 8.若全集 U ? R ,不等式 1 ? 1 的解集为 A ,则 ?1 x

U

A=



9.已知圆 C : ( x ? 1)2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ,方向向量 d ? (1,1) 的直线 l 过点 P(0, 4) ,则圆 C 上的点 到直线 l 的距离的最大值为 .

10.如图:在梯形 ABCD 中, AD / / BC 且 AD ?

1 BC , AC 与 2

BD 相 交 于 O , 设 A B? a, D C ? b, 用 a, b 表 示 BO , 则

BO =



11.已知函数 f (x ) ? 2sin(2 x ? ) ,将 y ? f ( x) 的图像向左平移 ? ( 0 ? ? ? ? )个单位后

?

6

得到函数 y ? g ( x) 的图像.若 y ? g ( x) 的图像上各最高点到点 (0,3) 的距离的最小值为

1 ,则 ? 的值为


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12.已知函数 f n ( x) ? 1 ?

1 1 2 ?( ) ? 2 2

1 n2 ? ( )n ? 2 ( x ? 1) ,其中 n ? N * . 2 n ? 2015
n ??

,,, 2 3 当 n ?1 时, f n ( x) 的零点依次记作 x1, x2, x3, ,则 lim xn ?



13.在平面直角坐标系中,对于函数 y ? f ? x ? 的图像上不重合的两点 A, B ,若 A, B 关于原 点对称,则称点对 ? A, B ? 是函数 y ? f ? x ? 的一组“奇点对” (规定 ? A, B ? 与 ? B, A? 是相同的

1 ? lg ? x ? 0? ? ? x “奇点对” ) .函数 f ? x ? ? ? 的“奇点对”的组数是 ?sin 1 x ? x ? 0 ? ? ? 2
14.设集合 A ?



?? x , x , x ,
1 2 3

, x10 ? | xi ???1,0,1? , i ? 1, 2,3,

,10? ,则集合 A 中满足条件


“ 1 ? x1 ? x2 ? x3 ?

? x10 ? 9 ”的元素个数为

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案, 考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则 一律得 0 分. 1 15. “ a ? ”是“实系数一元二次方程 x 2 ? x ? a ? 0 有虚数根”的( ) 4
( A)充分非必要条件 ( C)充分必要条件 ( B)必要非充分条件 ( D)既非充分又非必要条件

16.已知 m 和 n 是两条不同的直线,? 和 ? 是两个不重合的平面,则下列给出的条件中

一定能推出 m ? ? 的是 (
( A) ? ? ? 且 m ? ?

) ( B) ? ? ? 且 m // ? ( D) m ? n 且 n // ?
*

? ( C) m // n 且 n ? ?

17.某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖,全部商品共有 n 类 (n ? N ) , 分别编号为 1, 2,

, n ,买家共有 m 名 (m ? N * , m ? n) ,分别编号为1, 2,

, m .若

?1, 第i名买家购买第j类商品 aij ? ? 1 ? i ? m,1 ? j ? n ,则同时购买第 1 类和第 2 类 ?0, 第i名买家不购买第j类商品
商品的人数是( ( A) a11 ? a12 ? )

? a1m ? a21 ? a22 ? ? am1am2

? a2m ( B) a11 ? a21 ?

? am1 ? a12 ? a22 ? ? a1m a2 m

? am2

( C) a11a12 ? a21a22 ?

( D) a11a21 ? a12 a22 ?
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18.对于方程为

1 1 + =1 的曲线 C 给出以下三个命题: |x| | y|

( 1)曲线 C 关于原点中心对称; ( 2)曲线 C 既关于 x 轴对称,也关于 y 轴对称,且 x 轴和 y 轴是曲线 C 仅有的两条对称轴; ( 3)若分别在第一、第二、第三、第四象限的点 M,N,P,Q 都在曲线 C 上,则四边形 MNPQ 每一条边的边长都大于 2. 其中正确的命题是( ) (A)( 1) ( 2) (B)( 1) ( 3) (C)( 2) ( 3) (D)( 1) ( 2) ( 3)

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相 应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分 12 分 ) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? A sin( x ? ( 1)求 A 的值; ( 2)若 f (? ) ? f (?? ) ?

?

5 3 ), x ? R ,且 f ( ? ) ? . 4 12 2 3 ? 3 , ? ? (0, ) ,求 f ( ? ? ? ) . 2 2 4

20.(本题满分 14 分 ) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2x ? k ? 2? x (k ? R) . ( 1)若函数 f ( x) 为奇函数,求 k 的值;

( 2)若函数 f ( x) 在 ? ??, 2? 上为减函数,求 k 的取值范围.

21.(本题满分 14 分 ) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,某传动装置由两个陀螺 T1 , T2 组成,陀螺之间没有滑动.每个陀螺都由具有公 共轴的圆锥和圆柱两个部分构成,每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的

1 ,且 3

T1 , T2 的轴相互垂直,它们相接触的直线与 T2 的轴所
成角 ? ? arctan

2 .若陀螺 T2 中圆锥的底面半径为 3

r ? r ? 0? .
( 1)求陀螺 T2 的体积; ( 2)当陀螺 T2 转动一圈时,陀螺 T1 中圆锥底面圆周 上一点 P 转动到点 P 1 ,求 P 与 P 1 之间的距离.
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22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 已知椭圆 ? :

x2 ? y 2 ? 1 (常数 a ? 1 )的左顶点为 R ,点 A(a,1), B(?a,1) , O 为坐标原点. 2 a

( 1)若 P 是椭圆 ? 上任意一点, OP ? mOA ? nOB ,求 m2 ? n2 的值; ( 2)设 Q 是椭圆 ? 上任意一点, S ? 3a, 0 ? ,求 QS ? QR 的取值范围; ( 3 )设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 是椭圆 ? 上 的两个动点 ,满足 kOM ? kON ? kOA ? kOB ,试 探究

?OMN 的面积是否为定值,说明理由.

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. 已知有穷数列 {a n } 各项均不相等 , 将 {a n } 的项从大到小重新排序后相应 的项数 构成新数 .... .. ... 列 { pn } ,称 { pn } 为 {a n } 的“序数列” .例如数列: a1 , a2 , a3 满足 a1 ? a3 ? a2 ,则其序数列

{ pn } 为 1,3,2 .
( 1)写出公差为 d (d ? 0) 的等差数列 a1 , a2 ,

, an 的序数列 { pn } ;
3 5
n
*

( 2)若项数不少于 5 项的有穷数列 {bn } 、 {c n } 的通项公式分别是 bn ? n ? ( ) ( n ? N ),

cn ? ?n 2 ? tn ( n ? N * ), 且 {bn } 的序数列与 {c n } 的序数列相同, 求实数 t 的取值范围;
* ( 3)若有穷数列 {d n } 满足 d1 ? 1 , | d n ?1 ? d n |? ( ) (n ? N ) ,且 {d 2 n ?1} 的序数列单调递

1 2

n

减, {d 2 n } 的序数列单调递增,求数列 {d n } 的通项公式.

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理科参考答案 一、填空题: (每题 4 分) 1.

7 25

2.

16
7.

3.

5

4.

? x ? 2( x ? ?2)
8.

5.

x ? ?2
9.

6.

arctan 5
4 2 ? a? b 3 3

?1, n ? 1 an ? ? n ?2 * ?2 ? 3 , n ? 2, n ? N
11.

? ?1, 0?
14.

3 2

10.

? 6

12.

?3

13.

3

58024

二、选择题: (每题 5 分) 15. B 16. C 17. C 18. B

三、解答题

5? 5? ? ? ) ? 3 , A ? 3 ? 3 ……………………..2’ 19、解: (1) f ( ) ? A sin( 12 12 4 2
2 2

? A ? 3 ; ……………………..4’

? ? 3 (2) f (? ) ? f (?? ) ? 3 sin(? ? ) ? 3 sin(?? ? ) ? ,

4 4 2 ? 3[ 2 (sin ? ? cos ? ) ? 2 (? sin ? ? cos ? )] ? 3 ,……………………..6’ 2 2 2 ? 6 cos ? ? 3 , cos ? ? 6 ,……………………..8’ 2 4 ? 10 , ……………………..10’ 2 又 ? ? (0, ) ,? sin ? ? 1 ? cos ? ? 4 2 3 30 .……………………..12’ f ( ? ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) ? 3 sin ? ? 4 4 x ?x 20、 解: (1) f ( x) ? f (? x) ? (k ? 1)(2 ? 2 ) ? 0 对一切的 x ? R 成立, ……………………..4’ 所以 k ? ?1 ……………………..6’ (2)若 k ? 0 ,则函数 f ( x) 在 ? ??, 2? 单调递增(舍)……………………..8’
当 k ? 0 时,令 t ? 2 ? ? 0, 4? ,……………………..9’
x

则函数 g (t ) ? t ?

k 在 ? 0, 4? 上单调递减……………………..10’ t

所以 k ? 4 ,……………………..13’ 即 k ? 16 ……………………..14’ 21、解: (1)设陀螺 T2 圆锥的高为 h ,则 得陀螺 T2 圆柱的底面半径和高为

r 2 3 ? ,即 h ? r ……………………..2’ 2 h 3

r ……………………..3’ 3
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?r? r 1 V柱 =? ? ? ? ? r 3 ……………………..5’ ? 3 ? 3 27
1 3 1 V椎 = ? r 2 r ? ? r 3 ……………………..7’ 3 2 2 29 VT2 ? V柱 ? V椎 ? ? r 3 ……………………..8’ 54
(2)设陀螺 T1 圆锥底面圆心为 O , 则 PP 1 ? 2? r ,……………………..10’ 得 ?POP 1 ?

2

PP 2? r 4? 1 ? ? ……………………..12’ OP 3 r 3 2
3 3 r ……………………..14’ 2

在 ?POP 3OP ? 1 中, PP 1 ?

22、解: (1) OP ? mOA ? nOB ? ? ma ? na, m ? n ? , 得 P ? ma ? na, m ? n ? ……………………..2’

? m ? n? ? ? m ? n?
2

2

? 1 ,即 m2 ? n 2 ?

1 ……………………..4’ 2

(2)设 Q ? x, y ? ,则 QS ? QR ? ? 3a ? x, ? y ?? ?a ? x, ? y ?

x2 ? ? x ? 3a ?? x ? a ? ? y ? ? x ? 3a ?? x ? a ? ? 1 ? 2 ……………………..5’ a
2

?

a2 ?1 2 x ? 2ax ? 1 ? 3a 2 2 a
2

a2 ?1 ? a 3 ? 4a 4 ? 4a 2 ? 1 ? 2 ?x? 2 ? ? ? ?a ? x ? a ? ……………………..6’ a ? a ?1 ? a2 ?1

a3 ? a ……………………..7’ 由 a ? 1 ,得 2 a ?1
∴ 当 x ? ?a 时, QS ? QR 最大值为 0 ;……………………..8’ 当 x ? a 时, QS ? QR 最小值为 ?4a ;……………………..9’
2

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2 即 QS ? QR 的取值范围为 ? ? ?4a , 0? ? ……………………..10’

(3) (解法一)由条件得,

y1 y2 1 ? ? 2 ,……………………..11’ x1 x2 a

平方得 x12 x2 2 ? a 4 y12 y2 2 ? (a 2 ? x12 )(a 2 ? x2 2 ) , 即 x12 ? x2 2 ? a 2 ……………………..12’

S?OMN ? ? ?

1 x1 y2 ? x2 y1 ……………………..13’ 2

x2 x 2 2x 2 x 2 1 1 x12 (1 ? 22 ) ? x2 2 (1 ? 12 ) ? 1 2 2 x12 y2 2 ? x2 2 y12 ? 2 x1 x2 y1 y2 = 2 a a a 2

1 a x12 ? x2 2 ? ……………………..15’ 2 2 a 故 ?OMN 的面积为定值 ……………………..16’ 2
(解法二)①当直线 MN 的斜率不存在时,易得 ?OMN 的面积为 ②当直线 MN 的斜率存在时,设直线 MN 的方程为 y ? kx ? t

a ……………………..11’ 2

? x2 2 ? 2 ? y ?1 ? ?1 ? a 2 k 2 ? x 2 ? 2kta 2 x ? a 2 ? t 2 ? 1? ? 0 ……………………..12’ ?a ? y ? kx ? t ?

a 2 ? t 2 ? 1? ?2kta 2 , x1 x2 ? 由 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,可得 x1 ? x2 ? , 1 ? a2k 2 1 ? a2k 2
t 2 ? a2k 2 y1 y2 ? ? kx1 ? t ?? kx2 ? t ? ? k x1 x2 ? kt ? x1 ? x2 ? x ? t ? 1 ? a2k 2
2 2

又 kOM ? kON ?

y1 y2 1 ? ? 2 ,可得 2t 2 ? a 2 k 2 ? 1……………………..13’ x1 x2 a
2

因为 MN ? 1 ? k ? x1 ? x2 ,……………………..14’ 点 O 到直线 MN 的距离 d ?

t 1? k 2

……………………..15’

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S?OMN

t t 1 ? ? MN ? d ? ? x1 ? x2 ? ? 2 2 2

? x1 ? x2 ?

2

? 4 x1 x2 ?

t 2

?

4a 2 ?1 ? a 2 k 2 ? t 2 ?

?1 ? a k ?
2

2 2

?

a 2

综上: ?OMN 的面积为定值

a ……………………..16’ 2
, 2,1 ;……………………..2’

23、解:(1)当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 n, n ? 1, 当 d ? 0 时,序数列 { pn } 为 1, 2, (2)因为 bn ?1 ? bn ? ( ) n ?

, n ? 1, n ……………………..4’

3 5

3 ? 2n ,……………………..5’ 5

当 n ? 1 时,易得 b2 ? b1 ,当 n ? 2 时, bn ?1 ? bn , 又因 b1 ?

3 3 3 , b3 ? 3 ? ( ) 3 , b4 ? 4 ? ( ) 4 , b4 ? b1 ? b3 , 5 5 5

即 b2 ? b3 ? b1 ? b4 ?

? bn ,
, n ,……………………..8’

故数列 {bn } 的序数列为 2,3,1, 4, 所以对于数列 {c n } 有 2 ?

t 5 ? , 2 2

解得: 4 ? t ? 5 ……………………..10’ (3) 由于 {d 2 n ?1} 的序数列单调递减,因此 {d 2 n ?1} 是递增数列,故 d 2 n ?1 ? d 2 n ?1 ? 0 ,于是

(d 2n?1 ? d 2n ) ? (d 2n ? d 2n?1 ) ? 0 ,
而( )

1 2

2n

1 ? ( ) 2 n ?1 ,所以 | d 2n?1 ? d 2n |?| d 2n ? d 2n?1 | ,从而 d 2n ? d 2n?1 ? 0 , 2

d 2 n ? d 2 n ?1

1 2 n ?1 ( ?1) 2 n ?( ) ? 2 n ?1 2 2

(1) ……………………..12’

因 为 {d 2 n } 的 序 数列 单 调递 增, 所以 {d 2 n } 是 递 减 数列 ,同 理 可得 d 2 n ?1 ? d 2 n ? 0 , 故

1 (?1)2 n ?1 d 2 n?1 ? d2 n ? ?( )2 n ? 2 22 n

(2) ……………………..14’

( ?1) n ?1 由(1)(2)得: d n ?1 ? d n ? ……………………..15’ 2n
于是

d n ? d1 ? (d 2 ? d1 ) ? (d 3 ? d 2 ) ? ? ? (d n ? d n?1 ) ……………………..16’
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1 1 ? ( ? ) n ?1 1 1 ( ?1) 1 2 ……………………..17’ ? 1 ? ? 2 ? ? ? n ?1 ? 1 ? ? 1 2 2 2 2 1? 2 n 4 1 ( ?1) ? ? ? n ?1 3 3 2
n

即数列 {d n } 的通项公式为 d n ?

4 1 ( ?1) n ? ? n ?1 ( n ? N * )……………………..18’ 3 3 2

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