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河北省石家庄市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题 文


石家庄市第一中学 2015—2016 学年第二学期高二年级第二次月考 数学(文)试题
第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、 选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的. 1.已知 集合 A ? A.

?0?

?0,1,2? ,集合 B

? ? x x ? 2a, a ? A? ,则 A ? B ? ( ) B. ?2? C. ?0, 2? D. ?1, 4?

1 ? ai 对应的点在直线 x ? 2 y ? 5 ? 0 上,则实数 a 的 值为( ) i A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 3.命题“ ?x ? [1, 2] , x ? a ? 0 ”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A. a ? 4 B. a ? 4 C. a ? 5 D. a ? 5
2.若复数 z ? 4.对任意非零实数 a , b ,若 a ? b 的运算规则如下图的程序框图,则 (3 ? 2) ? 4 的值是 ( A. 0 ) B.

1 2

C. 9

D.

3 2

5.已知角 ? 的终边上一点的坐 标为 (sin A.

5? 6

B.

2? 3

5? 5? , cos ), 则角 ? 的最小正值 为 ( 6 6 5? 11? C. D. 3 6




1 ? ?x ? t ? 6.参数方程 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线

D.两条射线

7.把函数 y ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? ? ) 的图象向左平移

? 个单位,再将图象上所有 6
1

点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)所得的图象解析式为 y ? sin x ,则 ( ) A. ? ? 2,? ?

?
6

B. ? ? 2,? ? ?

? 3

1 ? C. ? ? ,? ? 2 6

D. ? ? ,? ?

1 2

? 12

8.已知 a , b 都是正实数,且满足 log4 (2a ? b) ? log2 A.12 9.函数 f ( x) ?
2

ab ,则 2a ? b 的最小值为( )
D.6 ( )

B.10

C.8

x ,当0 ? x ? 1 时,下列式子关系正确的是 ln x
2

A. f ( x) ? f ( x ) ? f ( x) C. f ( x) ? f ( x ) ? f ( x)
2 2
x 10 .已知不等式 y ? 4 ? y ? 2 ?

B. f ( x ) ? f ( x) ? f ( x)
2 2

D. f ( x ) ? f ( x) ? f ( x)
2 2

a 对任意实数 x , y 都成立,则常数 a 的最小值为 2x
C.3 D. 4

( A.1

) B. 2

11.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 ( ) B. 21 ? 3 D.

A. 4 C. 3 3 ? 12

3 3 ? 12 2

12 .设函数 f ? x? ? ? x ? a? ? ln x ? 2 a ,其中 x ? 0, a ? R ,存在 x0 ? R ,使 得
2 2 2

?

?

f ? x0 ? ?
A.

4 成立,则实数 a 的值是( 5
B.

) D. 1

1 5

2 5

C.

1 2

2

第 II 卷(非选择 题,共 90 分) 二、 填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.已知 P 是 ?ABC 所在平面内一点, PB ? PC ? 2PA ? 0 ,现将一粒黄豆随机撒在

?ABC 内,则黄豆落在 ?PBC 内的概率是_________.
14. 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 若 a2 ? b2 ? 3bc ,

sin C ? 2 3 sin B ,则 A ? _________.
15.若 A 为抛物线 y ?

. ?ASC ? ?BSC ? 45? , 16.已知球的直径 SC ? 4 ,A, B 是该球球面上的两点,AB ? 2 , 则棱锥 S ? ABC 的体积为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 17. (本题满分 10 分)

??? ? ???? AB ? AC 等于

1 2 x 的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于 B 、 C 两点, 则 4

? 3 x ? 5? t ? ? 2 ( t 为参数) 已知直线 l : ? ,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立 1 ?y ? 3 ? t ? ? 2
极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? . (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 设点 M 的直角坐标为 (5, 3) , 直线 l 与曲线 C 的交点为 A, B , 求M A ?M B 的值. 18. (本小题满分12分) 已知二次函数 y ? f ?x ? 的图象经过坐标原点,其导函数为 f ??x ? ? 6 x ? 2 .数列 ?an ? 的
* 前 n 项和为 Sn ,点 ?n, Sn ? (n ? N ) 均在函数 y ? f ?x ? 的图象上.

(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)设 bn ?

m 3 * , Tn 是数列 ?bn ?的 前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都成 2016 an an?1

立的最小正整数 m .
3

19. (本题满分12分) 某公司研制出一种新型药品,为测试该药品的有效性,公司选定 2000个药品样本分成三 组,测试结果如下表: 分组 药品有效 药品无效

A组

670 80

B组 a

C组

50

b c

已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组药品有效的概率是 0.35. (1)现用分层抽样在全体样本中抽取 360个测试结果,问应在 C 组抽取样本多少个; (2)已知 b ? 425 , c ? 68 ,求该药品通过测试的概率(说明:若药品有效的概率不小 于 90 %,则认为测试通过) . 20. (本题满分 12 分) 在三棱锥 P ? ABC 中, ?PAB 是等边三角 形, PA ? AC , PB ? BC . (1)证明: AB ? PC ; (2) 若 PC ? 2 , 且平面 PAC ? 平面 PBC , 求三棱锥 P ? ABC 的体积. 21. (本题满分 12 分)

x2 y 2 ? 1 a ? 3 的离心 已知椭圆 E : 2 ? a 3
1 .直线 x ? t (t ? 0) 与曲线 E 交于不同的两点 M , N ,以线段 MN 为直径作圆 2 C ,圆心为 C . (1)求椭圆 E 的方程;
率e ? (2)若圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A, B ,求 ?ABC 的面积的最大值. 22.(本题满分 12 分) 已 知 函 数 f ? x ? ? x ? a ln x 在 x ? 1 处 的 切 线 与 直 线 x ? 2 y ? 0 垂 直 , 函 数

?

?

1 g ? x ? ? f ? x ? ? x 2 ? bx . 2
(1)求实数 a 的值; (2)若 函数 g ? x ? 存在单调递减区间,求实数 b 的取值范围; (3)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ? x ? 的两个极值点,若 b ? 值.

7 ,求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小 2

4

2015—2016 学年第二学期高二年级第一次月考数学(文)试题 (答案) 一、选择题: 1.C 2.C 3.C 4.D 5.C 6.D 7.B 8.C 9.C 10.D.11.C 12.A 二、填空题:

13.

1 2

14. 30 ?

15.

?3

16.

4 3 3

三、解答题: 17. 解: (1) ρ=2cos θ 等价于 ρ2 =2 ρ cos θ ①

将 ρ2 =x2 ? y 2 , ρ cos θ ? x 代入①既得曲线 C 的直角坐标方程为

x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 ,②
? 3 x ? 5? t ? ? 2 2 (2)将 ? 代入②得 t ? 5 3t ? 18 ? 0 , ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
设这个方程的两个实根分别为 t1 , t2, 则由参数 t 的几何意义既知, | MA |? | MB |?| t1t2 |? 18 .
2 18. (1) 依题意可设二次函数 f ?x? ? ax ? bx?a ? 0? 则 f ??x ? ? 2ax ? b

? f ??x ? ? 6 x ? 2 ,? a ? 3, b ? ?2 ,? f ?x? ? 3x 2 ? 2 x
* 点 ?n, Sn ? (n ? N ) 在函数 y ? f ?x ? 的图像上,

? Sn ? 3n2 ? 2n
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 2n ? 3?n ?1? ? 2?n ?1? ? 6n ? 5
2

?

?

* 当 n ? 1 时 a1 ? 1 也适合,?an ? 6n ? 5 (n ? N )

5

(2)由(1)知 bn ?

3 3 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? an an?1 ?6n ? 5??6?n ? 1? ? 5? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ?

故 Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 2 ?? 7 ? ? 7 13 ? ? 6n ? 5 6n ? 1 ?? 2 ? 6n ? 1 ?
1 m 1? 1 ? m n ? N * 成立, m 必须且仅需满足 ? ?1 ? ?? 2 2016 2 ? 6n ? 1 ? 2016

因此,要使

?

?

即 m ? 1008 ,所以 m 的最小值 1008

a ? 0.35,? a ? 700 ? ? ? ? ? ?2 分 2000 Q b ? c ? 2000 ? 670 ? 80 ? 700 ? 50 ? 500 ??4 分 500 ? 90 个??6 分 应在 C 组抽取样本个数是 360 ? 2000 Q 19. (1)

, b ? 425, c ? 68,??b, c?的可能性是 (2)?b ? c ? 500

?425,75?, ?426,74?, ?427,73?, ?428,72?, ?429,71?, ?430,70?, ?431,69?, ?432,68? ??8 分
若测试通过,则 670 ? 700 ? b ? 2000 ? 90% ? 1800 ? b ? 430 ??10 分

3 ? ?b, c ? 的可能有 ?430,70?, ?431 ,69?, ?432,68? ? 通过测试的概率为 ??????12 分 8
20. (1)在 Rt ?PAC 和Rt ?PBC 中 AC ? PC 2 ? PA2 , BC ? PC 2 ? PB2

? PA ? PB,? AC ? BC 取 AB 中点 M ,连结 PM , CM ,则 AB ? PM , AB ? MC ? AB ? 平面 PMC ,而 PC ? 平 面 PMC
? AB ? PC

(2)在平面 PAC 内作 AD ? PC ,垂足为 D ,连结 BD ∵平面 PAC ? 平面 PBC ,? AD ? 平面 PBC ,又 BD ? 平面 PBC ?AD ? BD ,又 Rt ?PAC ? RtPBC

? AD ? BD,??ABD 为等腰直角三角形设 AB ? PA ? PB ? a ,则 AD ?
在 Rt ?PAC 中:由 PA ? AC ? PC ? AD 得 a ? 4 ? a 2 ? 2 ?

2 a 2

2 a ,解 得 a ? 2 2

? S ?ABD ?

1 1 1 1 1 1 2 2 1 AD ? BD ? ( a) ? ?? VP ? ABC ? S ?ABD ? PC ? ? ? 2 ? 3 3 2 3 2 2 2 2

6

x2 y 2 ? ? 1; 21. (I)根据椭圆的离心率得 a ? 2 ,所以椭圆方程为 (II)把直线和椭 4 3

12 ? 3t 2 2 圆方程联立,表示出圆的半径 r ? ,由弦长公式表示出 AB ? 12 ? 7t ,再 2
由 基 本 不 等 式 得 △ ABC
2







1 1 1 S ? ? t 12 ? 7t 2 ? ? 7t ? 12 ? 7t 2 ? ? 2 2 7 2 7
试题解析: (Ⅰ)∵椭圆 E : 得 a ? 2. ∴椭圆 E 的方程为

? 7t ?

? 12 ? 7t 2 2

?

3 7 . 7

a2 ? 3 1 x2 y 2 1 e ? ? ? 1 a ? 3 的离心率 ,∴ ? ,解 2 a2 3 a 2

?

?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

4分

(Ⅱ)依题意,圆心为 C ? t ,0 ? ( 0<t<2) .

?x ? t 12 ? 3t 2 ? 2 由 ? x2 y 2 得y ? . 4 ? ? 1 ? 3 ?4

6分

12 ? 3t 2 ∴圆 C 的半径为 r ? . 2
∵圆 C 与 y 轴相交于不同的两点 A,B,且圆心 C 到 y 轴的距离 d=t, ∴0 ? t ?

12 ? 3t 2 2 21 ,即 0 ? t ? . 7 2
2 2

8分

∴弦长 AB ? 2 r ? d ? 2 ∴ △

12 ? 3t 2 2 ? t ? 12 ? 7t 2 . 4
ABC 的 面 积

1 1 1 S ? ? t 12 ? 7t 2 ? ? 7t ? 12 ? 7t 2 ? ? 2 2 7 2 7

? 7t ?

2

? 12 ? 7t 2 2

?

3 7 . 7

7

当且仅当 7t ? 12 ? 7t , 即t ?
2

3 7 42 时, 等号成立. ∴△ABC 的面积的最大值为 . 7 7
a , x

? f ?( x) ? 1 ? 22. 试题解析: (Ⅰ)? f ( x) ? x ? a ln x,

?l与直线x ? 2 y ? 0 垂直,? k ? y? | x ? 1 ? 1 ? a ? 2 ,? a ? 1
(Ⅱ)? g ( x) ? ln x ?

1 2 x ? (b ? 1) x( x ? 0) 2

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 g ?( x) ? ? x ? (b ? 1) ? x x


? ( x) ? x2 ? (b ?1) x ? 1





?(

? 0 ?

) 只

1 须

0

?b ?1 ?0 ?b ? 1 ? ?? ?b?3 ? 2 ?? ? (b ? 1)2 ? 4 ? 0 ?b ? 3或b ? ?1 ?
? b 的取值范围为 (3, ??)
(Ⅲ)令 g?( x) ? 0得x2 ? (b ?1) x ?1 ? 0, ? x1 ? x2 ? b ?1, x1 x2 ? 1

g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ln ? ln

x1 1 2 x 1 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( x12 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x2 2 x2 2 ?t ? x1 , ? 0 ? x1 ? x2 ,? 0 ? t ? 1 , x2

2 x1 1 x12 ? x2 x 1 x x ? ? ln 1 ? ( 1 ? 2 ) x2 2 x1 x2 x2 2 x2 x1

? 又? ?

? x1 ? x2 ? b ? 1 ( x1 ? x2 ) 2 1 7 25 , ? (b ? 1) 2 得t ? ? 2 ? ( ? 1) 2 ? x1 x2 t 2 4 ? ? x1 x2 ? 1
1 1 1 1 ,令 h(t ) ? ln t ? (t ? )(0 ? t ? ) 4 2 t 4

? 4t 2 ? 17t ? 4 ? 0,? 0 ? t ?

1 1 1 (t ? 1)2 1 h?(t ) ? ? (1 ? 2 ) ? ? ? 0 ,? h(t )在(0, ]单减 2 4 t 2 t 2t
1 15 15 h(t ) ? h( ) ? ? 2 ln 2 故 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值为 ? 2 ln 2 4 8 8
8


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