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高中数学竞赛训练讲义(苏教版)

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高中数学竞赛训练讲义(一) 一、选择题 1、 a, b, c 为互不相等的正数, a2 ? c2 ? 2bc ,则下列关系中可能成立的是( ) . A、a ? b ? c; B 、 b ? c ? a; C 、b ? a ? c; D 、a ? c ? b; ) . 2、设 f ? x ? ? 1 ? x ,又记 f1 ? x ? ? f ? x ? , f k ?1

? x ? ? f ? f k ? x ? ? , k ? 1, 2,?, 则 f 2007 ? x ? ? ( 1? x A、 1? x ; 1? x B、 x ?1 ; x ?1 C、x; 3、 ? 为锐角, ? 设 x sin ? ? cos ? , y ? sin ? ? cos ? , sin ? ? cos ? 1 D、? ; x 2sin ? cos ? , x, y, z 的大小顺序为 则 ( z? sin ? ? cos ? ) . A 、x ? y ? z ; B、 x? z ? y; C 、z ? x ? y ; D 、z ? y ? x ; A B 4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的 A、B、C、D 四个小方格涂色(允许只用其 中几种) ,使邻区(有公共边的小格)不同色,则不同的涂色方式种数为( ). A 、 24 ; B 、 36 ; C 、 72 ; D 、 84 . C D 5、正四棱锥的一个对角截面与一个侧面的面积比为 6 : 2 ,则其侧面与底面的夹角为( ). A、 ? ; 3 B、 ? ; 4 C、 ? ; 6 D、 ? . 12 6、正整数集合 Ak 的最小元素为 1 ,最大元素为 2007 ,并且各元素可以从小到大排成一个公差为 k 的等差数列,则并集 A17 ? A59 中的元素个数为( ) . A 、 119 二、填空题 B 、 120 ; C 、 151 ; D 、 154 . . . 7、若实数 x, y 满足: x y x y ? 10 3 ? 1, 10 3 ? 10 3 ? 1 ,则 x ? y ? 3 2 ?5 2 ?6 3 ?5 3 ?6 10 8、抛物线顶点为 O ,焦点为 F , M 是抛物线上的动点,则 MO 的最大值为 MF 9、计算 1 3 ? ? sin100 cos100 . 10、过直线 l : y ? x ? 9 上的一点 P 作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为 F1 ? ?3, 0 ? , F2 ? 3, 0 ? ,则 椭圆的方程为 . 11、把一个长方体切割成 k 个四面体,则 k 的最小值是 . 12 、 将 各 位 数 码 不 大 于 3 的 全 体 正 整 数 m 按 自 小 到 大 的 顺 序 排 成 一 个 数 列 ? an ? , 则 a2007 ? . 1 三、解答题 13、数列 ? an ? 满足: a1 ? 1 , an ?1 ? 2 nan ;令 xk ? a1 ? a2 ? ? ? ak , ? n ? 1?? nan ? 1? yk ? 1 1 1 ? ? ? ? , k ? 1, 2,? ;求 a1 a2 ak ?x k ?1 n k yk . 15、 若四位数 n ? abcd 的各位数码 a, b, c, d 中, 任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长, 则称 n 为四位三角形数,试求所有四位三角形数的个数. 2 2008 年南菁高中数学竞

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