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2016-2017学年高中数学必修二(人教A版)课时作业28圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 Word版含解析

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课时作业 28

圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用
——基础巩固类—— )

1.圆 x2+y2=1 和 x2+y2-6y+5=0 的位置关系为( A.外切 B.内切 C.相离 D.内含

解析:方程 x2+y2-6y+5=0 化为 x2+(y-3)2=4,所以两圆的 圆心为 C1(0,0),C2(0,3),半径为 r1=1,r2=2,而 |C1C2|=3=r1+r2.则两圆相外切,故选 A. 答案:A 2.已知点 A,B 分别在两圆 x2+(y-1)2=1 与(x-2)2+(y-5)2 =9 上,则 A,B 两点之间的最短距离为( A.2 5 C.2 5-4 )

B.2 5-2 D.2

解析:两圆心之间的距离为 ?2-0?2+?5-1?2=2 5>4=r1+r2, 所以两圆相离,所以 A、B 两点之间的最短距离为 2 5-4,故选 C. 答案:C 3. 圆 x2+y2-2x-5=0 和圆 x2+y2+2x-4y-4=0 的交点为 A、 B,则线段 AB 的垂直平分线方程为( A.x+y-1=0 C.x-2y+1=0 ) B.2x-y+1=0 D.x-y+1=0

解析: 直线 AB 的方程为 4x-4y+1=0, 因此它的垂直平分线斜 率为-1,过圆心(1,0),方程为 y=-(x-1),即两圆连心线.故选
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A. 答案:A 4.半径为 6 的圆与 x 轴相切,且与圆 x2+(y-3)2=1 内切,则 此圆的方程为( )

A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x± 4)2+(y-6)2=6 C.(x-4)2+(y-6)2=36 D.(x± 4)2+(y-6)2=36 解析:由题意知,半径为 6 的圆与 x 轴相切, 设所求圆的圆心坐标为(a,b),则 b=6, 再由 a2+32=5,可以解得 a=± 4, 故所求圆的方程为(x± 4)2+(y-6)2=36.故选 D. 答案:D 5.一辆货车宽 2 米,要经过一个半径为 10米的半圆形隧道, 则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过( A.2.4 米 B.3 米 C.3.6 米 D.2.0 米 )

解析:以半圆直径所在直线为 x 轴,过圆心且与 x 轴垂直的直线
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为 y 轴,建立如图所示坐标系. 由半圆的半径为 10可知, 半圆所在的圆的方程为 x2+y2=10(y≥0), 由图可知当车恰好在隧道中间行走时车篷可达到最高. 此时 x=1 或 x=-1,代入 x2+y2=10, 得 y=3(负值舍去).故选 B. 答案:B 6.过两圆 x2+y2-x-y-2=0 与 x2+y2+4x-4y-8=0 的交点 和点(3,1)的圆的方程是________. 解析:设所求圆方程为(x2+y2-x-y-2)+λ(x2+y2+4x-4y- 2 13 8)=0(λ≠-1),将(3,1)代入得 λ=-5,故所求圆的方程为 x2+y2- 3 x+y+2=0. 13 答案:x2+y2- 3 x+y+2=0 7.两圆相交于两点 A(1,3)和 B(m,-1),两圆圆心都在直线 x -y+c=0 上,则 m+c 的值为________. 解析:由题意知,线段 AB 的中点在直线 x-y+c=0 上, 4 且 kAB= =-1,即 m=5, 1-m 又点?
?1+m

,1?在该直线上, ? 2 ?

?

1+m 所以 2 -1+c=0,所以 c=-2,所以 m+c=3. 答案:3
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8.已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圆 C2:x2+y2+2x -2my+m2-3=0,则当 m 为何值时, (1)圆 C1 与圆 C2 相切; (2)圆 C1 与圆 C2 内含. 解:对于圆 C1,圆 C2 的方程,经配方后有 圆 C1:(x-m)2+(y+2)2=9, 圆 C2:(x+1)2+(y-m)2=4. (1)①若圆 C1 与圆 C2 外切,则有 ?m+1?2+?-2-m?2=3+2=5. 即 m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 m=2. ②若圆 C1 与圆 C2 内切, 则有 ?m+1?2+?-2-m?2=3-2=1, 即 m2+3m+2=0,解得 m=-1 或 m=-2. 综上所述, 当 m=-1 或 m=-2 或 m=-5 或 m=2 时, 两圆相 切. (2)若圆 C1 与圆 C2 内含,则有 ?m+1?2+?m+2?2<3-2=1. 即 m2+3m+2<0,解得-2<m<-1. 故当-2<m<-1 时,圆 C1 与圆 C2 内含. 9.如图,已知一艘海监船 O 上配有雷达,其监测范围是半径为 25 km 的圆形区域. 一艘外籍轮船从位于海监船正东 40 km 的 A 处出 发,径直驶向位于海监船正北 30 km 的 B 处岛屿,速度为 28 km/h.
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问:这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能,持续时间多长? (要求用坐标法)

解:

如图,以 O 为原点,东西方向为 x 轴建立直角坐标系, 则 A(40,0),B(0,30), 圆 O 方程为 x2+y2=252, x y 直线 AB 方程:40+30=1, 即 3x+4y-120=0, 设 O 到 AB 距离为 d,则 d= |-120| 5 =24<25,

所以外籍轮船能被海监船监测到. 2 252-242 1 设监测时间为 t,则 t= =2(h). 28 答:外籍轮船能被海监船监测到,时间是 0.5 h.
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——能力提升类—— 10 . 已知 M = {(x , y)|x2 + y2≤4} , N = {(x , y)|(x - 1)2 + (y - 1)2≤r2(r>0)},且 M∩N=N,则 r 的取值范围是( A.(0, 2-1) C.(0,2- 2] B.(0,1] D.(0,2] )

解析:因为 M∩N=N,所以两个圆内含或内切,则 2-r≥ 2,得 r∈(0,2- 2],故选 C. 答案:C 11.若圆 x2+y2=4 与圆 x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为 2 3,则 a=________. 解析:由已知,两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为 1 y= a,圆心(0,0)到直线的距离 d= 答案:1 12.已知圆 M 过两点 C(1,-1),D(-1,1),且圆心 M 在 x+y -2=0 上. (1)求圆 M 的方程; (2)设 P 是直线 3x+4y+8=0 上的动点,PA,PB 是圆 M 的两条 切线,A,B 为切点,求四边形 PAMB 面积的最小值. 解:(1)设圆 M 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0). ?1-a? +?-1-b? =r , ? ? 2 2 2 根据题意,得??-1-a? +?1-b? =r , ? ?a+b-2=0,
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?1? ? ? ? a?

1

= 22-? 3?2=1,解得 a=± 1.

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解得 a=b=1,r=2, 故所求圆 M 的方程为(x-1)2+(y-1)2=4. (2)因为四边形 PAMB 的面积 1 1 S=S△PAM+S△PBM=2|AM|· |PA|+2|BM|· |PB|, 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|,所以 S=2|PA|, 而|PA|= |PM|2-|AM|2= |PM|2-4, 即 S=2 |PM|2-4. 因此要求 S 的最小值,只需求|PM|的最小值即可,即在直线 3x +4y+8=0 上找一点 P,使得|PM|的值最小, 所以|PM|min= |3×1+4×1+8| =3, 32+42

所以四边形 PAMB 面积的最小值为 S=2 |PM|2-4=2 32-4=2 5.

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