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(第4讲)一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系关系


高中数学复习专题系列讲座

付淞整理

高中数学复习专题讲座
——二次函数、二次方程及二次不等式的关系 高考要求 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学 数学的重要内容, 具有丰富的内涵和密切的联系, 同时也是研究包含二次曲 线在内的许多内容的工具 高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题 有关 本节主要

是帮助考生理解三者之间的区别及联系,掌握函数、方程及 不等式的思想和方法 重难点归纳 1 二次函数的基本性质 (1)二次函数的三种表示法 y=ax2+bx+c;y=a(x-x1)(x-x2);y=a(x-x0)2+n
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(2)当 a>0,f(x)在区间[p,q]上的最大值 M,最小值 m,令 x0= 若-
b 2a

1 2

(p+q)

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<p,则 f(p)=m,f(q)=M;
b 2a b 2a

若 p≤-

<x0,则 f(-

b 2a

)=m,f(q)=M;
b 2a

若 x0≤- 若-
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<q,则 f(p)=M,f(-
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)=m;

b 2a

≥q,则 f(p)=M,f(q)=m

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2 二次方程 f(x)=ax2+bx+c=0 的实根分布及条件 (1)方程 f(x)=0 的两根中一根比 r 大,另一根比 r 小 ? a·f(r)<0;
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? ? ? b 2 ? 4 ac ? 0 , ? ? b ? r, (2)二次方程 f(x)=0 的两根都大于 r ? ? ? 2a ? ?a ? f (r) ? 0 ?
? ? ? b 2 ? 4 ac ? 0 , ? ? p ? ? b ? q, ? (3)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内有两根 ? ? 2a ? a ? f ( q ) ? 0, ? ? a ? f ( p ) ? 0; ?

(4)二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)· f(q)<0,或 f(p)=0(检验) 或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p,q)内成立
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(5)方程 f(x)=0 两根的一根大于 p,另一根小于 q(p<q) ? ? 3 二次不等式转化策略 (1)二次不等式 f(x)=ax2+bx+c≤0 的解集是 (-∞,α ] )∪[β ,+∞ ) ? a<0 且 f(α )=f(β )=0;
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?a ? f ( p ) ? 0
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?a ? f (q) ? 0

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(2)当 a>0 时,f(α )<f(β ) ? |α + 当 a<0 时,f(α )<f(β ) ? |α +
b 2a

b 2a

|<|β +
b 2a

b 2a

|,

|>|β +

|;

(3)当 a>0 时,二次不等式 f(x)>0 在[p,q]恒成立
b ? p?? ? q, ? b ? b ? ? p, ? p; ?? ? ?? 2a ? ? 2a 或? 或 ? 2a ? f ( p ) ? 0, ? f ( ? b ) ? 0, ? f ( q ) ? 0; ? ? ? 2a ?

(4)f(x)>0 恒成立
? a ? 0, ? a ? b ? 0, ? a ? 0, ? a ? b ? 0 ? ? 或? f ( x ) ? 0 恒成立 ? ? 或? ? ? ? 0 , ? c ? 0; ? ? ? 0, ? c ? 0 .

典型题例示范讲解 例 1 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 和一次函数 g(x)=-bx,其中 a、b、c 满足 a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R) (1)求证 两函数的图象交于不同的两点 A、B; (2)求线段 AB 在 x 轴上的射影 A1B1 的长的取值范围 命题意图 本题主要考查考生对函数中函数与方程思想的运用能力 知识依托 解答本题的闪光点是熟练应用方程的知识来解决问题及数 与形的完美结合 错解分析 由于此题表面上重在“形” ,因而本题难点就是一些考生可 能走入误区,老是想在“形”上找解问题的突破口,而忽略了“数” 技巧与方法 利用方程思想巧妙转化
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(1)证明 由 ?
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? y ? ax 2 ? bx ? c ? y ? ? bx

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消去 y 得 ax2+2bx+c=0
c 3 4

Δ =4b2-4ac=4(-a-c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4[(a+ ) 2 ?
2

c2]

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0 ∴
3 4

c2>0,∴Δ >0,即两函数的图象交于不同的两点
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(2)解 设方程 ax2+bx+c=0 的两根为 x1 和 x2,则 x1+x2=-
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2b a

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,x1x2=

c
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a

|A1B1|2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
? (? 2b a ) ?
2

4c a

?

4 b ? 4 ac
2

a

2

?

4( ? a ? c ) ? 4 ac
2

a

2

c 2 c c 1 2 3 ? 4[( ) ? ? 1] ? 4[( ? ) ? ] a a a 2 4

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0 ∴a>-a-c>c,解得 ∵ f ( ) ? 4 [( ) 2 ?
a
c a c a

∈(-2,-

1 2

)
c a ? ? 1
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c

c

c a

? 1] 的对称轴方程是

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a
1 2

2

∈(-2,-

)时,为减函数
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∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈( 3 , 2 3 )

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例 2 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内, 求 m 的范围 (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求 m 的范围 命题意图 本题重点考查方程的根的分布问题 知识依托 解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所具 有的意义 错解分析 用二次函数的性质对方程的根进行限制时,条件不严谨是解 答本题的难点 技巧与方法 设出二次方程对应的函数,可画出相应的示意图,然后用 函数性质加以限制 解 (1)条件说明抛物线 f(x)=x2+2mx+2m+1 与 x 轴的交点分别在区间(- 1,0)和(1,2)内,画出示意图,得
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? ? ? ? ? ? ?

f f f f

? m ? ? (0 ) ? 2 m ? 1 ? 0, ? ?m ? ( ? 1) ? 2 ? 0 , ? ? ? (1 ) ? 4 m ? 2 ? 0 , ?m ? ? (2) ? 6m ? 5 ? 0 ?m ? ? ?

?

1 2

R, ? ? 1 2 5 6
-1

y
,

o

1

2

x

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∴?

5 6

?m??

1
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2

(2)据抛物线与 x 轴交点落在区间(0,1)内,列不等式组
? f (0 ) ? 0, ? ? f (1 ) ? 0 , ? ? ? ? 0, ?0 ? ? m ? 1 ?
1 ? m ? ? , ? 2 ? 1 ? ? ?m ? ? , 2 ? ?m ? 1 ? 2或 m ? 1 ? ? ?? 1 ? m ? 0.

y

2,

o

1

x

(这里 0<-m<1 是因为对称轴 x=-m 应在区间(0,1)内通过) 例 3 已知对于 x 的所有实数值,二次函数 f(x)=x2-4ax+2a+12(a∈R)的 值都是非负的,求关于 x 的方程
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x a?2

=|a-1|+2 的根的取值范围
3 2

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解 由条件知Δ ≤0,即(-4a)2-4(2a+12)≤0,∴-
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≤a≤2

(1)当-

3 2

≤a<1 时,原方程化为
1 2
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x=-a2+a+6,∵-a2+a+6=-(a- ∴a=- ∴
9 4 3 2

)2+

25
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4

时,xmin=
25
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9 4

,a=

1 2

时,xmax=

25
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4

≤x≤

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4 3 2

(2)当 1≤a≤2 时,x=a2+3a+2=(a+

)2-

1 4
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∴当 a=1 时,xmin=6,当 a=2 时,xmax=12,∴6≤x≤12 综上所述,
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9 4

≤x≤12

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学生巩固练习 1 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值 范围是( ) A (-∞,2 ] B [ -2,2 ] C (-2,2 ] D (-∞,-2)
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2 设二次函数 f(x)=x -x+a(a>0),若 f(m)<0,则 f(m-1)的值为( ) A 正数 B 负数 C 非负数 D 正数、负数和零都有可能 2 2 3 已知二次函数 f(x)=4x -2(p-2)x-2p -p+1,若在区间[-1,1]内 至少存在一个实数 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是_________ 4 二次函数 f(x)的二次项系数为正, 且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2-x),
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2

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若 f(1-2x2)<f(1+2x-x2),则 x 的取值范围是_________ 5 已知实数 t 满足关系式 log a
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t a
3

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? log

y
a

a

3

(a>0 且 a≠1)

(1)令 t=ax,求 y=f(x)的表达式; (2)若 x∈(0,2 ] 时,y 有最小值 8,求 a 和 x 的值
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6 如果二次函数 y=mx +(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原 点的右侧,试求 m 的取值范围
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2

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7 二次函数 f(x)=px2+qx+r 中实数 p、q、r 满足
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p m?2

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?

q m ?1

?

r m

=0,其

中 m>0,求证 (1)pf(

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m m ?1

)<0;
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(2)方程 f(x)=0 在(0,1)内恒有解 8 一个小服装厂生产某种风衣,月销售量 x(件)与售价 P(元/件)之间的 关系为 P=160-2x,生产 x 件的成本 R=500+30x 元 (1)该厂的月产量多大时,月获得的利润不少于 1300 元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元? 参考答案 1 解析 当 a-2=0 即 a=2 时,不等式为-4<0,恒成立 ∴a=2,当 a-2≠0
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时,则 a 满足 ? 答案 C
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?a ? 2 ? 0 ?? ? 0

,解得-2<a<2,所以 a 的范围是-2<a≤2

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2 解析 ∵f(x)=x2-x+a 的对称轴为 x=
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1 2

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,且 f(1)>0,则 f(0)>0,而 f(m)<0,∴

m∈(0,1), ∴m-1<0,∴f(m-1)>0 答案 A
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3 解析 只需 f(1)=-2p2-3p+9>0 或 f(-1)=-2p2+p+1>0 即-3<p<
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3 2

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或-

1 2

<p<1 ∴p∈(-3,
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3 2

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)

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答案 (-3,
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4 解析 由 f(2+x)=f(2-x)知 x=2 为对称轴, 由于距对称轴较近的点的纵 坐标较小, ∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,∴-2<x<0 答案 -2<x<0
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5 解 (1)由 loga
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t a
3

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? log

y
t

a

3

得 logat-3=logty-3logta
log
a

由 t=ax 知 x=logat,代入上式得 x-3= ∴logay=x2-3x+3,即 y=a x (2)令 u=x2-3x+3=(x-
3 2
u
2

y

?

3 x

,?

x
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?3 x ?3

(x≠0)

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)2+

3 4

(x≠0),则 y=au

①若 0<a<1,要使 y=a 有最小值 8, 则 u=(x- 值
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3 2

)2+

3 4

在(0,2 ] 上应有最大值,但 u 在(0,2 ] 上不存在最大

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②若 a>1,要使 y=au 有最小值 8,则 u=(x-
3 2 3 4
3

3 2

)2+

3 4

,x∈(0,2 ] 应有最小值

∴当 x=

时,umin=

,ymin= a 4

3

由 a 4 =8 得 a=16 ∴所求 a=16,x=
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3
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2

6 解 ∵f(0)=1>0 (1)当 m<0 时,二次函数图象与 x 轴有两个交点且分别在 y 轴两侧,符 合题意
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?? ? 0 ? (2)当 m>0 时,则 ? 3 ? m 解得 0<m≤1 ?0 ? ? m

综上所述,m 的取值范围是{m|m≤1 且 m≠0} 7 证明 (1) pf (
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m m ?1

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) ? p[ p (

m m ?1

) ? q(
2

m m ?1

) ? r]

? pm [

pm ( m ? 1)
2

?

q m ?1

?

r m
2

] ? pm [

pm ( m ? 1)
2

?

p m?2

]

? p m[
2

m ( m ? 2 ) ? ( m ? 1) ( m ? 1) ( m ? 2 )
2

]

? pm

2

?1 ( m ? 1) ( m ? 2 )
2

,由于 f(x)是二次函数,故 p≠0,又 m>0,所以,

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pf(

m m ?1

)<0

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(2)由题意,得 f(0)=r,f(1)=p+q+r ①当 p<0 时,由(1)知 f( 若 r>0,则 f(0)>0,又 f(
m m ?1 m m ?1

)<0
m m ?1 p m?2

)<0,所以 f(x)=0 在(0,
p m?2 ? r m
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)内有解;
? r m

若 r≤0,则 f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(- 又 f(
m m ?1

)+r=
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>0,

)<0,所以 f(x)=0 在(
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m m ?1

,1)内有解

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②当 p<0 时同理可证 8 解 (1)设该厂的月获利为 y,依题意得? y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500 由 y≥1300 知-2x2+130x-500≥1300 ∴x2-65x+900≤0,∴(x-20)(x-45)≤0,解得 20≤x≤45 ∴当月产量在 20~45 件之间时,月获利不少于 1300 元
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(2)由(1)知 y=-2x2+130x-500=-2(x-

65 2

)2+1612 5
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∵x 为正整数,∴x=32 或 33 时,y 取得最大值为 1612 元, ∴当月产量为 32 件或 33 件时,可获得最大利润 1612 元 课前后备注
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(第4讲)一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系关系

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