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高考新课标文科数学-第二章函数与导数第11讲


第二章 基本初等函数、导数及其应用

第11讲

变化率与导数、导数的计算

第二章 基本初等函数、导数及其应用

1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 f(x0+Δ x)-f(x0) Δy lim = lim 为函数 y=

f(x)在 x=x0 → Δx→0 Δ x 0 Δx Δx Δy 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x0,即 f′(x0)= lim = lim Δx→0Δ x Δx→0 f(x0+Δ x)-f(x0) . Δx
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(2)导数的几何意义 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)

切线的斜率 (瞬时速度就是位移函数 上点 P(x0,y0)处的_____________
s(t) 对 时 间 t 的 导 数 ) . 相 应 地 , 切 线 方 程 为 y-y0=f′(x0)(x-x0) _____________________________ . (3)函数 f(x)的导函数
f(x+Δ x)-f(x) lim 称函数 f′(x)=Δ _______________________ 为 f(x)的导函数. x→0 Δx

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

2.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)=__________ 0
n-1(n∈Q*) f(x)=xn(n∈Q*) f′(x)=nx _______________

f(x)=sin x f(x)=cos x

f′(x)=cos x -sinx f′(x)=__________
xlna a f′(x)=__________ ex f′(x)=__________ 1 f′(x)=__________ xln a 1 f′(x)=__________ x
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f(x)=ax f(x)=ex
f(x)=logax f(x)=ln x

第二章 基本初等函数、导数及其应用

3.导数的运算法则

f′(x)±g′(x) (1)[f(x)± g(x)]′=________________________ ; f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)[f(x)·g(x)]′=_______________________ ; f′(x)g(x)-f(x)g′(x) f(x) ? 2 ? [ g ( x ) ] (3)? ?′=___________________________________ ?g(x)?
(g(x)≠0).

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[做一做] 1.函数 y=xcos x-sin x 的导数为( B ) A.xsin x C.xcos x B.-xsin x D.-xcos x

解析: y′=x′cos x+x(cos x)′-(sin x)′=cos x-xsin x-cos x=-xsin x.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

2. (2014· 高考江西卷)若曲线 y=e

-x

上点 P 处的切线平行于

(-ln 2,2) . 直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是_____________
解析:设 P(x0,y0),∵y=e x,∴y′=-e x,
- -

∴点 P 处的切线斜率为 k=-e ∴-x0=ln 2,∴x0=-ln 2,

-x

0=-2,

∴y0=eln 2=2,∴点 P 的坐标为(-ln 2,2).

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

1.辨明三个易误点 (1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防 止与乘法公式混淆. (2)求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线 的区别,前者只有一条,而后者包括了前者. (3)曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研 究直线与二次曲线相切时有差别.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

2.导数运算的技巧 (1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其 复合运算的形式,再利用运算法则求导数; (2)对于不具备求导法则结构形式的,要适当恒等变形,转 化为较易求导的结构形式,再求导数.但必须注意变形的 等价性,避免不必要的运算失误.对数函数的真数是根式 或者分式时,可用对数的运算性质将真数转化为有理式或 整式,然后再求解比较方便;当函数表达式含有三角函数 时,可优先考虑利用三角公式进行化简后再求导.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[做一做] 3. (2015· 保定市高三调研)已知曲线 y=ln x 的切线过原点, 则此切线的斜率为( C ) A.e 1 C. e B.-e 1 D.- e

解析:y=ln x 的定义域为(0,+∞),设切点为(x0,y0),则 1 k=f′(x0), ∴切线方程为 y-y0= (x-x0),又切线过点(0,0), x0 1 1 代入切线方程得 x0=e,y0=1,∴k=f′(x0)= = . x0 e
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

1 1 4.函数 y= + 1- x 1+ x

2 (1-x)2 . 的导数为___________

1 1 2 解析:y= + = , 1- x 1+ x 1-x 2 ? ? ∴y′= 1-x ′ ? ? -2(1-x)′ 2 = 2 = 2. (1-x) (1-x)

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

考点一

导数的运算

考点二

导数的几何意义(高频考点)

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

考点一 导数的运算
求下列函数的导数: (1)y=(3x2-4x)(2x+1);(2)y=x2sin x; ln x (3)y=3 e -2 +e;(4)y= 2 . x +1
x x x

[解] (1)∵y=(3x2-4x)(2x+1) =6x3+3x2-8x2-4x=6x3-5x2-4x, ∴y′=18x2-10x-4.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(2)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x. (3)y′=(3xex)′-(2x)′+e′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xexln 3+3xex-2xln 2=(ln 3+1)· (3e)x-2xln 2. (ln x)′(x2+1)-ln x(x2+1)′ (4)y′= (x2+1)2 1 (x2+1)-2xln x x x2+1-2x2ln x = = 2 2 2 2 . (x +1) x(x +1)

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[规律方法]

导数计算的原则和方法:

求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化 简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减 少差错.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

1.求下列函数的导数: cos x (1)y=x e ;(2)y= ;(3)y=exln x. sin x
n x

解:(1)y′=nxn 1ex+xnex=xn 1ex(n+x).
- -

-sin2x-cos2x 1 (2)y′= =- 2 2 . sin x sin x 1 x?1 (3)y′=e ln x+e · =e ?x+ln x? ?. x
x x

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

考点二 导数的几何意义(高频考点)
导数的几何意义是每年高考的必考内容,考查题型既有选 择题也有填空题,也常出现在解答题的第(1)问中,难度偏 小,属中低档题. 高考对导数几何意义的考查主要有以下三个命题角度: (1)已知切点求切线方程; (2)已知切线方程(或斜率)求切点; (3)已知切线方程求参数值.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(1)(2015· 山东青岛模拟)曲线 y=x3-2x 在(1, -1) 处的切线方程为( A ) A.x-y-2=0 C.x+y-2=0 B.x-y+2=0 D.x+y+2=0

(2)(2014· 高考课标全国卷Ⅱ改编)设曲线 y=ax-ln x 在点 (1,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=( D ) A.0 C.2 B.1 D.3

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(3)设 a∈R, 函数 f(x)=ex+a· e x 的导函数是 f′(x), 且 f′(x)


3 是奇函数. 若曲线 y=f(x)的一条切线的斜率是 , 则切点的 2 横坐标为( A ) A.ln 2 ln 2 C. 2 B.-ln 2 ln 2 D.- 2

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[解析] (1)由已知,点(1,-1)在曲线 y=x3-2x 上,所以 切线的斜率为 y′|x=1=(3x2-2)|x=1=1,由直线方程的点斜 式得 x-y-2=0,故选 A.

1 (2)令 f(x)=ax-ln x, 则 f′(x)=a- .由导数的几何意义可得 x 在点(1,0)处的切线的斜率为 f′(1)=a-1.又切线方程为 y =2x,则有 a-1=2,∴a=3.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(3)函数 f(x)=ex+a· e

-x

的导函数是 f′(x)=ex-a· e x.又 f′(x)
- - -

是奇函数,所以 f′(x)=-f′(-x),即 ex-a· e x=-(e x- a· ex),则 ex(1-a)=e x(a-1),所以(e2x+1)(1-a)=0,解


3 得 a=1.所以 f′(x)=e -e .令 e -e = , 解得 ex=2 或 ex 2
x
-x

x

-x

1 =- (舍去,因为 ex>0),所以 x=ln 2. 2

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[规律方法]

(1)求曲线切线方程的步骤:

①求出函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数,即曲线 y=f(x)在 点 P(x0,f(x0))处切线的斜率; ②由点斜式方程求得切线方程为 y-f(x0)=f′(x0)· (x-x0). (2)求曲线的切线方程需注意两点: ①当曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时 导数不存在)时,切线方程为 x=x0; ②当切点坐标不知道时,应首先设出切点坐标,再求解.
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

3 2 1 2.(1)(2015· 广东肇庆模拟 )若曲线 y= x + x- 的 2 2

y=4x-2 某一切线与直线 y=4x+3 平行,则切线方程为_____________.
(2)(2015· 唐山市第一次模拟)曲线 y=aln x(a>0)在 x=1 处的切 8 线与两坐标轴围成的三角形的面积为 4,则 a=________ .
解析:(1)设切点为(x0,y0),切线的斜率 k=y′|x=x0=3x0 +1,3x0+1=4?x0=1. 3 2 1 又 y0= x0+x0- =2,则切点为(1,2),故切线的方程为 y 2 2 -2=4(x-1)?y=4x-2.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

a (2)∵y=aln x, ∴y′= , ∴在 x=1 处的切线的斜率 k=a, x 而 f(1)=aln 1=0,故切点为(1,0), ∴切线方程为 y=a(x-1), 1 ∴ ×a×1=4,∴a=8. 2

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

交汇创新——导数与线性规划的交汇
(2013· 高考江苏卷)抛物线 y=x2 在 x=1 处的切线与 两坐标轴围成的三角形区域为 D( 包含三角形内部与边 界).若点 P(x,y)是区域 D 内的任意一点,则 x+2y 的取 1 [-2, ] 2 值范围是_____________ .

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[解析] 由于 y′=2x,所以抛物线在 x=1 处的切线方程为 y-1=2(x-1),即 y=2x-1.
1 1 画出可行域(如图).设 x+2y=z,则 y=- x+ z,可知当 2 2 1 1 1 直线 y=- x+ z 经过点 A( ,0), 2 2 2

B(0,-1)时,z 分别取到最大值和最小值,此时最大值 zmax 1 1 = ,最小值 zmin=-2,故取值范围是[-2, ]. 2 2
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

[名师点评]

(1)本题以 y=x2 在 x=1 处的切线问题为条件,

利用导数的几何意义求得切线方程,构造出求 x+2y 的取 值范围的可行域,充分体现了导数与线性规划的交汇. (2)利用导函数的特性,在求解有关奇 (偶)函数问题中,发 挥出奇妙的作用. (3)导数还可以与数列、向量、解析几何等交汇.

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第二章 基本初等函数、导数及其应用

(2015· 湖北武汉高三月考)已知曲线 f(x)=xn 1(n∈N*)与直线 x=1 交于点 P,设曲线 y=f(x)在点


P 处的切线与 x 轴交点的横坐标为 xn,则 log 2 015x1+log2 015x2

-1 +…+log2 015x2 014 的值为________ .
解析:f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1,点 P(1,1)处的切线 n 1 方程为 y-1=(n+1)(x-1),令 y=0,得 x=1- = , n+1 n+1 n 即 xn= . n+1
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第二章 基本初等函数、导数及其应用

1 2 3 2 013 2 014 1 ∴x1·x2·…·x2 014= × × ×…× × = . 2 3 4 2 014 2 015 2 015 则 log2 015x1+log2 015x2+…+log2 015x2 014 1 =log2 015(x1·x2·…·x2 014)=log2 015 =-1. 2 015

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