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【新课标人教A版】2014届高考数学(理)总复习限时规范训练:11.2 古典概型


第十一章

第2讲

(时间:45 分钟 分值:100 分) 一、选择题 1. [2013· 德州月考]从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数, 这个两位数 大于 40 的概率为( A. C. 1 5 3 5 ) B. D. 2 5 4 5

答案:B 解析:从 5 个数中任取两数构成的两位数有

20 个,其中大于 40 的数有 4+4=8 个,故 8 2 P= = .故应选 B. 20 5 2. [2013· 海淀模拟]袋中有红、黄、白色球各 1 个,每次任取 1 个,有放回地取三次,则 三次颜色各不相同的概率为( A. C. 1 6 2 9 ) B. 1 3

D. 1

答案:C 解析:每次取球都有 3 种方法,共有 33=27 种不同结果,即 27 个基本事件,记事件 A A3 2 3 为“三次颜色各不相同”,则 P(A)= = . 27 9 3. 一个班级中男、女生人数之比为 3∶2,用分层抽样法从这个班级的学生中抽取 5 人 1 进行问卷调查,已知女生中甲、乙 2 人都被抽到的概率为 ,则总体中的个体数是( 91 A. 35 C. 45 答案:A 解析:设这个班级中共有 5n 个学生,由题意知,女生应该有 2n 个,用分层抽样法从这 个班级的学生中抽取 5 人,女生应该被抽取 2 人,所以女同学中甲、乙都被抽到的概率为 P = 1 1 ,可得 2n· (2n-1)=14×13,解得 n=7,所以总体中的个体数为 35. 2 = C2n 91 4. [2013· 金版原创]在 2012 伦敦奥运会期间,某志愿者小组有 12 名大学生,其中男生 8 名、女生 4 名,从中抽取 3 名学生组成礼宾接待小组,则这 3 名学生恰好是按性别分层抽样 得到的概率为( ) B. 40 D. 50 )

A. C.

C1C2 8 4 C3 12 A1A2 8 4 C3 12

B. D.

C2C1 8 4 3 C12
2 A1A4 8 3 C12

答案:B 解析:从 12 名学生中随机抽取 3 名学生的选法数为 C3 ,若按性别进行分层抽样,则 12 应抽取男生 2 名,女生 1 名,则从男生 8 名、女生 4 名中抽取 3 名学生的选法数为 C2C1, 8 4 因此这 3 名学生恰好是按性别分层抽样得到的概率为
1 C2C4 8 3 . C12

5. [2013· 江西八校联考]甲袋中装有 3 个白球 5 个黑球,乙袋中装有 4 个白球 6 个黑球, 现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中,充分混合后再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋, 则甲袋中白球没有减少的概率为( A. C. 35 44 37 44 ) B. D. 25 44 5 44

答案:A 3 5 15 解析:若先从甲袋中取出的是白球,则满足题意的概率为 P1= × = ;若先从甲袋 8 11 88 5 中取出的是黑球,则满足题意的概率为 P2= ,易知这两种情况不可能同时发生,故所求概 8 15 5 35 率为 P=P1+P2= + = . 88 8 44 6. [2013· 安徽六校联考]连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,向量 a=(m,n)与向 π 量 b=(1,0)的夹角记为 α,则 α∈(0, )的概率为( 4 A. C. 5 18 1 2 B. D. 5 12 7 12 )

答案:B 解析:cos〈a,b〉= π ∵α∈(0, ), 4 ∴ 2 m < <1,∴n<m. 2 m2+n2 m , m2+n2

又满足 n<m 的骰子的点数有(2,1),(3,1),(3,2),?,(6,3),(6,4),(6,5),共 15 个. 15 5 故所求概率为 P= = . 36 12 二、填空题 7. 现有 5 根竹竿,它们的长度(单位:m)分别为:2.5,2.6,2.7,2.8,2.9,若从中一次随机抽

取 2 根竹竿,则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概率为________. 1 答案: 5 解析:从 5 根竹竿中,一次随机抽取 2 根竹竿的方法数为 10(个).而满足它们的长度恰 好相差 0.3 m 的方法数为 2 个,即 2.5 和 2.8,2.6 和 2.9.由古典概型的求法得 P= 2 1 = . 10 5

8. [2013· 南京模拟]从分别写有 0,1,2,3,4 的五张卡片中取出一张卡片,记下数字后放回, 再从中取出一张卡片.则两次取出的卡片上的数字之和恰好等于 4 的概率是________. 1 答案: 5 解析:从 0,1,2,3,4 五张卡片中取出两张卡片的结果有 25 种,数字之和恰好等于 4 的结 1 果有(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),所以数字和恰好等于 4 的概率是 P= . 5 9. [2013· 洛阳调研]为支持西部开发, 需要从 8 名男干部和 2 名女干部中选拔 4 人到某地, 要求男性干部不少于 3 人,则干部配置合理的概率为________. 13 答案: 15 解析:配置合理分为两种情况:一是 4 人中有 3 人为男干部,二是 4 人全部为男干部, C3· 1+C4 13 8 C2 8 则配置合理的概率为 P= = . C4 15 10 三、解答题 10. 摇奖器摇出的一组中奖号码为 8,2,5,3,7,1.兑奖票上的六个数字是从 0,1,2,?,9 这 十个数字中任意选出六个不同数字组成的. 如果兑奖票上的六个数字中至少有五个与摇奖器 摇出的号码相同(不考虑顺序)就可以中奖,求中奖的概率. 答案: 5 42

解析: 由题意可知, 中奖包括兑奖票上的六个数字与摇奖器摇出的中奖号码完全相同和 C6+C5C1 5 6 6 4 与其中的五个数字相同两种情形,故中奖概率 P= = . C6 42 10 11. [2013· 扬州模拟]甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名 教师性别相同的概率; (2)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自 同一学校的概率. 解:(1)甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示;乙校男教师用 D 表示,两 女教师分别用 E、F 表示. 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为: (A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)共 9 种,

从中选出的两名教师性别相同的结果有: 4 (A,D),(B,D),(C,E),(C,F)共 4 种,选出的两名教师性别相同的概率为 P= . 9 (2)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为: (A,B)(A,C)(A,D)(A,E)(A,F)(B,C)(B,D)(B,E)(B,F)(C,D)(C,E)(C,F)(D, E)(D,F)(E,F)共 15 种, 从中选出两名教师来自同一学校的结果有: (A,B)(A,C)(B,C)(D,E)(D,F)(E,F)共 6 种, 6 2 选出的两名教师来自同一学校的概率为 P= = . 15 5 12. [2013· 内蒙古模拟]某公司有一批专业技术人员,对他们的年龄状况和接受教育程度 (学历)进行调查,其结果(人数分布)如下表: 学历 本科 研究生 35 岁以下 80 x 35~50 岁 30 20 50 岁以上 20 y

(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本, 将该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人, 其中 35 岁 以下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的 5 概率为 ,求 x、y 的值. 39 解:(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样 30 m 本,设抽取学历为本科的人数为 m,则 = ,解得 m=3. 50 5 故抽取的样本中学历为研究生的有 2 人,分别记作 S1、S2;学历为本科的有 3 人,分别 记作 B1、B2、B3. 从中任取 2 人的所有基本事件有:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2),(S2, B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3),共 10 个. 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1), (S2,B2),(S2,B3),(S1,S2),共 7 个. 7 ∴从中任取 2 人,至少有 1 人的学历为研究生的概率为 . 10 10 5 (2)依题意得: = ,解得 N=78. N 39 ∴35~50 岁年龄段的专业技术人员被抽取的人数为 78-48-10=20. ∴ 48 20 10 = = . 80+x 50 20+y

∴x=40,y=5.


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