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湖北省黄冈中学2015届高考数学适应性试卷(理科)(6月份)


湖北省黄冈中学 2015 届高考数学适应性试卷(理科) (6 月份)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知复数 z=1﹣ , (其中 i 为虚数单位) ,则| |=() A.1 B. C. 2 D.0

2. (5 分)某校在 2015 届高三第

一次模拟考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩近似 服从正态分布,即 X~N(100,a ) (a>0) ,试卷满分 150 分,统计结果显示数学考试成绩不 及格(低于 90 分)的人数占总人数的 约为() A.400 ,则此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的人数
2

B.500

C.600

D.800

3. (5 分)下列判断中正确的是() A.命题“若 a﹣b=1,则 a +b > ”是真命题 B. “a=b= ”是“ =4”的必要不充分条件
2 2

C. 若非空集合 A,B,C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的子集,则“x∈C”是“x∈A”的充分不必要 条件 D.命题“?x0∈R,x0 +1≤2x0”的否定是“?x∈R,x +1>2x” 4. (5 分) 已知数列{an}的首项为 a1=1, 且满足对任意的 n∈N , 都有 an+1﹣an=2 成立, 则 a2015= () 2014 2015 2015 2016 A.2 ﹣1 B. 2 ﹣1 C. 2 +1 D.2 ﹣1 5. (5 分)公元前 3 世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出:“球的体积(V)与它的直 3 径(D)的立方成正比”,此即 V=kD ,欧几里得未给出 k 的值.17 世纪日本数学家们对求球的 3 体积的方法还不了解,他们将体积公式 V=kD 中的常数 k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地, 3 对于等边圆柱 (轴截面是正方形的圆柱) 、 正方体也可利用公式 V=kD 求体积 (在等边圆柱中, D 表示底面圆的直径;在正方体中,D 表示棱长) .假设运用此体积公式求得球(直径为 a) 、 等边圆柱(底面圆的直径为 a) 、正方体(棱长为 a)的“玉积率”分别为 k1、k2、k3,那么 k1: k2:k3() A. B. :2 C.2:3:2π D. :1
* n 2 2

6. (5 分)已知结论:“在△ ABC 中,各边和它所对角的正弦比相等,即

”,

若把该结论推广到空间, 则有结论:“在三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB 与平面 ACD、 平面 BCD 所成的角为 α、β,则有()”

A. C.

B. D.

7. (5 分)把函数 f(x)=sinx(x∈[0,2π])的图象向右平移 象,则 f(x)与 g(x)的图象所围成的面积为() A.1 B. C.

个单位后得到函数 g(x)的图

D.2

8. (5 分)设不等式组

表示的平面区域为 M,不等式组

表示

的平面区域为 N.在 M 内随机取一个点,这个点在 N 内的概率的最大值为() A. B. C. D.

9. (5 分)如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 B3C3 上有 10 个不 同的点 P1,P2,…P10,记 mi= (i=1,2,…,10) ,则 m1+m2+…+m10 的值为()

A.180

B.
2

C.45

D.

10. (5 分)已知抛物线 C:y =4x,过定点(2,0)作垂直于 x 轴的直线交抛物线于点 M、N, 若 P 为抛物线 C 上不同于 M、N 的任意一点,若直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 k1、k2, 则| A.2 |=() B. 1 C. D.

二、填空题:本大题共 6 个小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14 题) 11. (5 分)二项式(x ﹣
2

) 的展开式中的常数项为.

5

12. (5 分)如图,如果执行程序框图,输入正整数 n=5,m=3,那么输出的 p 等于

13. (5 分)棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则

的最小值为.

14. (5 分)设定义域为 R 的函数,若关于 x 的函数 f(x)= 的函数 y=2f (x)+2bf(x)+1 有 8 个不同的零点,则实数 b 的取值范围是.
2

,若关于 x

选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序 号所在方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) (选修 4-1:几何证明选 讲) 15. (5 分) 如图, 在圆 O 中, 直径 AB 与弦 CD 垂直, 垂足为 E, EF⊥DB, 垂足为 F, 若 AB=6, AE=1,则 DF?DB=.

(选修 4-4:坐标系与参数方程) 16.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 , (α 为参数) ,以原点 O 为极 .设

点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 P 为曲线 C1 上的动点,则点 P 到 C2 上点的距离的最小值为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知 f(x)= T=π. (1)求 f( )的值; sin(π+ωx)sin( ﹣ωx)﹣cos ωx(ω>0)的最小正周期为
2

(2)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若有(2a﹣c)cosB=bcosC,则 求角 B 的大小以及 f(A)的取值范围. 18. (12 分)一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数 ,其中

A 的各位数字中 a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现 0 的概率为 ,ak(k=2,3,4,5)出现 1 的 概率为 ,记 X=a1+a2+a3+a4+a5.当启动仪器一次时, (Ⅰ)求 X=3 的概率; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及 X 的数学期望,并指出当 X 为何值时,其概率最大. 19. (12 分)如图,三角形 ABC 和梯形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB⊥BC,AF⊥AC, AF 2CE,G 是线段 BF 上一点,AB=AF=BC=2.

(Ⅰ)当 GB=GF 时,求证:EG∥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BF﹣A 的余弦值; (Ⅲ)是否存在点 G 满足 BF⊥平面 AEG?并说明理由.

20. (12 分)若数列{xn}满足: 数列{an}为调和数列,且 a1=1, (Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)数列

=d(d 为常数,n∈N*) ,则称{xn}为调和数列.已知 =15.

的前 n 项和为 Sn,是否存在正整数 n,使得 Sn≥2015?若存在,求出 n 的取

值集合;若不存在,请说明理由.

21. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点

为短轴的一个端点,∠OF2B=60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,过右焦点 F2,且斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 D,E 两点,A 为椭 圆的右顶点,直线 AE,AD 分别交直线 x=3 于点 M,N,线段 MN 的中点为 P,记直线 PF2 的斜率为 k′.试问 k?k′是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.

22. (14 分) 定义: 若
ax

在[k, +∞) 上为增函数, 则称 f (x) 为“k 次比增函数”, 其中 k∈N ,

*

已知 f(x)=e . (其中 e=2.71238…) (Ⅰ)若 f(x)是“1 次比增函数”,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a= 时,求函数 g(x)= (Ⅲ)求证: 在[m,m+1](m>0)上的最小值; .

湖北省黄冈中学 2015 届高考数学适应性试卷(理科) (6 月份)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知复数 z=1﹣ , (其中 i 为虚数单位) ,则| |=() A.1 B. C. 2 D.0

考点: 复数求模. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 化简复数为 a+bi 的形式,然后求解复数的模. 解答: 解: , , .

故选:B. 点评: 本题考查复数的模的求法,基本知识的考查. 2. (5 分)某校在 2015 届高三第一次模拟考试中约有 1000 人参加考试,其数学考试成绩近似 服从正态分布,即 X~N(100,a ) (a>0) ,试卷满分 150 分,统计结果显示数学考试成绩不 及格(低于 90 分)的人数占总人数的 约为() A.400 ,则此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的人数
2

B.500

C.600

D.800

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 求出 人数. 解答: 解: 所以 , . , , ,即可求出此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的

所以此次数学考试成绩在 100 分到 110 分之间的人数约为

故选:A. 点评: 本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识,考查运算求 解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 3. (5 分)下列判断中正确的是() A.命题“若 a﹣b=1,则 a +b > ”是真命题 B. “a=b= ”是“ =4”的必要不充分条件
2 2

C. 若非空集合 A,B,C 满足 A∪B=C,且 B 不是 A 的子集,则“x∈C”是“x∈A”的充分不必要 条件

D.命题“?x0∈R,x0 +1≤2x0”的否定是“?x∈R,x +1>2x” 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 利用举反例的方法依次验证即可得出结论. 解答: 解:对于 A 选项中,当 对于 B 选项, “a=b= ”可以得到“ =4”“ 时,不正确; =4”时, 得到 a, b 的值可以很多, 不仅仅只有 . 应

2

2

为充分不必要条件, 对于 C 选项,A∪B=C 说明 C 中有 A,但 A 中并不能包含 C,即 A 是 C 的子集.应为必要不 充分条件. 故选:D 点评: 本题主要考查命题的真假判断,充要条件的判断等知识点,综合性较强,属于基础 题. 4. (5 分) 已知数列{an}的首项为 a1=1, 且满足对任意的 n∈N , 都有 an+1﹣an=2 成立, 则 a2015= () 2014 2015 2015 2016 A.2 ﹣1 B. 2 ﹣1 C. 2 +1 D.2 ﹣1 考点: 数列递推式. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 已知递推关系 an﹣an﹣1=2 n 解答: 解:∵an+1﹣an=2 , n﹣1 ∴an﹣an﹣1=2 , n﹣2 an﹣1﹣an﹣2=2 , …
1 n﹣1 * n

,累加计算即可.

a2﹣a1=2 , n﹣1 n﹣2 n﹣3 n 累加得:an=2 +2 +2 +…+2+1=2 ﹣1, ∴ ,

故选:B. 点评: 本题考查求数列的通项,利用累加法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属 于中档题. 5. (5 分)公元前 3 世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出:“球的体积(V)与它的直 3 径(D)的立方成正比”,此即 V=kD ,欧几里得未给出 k 的值.17 世纪日本数学家们对求球的 3 体积的方法还不了解,他们将体积公式 V=kD 中的常数 k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地, 3 对于等边圆柱 (轴截面是正方形的圆柱) 、 正方体也可利用公式 V=kD 求体积 (在等边圆柱中, D 表示底面圆的直径;在正方体中,D 表示棱长) .假设运用此体积公式求得球(直径为 a) 、 等边圆柱(底面圆的直径为 a) 、正方体(棱长为 a)的“玉积率”分别为 k1、k2、k3,那么 k1: k2:k3() A. B. :2 C.2:3:2π D. :1

考点: 类比推理. 专题: 推理和证明. 分析: 根据球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推力即可得出. 解答: 解:∵ ; ; 故 . ;

点评: 本题考查了球、圆柱、正方体的体积计算公式、类比推力,属于中档题. 6. (5 分)已知结论:“在△ ABC 中,各边和它所对角的正弦比相等,即

”,

若把该结论推广到空间, 则有结论:“在三棱锥 A﹣BCD 中,侧棱 AB 与平面 ACD、 平面 BCD 所成的角为 α、β,则有()” A. C. B. D.

考点: 类比推理. 专题: 推理和证明. 分析: 分别过 B、 A 作平面 ACD、 平面 BCD 的垂线, 垂足分别为 E、 F, 则∠BAE=α, ∠ABF=β, 利用三棱锥的体积计算公式、类比正弦定理即可得出. 解答: 解:分别过 B、A 作平面 ACD、平面 BCD 的垂线,垂足分别为 E、F,则∠BAE=α, ∠ABF=β, , , 又 即 . ,

故选:C. 点评: 本题考查了三棱锥的体积计算公式、类比推力,属于基础题. 7. (5 分)把函数 f(x)=sinx(x∈[0,2π])的图象向右平移 象,则 f(x)与 g(x)的图象所围成的面积为() A.1 B. C.

个单位后得到函数 g(x)的图

D.2

考点: 定积分;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 导数的概念及应用;三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的图象变换关系以及积分的应用即可得到结论. 解答: 解:函数 f(x)=sinx(x∈[0,2π])的图象向右平移 , 令 解得 或 , , 个单位后得到函数





故选:D 点评: 本题主要考查三角函数的图象变换关系以及利用积分求区域面积,考查学生的运算 能力.

8. (5 分)设不等式组

表示的平面区域为 M,不等式组

表示

的平面区域为 N.在 M 内随机取一个点,这个点在 N 内的概率的最大值为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 分别求出区域 M,N 表示区域的面积,路几何概型公式求之. 解答: 解:集合 M 表示圆心为原点,半径为 1 的位于 x 轴上方的半圆,面积为 N 表示集合 M 上位于第一象限内的点作两坐标轴的平行线所围成的矩形的面积,即 ,当 ,即 时,N 的面积最大,最大值为 ,故点 ,而集合

在 N 内的概率的最大值为



故选 B. 点评: 本题考查了几何概型公式的运用;关键是分别求出区域 M,N 的面积,公式解答.

9. (5 分)如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 B3C3 上有 10 个不 同的点 P1,P2,…P10,记 mi= (i=1,2,…,10) ,则 m1+m2+…+m10 的值为()

A.180

B.

C.45

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由题意可得 ,然后把 mi= 转化为 求得答案.

解答: 解:由图可知,∠B2AC3=30°,又∠AC3B3=60°, ∴ 则 ,即 . ,

∴m1+m2+…+m10=18×10=180. 故选:A. 点评: 本题考查平面向量的数量积运算,考查了三角形中边角关系的运用,考查了数学转 化思想方法,是中档题. 10. (5 分)已知抛物线 C:y =4x,过定点(2,0)作垂直于 x 轴的直线交抛物线于点 M、N, 若 P 为抛物线 C 上不同于 M、N 的任意一点,若直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 k1、k2, 则| A.2 |=() B. 1 C. D.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 取特殊点 P(0,0) , | |. , 则 , ,求出 k1、k2,即可求出

解答: 解: 取特殊点 P (0, 0) , 所以 .

故选:C. 点评: 本题考查直线与抛物线的位置关系,考查特殊法的运用,比较基础.

二、填空题:本大题共 6 个小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填 在答题卡对应题号的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. (一)必考题(11-14 题) 11. (5 分)二项式(x ﹣
2

) 的展开式中的常数项为 2.

5

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 在二项展开式的通项公式中,令 x 的幂指数等于 0,求出 r 的值,即可求得展开式中 的常数项. 解答: 解:二项展开式的第 r+1 项为 ,令 10﹣5r=0,求得 r=2,

可得得常数项为

?

=2,

故答案为:2. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属 于基础题. 12. (5 分)如图,如果执行程序框图,输入正整数 n=5,m=3,那么输出的 p 等于

60 考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,可得程序框图实质是计算排列数 算得解. 的值,由 n=5,m=3 即可计

解答: 解:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 p 的值, 可得程序框图实质是计算排列数 当 n=5,m=3 时,可得: . 的值,

故答案为:60. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查.

13. (5 分) 棱锥的三视图如图所示, 且三个三角形均为直角三角形, 则

的最小值为



考点: 基本不等式;由三视图求面积、体积. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由三视图还原几何体由题意可得 x +y =5,进而由基本不等式可得 = ≥ =2? ,由不等式的性质可得.
2 2

的范围,而

解答: 解:由题意可得该三棱锥的直观图如图所示,设高 AB=h, 则由题意可得
2 2

,消去 h 并整理可得 x +y =5,

2

2

∴5=x +y ≥2xy,∴xy≤ , ∴ ∴ ≤ = ,∴ ≥ ≥ =2? = ≥ , ,

当且仅当 x=y= 故答案为:

时取等号,

点评: 本题考查基本不等式求最值,涉及几何体的三视图,由三视图得几何体并推出 xy 的 关系式是解决问题的关键,属中档题.

14. (5 分)设定义域为 R 的函数,若关于 x 的函数 f(x)=
2

,若关于 x

的函数 y=2f (x)+2bf(x)+1 有 8 个不同的零点,则实数 b 的取值范围是﹣ <b



考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将函数进行换元,转化为一元二次函数问题.结合函数 f(x)的图象,从而确定 b 的取值范围. 解答: 解:令 t=f(x) ,则原函数等价为 y=2t +2bt+1.做出函数 f(x)的图象如图, 图象可知当由 0<t<1 时,函数 t=f(x)有四个交点. 2 2 要使关于 x 的函数 y=2f (x)+2bf(x)+1 有 8 个不同的零点,则函数 y=2t +2bt+1 有两个根 t1,t2, 且 0<t1<1,0<t2<1.
2

令 g(t)=2t +2bt+1,则由根的分布可得

2



解得

,即



故实数 b 的取值范围是﹣ <b 故答案为:﹣ <b



点评: 本题考查复合函数零点的个数问题,以及二次函数根的分布,换元是解决问题的关 键,属中档题. 选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序 号所在方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果计分. ) (选修 4-1:几何证明选 讲) 15. (5 分) 如图, 在圆 O 中, 直径 AB 与弦 CD 垂直, 垂足为 E, EF⊥DB, 垂足为 F, 若 AB=6, AE=1,则 DF?DB=5.

考点: 与圆有关的比例线段.

专题: 计算题. 分析: 利用相交弦定理得出 DE= ,再利用△ DFE∽△DEB,得出 DF?DB=DE =5. 解答: 解:∵AB=6,AE=1,∴EB=5,OE=2. 连接 AD,则△ AED∽△DEB,∴ 又△ DFE∽△DEB,∴
2 2

=

,∴DE=



=



即 DF?DB=DE =5. 故答案为:5 点评: 此题考查了垂径定理、直角三角形的性质.此题比较简单,解题的关键是注意数形 结合思想的应用,注意掌握垂径定理与直角三角形中的射影定理. (选修 4-4:坐标系与参数方程) 16.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 , (α 为参数) ,以原点 O 为极 .设 .

点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 P 为曲线 C1 上的动点,则点 P 到 C2 上点的距离的最小值为 3 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 曲线 C1 的普通方程为

,C2 的普通方程为 x+y=8,利用点到直线的距离公

式,将椭圆的参数方程代入直线 x+y=8 中有求解 d,转化为三角函数即可. 解答: 解:∵曲线 C1 的参数方程为 . ∴曲线 C1 的普通方程为 ,C2 的普通方程为 x+y=8, , (α 为参数) ,曲线 C2 的极坐标方程为

利用点到直线的距离公式,将椭圆的参数方程代入直线 x+y=8 中有 , 所以当 时,d 的最小值为 ,此时点 P 的坐标为 .

故答案为:3 . 点评: 本题考查了圆锥曲线与直线,三角函数性质的求解,属于综合和问题,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (12 分)已知 f(x)= T=π. sin(π+ωx)sin( ﹣ωx)﹣cos ωx(ω>0)的最小正周期为
2

(1)求 f(

)的值;

(2)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,若有(2a﹣c)cosB=bcosC,则 求角 B 的大小以及 f(A)的取值范围. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1) 先逆用两角差的正弦公式化成正弦型函数的标准形式, 然后利用周期公式 T=π, 求 ω 的值,进而写出函数 f(x)的解析式;求出 f( )的值.

(2)利用正弦定理,求出 cosB 的值,继而求出 B 的大小,再根据 A 为三角形的内角求出 A 的范围,继而求出 f(A)的范围. 解答: 解: (1)∵f(x)= = = sinωxcosωx﹣cos ωx, sin2ωx﹣ cos2ωx﹣ , )﹣
2

sin(π+ωx)sin(

﹣ωx)﹣cos ωx,

2

=sin(2ωx﹣

∴函数 f(x)的最小正周期为 T=π. 即: =π,得 ω=1, )﹣ , ﹣ ) =sin ﹣ =﹣1,

∴f(x)=sin(2x﹣ ∴f( )=sin(2×

(2)∵(2a﹣c)cosB=bcosC, ∴由正弦定理可得: (2sinA﹣sinC)cosB=sinBsinC, ∴2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA, ∵sinA>0, ∴cosB= , ∵B∈(0,π) , ∴B= , , ) , , ) ,

∵A+C=π﹣B= ∴A∈(0, ∴2A﹣

∈(﹣

∴sin(2A﹣

)∈(﹣ ,1],

∴f(A)=sin(2A﹣



∈(﹣1, ],

点评: 本题考查了三角变换及解三角形,第(1)问解决的关键是化成正弦型函数的标准形 式;第(2)的关键是把求角的范围转化成先求角的余弦值的范围. 18. (12 分)一台仪器每启动一次都随机地出现一个 5 位的二进制数 ,其中

A 的各位数字中 a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现 0 的概率为 ,ak(k=2,3,4,5)出现 1 的 概率为 ,记 X=a1+a2+a3+a4+a5.当启动仪器一次时, (Ⅰ)求 X=3 的概率; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及 X 的数学期望,并指出当 X 为何值时,其概率最大. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)求出 X=3 时的概率即可; (Ⅱ)由题意可知 X 可取的值为 1,2,3,4,5,分别求出相对应的概率,求出分布列,进而 求出其期望值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意得 (Ⅱ)由题意可知 X 可取的值为 1,2,3,4,5, 它们的概率为: , , 故其分布列为 X 1 2 P ∴ , , , , ;

3

4

5

当 X=4 时,其概率最大. 点评: 本题考察了离散型随机变量,考察分布列及方差,是一道中档题. 19. (12 分)如图,三角形 ABC 和梯形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB⊥BC,AF⊥AC, AF 2CE,G 是线段 BF 上一点,AB=AF=BC=2.

(Ⅰ)当 GB=GF 时,求证:EG∥平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 E﹣BF﹣A 的余弦值; (Ⅲ)是否存在点 G 满足 BF⊥平面 AEG?并说明理由.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的判定. 专题: 空间角. 分析: (Ⅰ)当 GB=GF 时,根据线面平行的判定定理即可证明 EG∥平面 ABC; (Ⅱ)建立空间直角坐标系,利用向量法即可求二面角 E﹣BF﹣A 的余弦值; (Ⅲ)根据线面垂直的判定定理和性质定理,建立条件关系即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)取 AB 中点 D,连接 GD,CD, 又 GB=GF,所以 . 因为 ,所以 ,四边形 GDCE 是平行四边形, 所以 CD∥EG 因为 EG?平面 ABC,CD?平面 ABC 所以 EG∥平面 ABC. (Ⅱ)因为平面 ABC⊥平面 ACEF,平面 ABC∩平面 ACEF=AC, 且 AF⊥AC,所以 AF⊥平面 ABC, 所以 AF⊥AB,AF⊥BC 因为 BC⊥AB,所以 BC⊥平面 ABF. 如图,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A﹣xyz. 则 F(0,0,2) ,B(2,0,0) ,C(2,2,0) ,E(2,2,1) , 的一个法向量. 设平面 BEF 的法向量 n=(x,y,z) ,则 ,即 是平面 ABF

令 y=1,则 z=﹣2,x=﹣2,所以 n=(﹣2,1,﹣2) ,所以



由题知二面角 E﹣BF﹣A 为钝角,所以二面角 E﹣BF﹣A 的余弦值为 (Ⅲ)因为 所以不存在点 G 满足 BF⊥平面 AEG.



,所以 BF 与 AE 不垂直,

点评: 本题主要考查线面平行的判定以及空间二面角的计算,建立空间直角坐标系,利用 向量法是解决本题的关键. 20. (12 分)若数列{xn}满足: 数列{an}为调和数列,且 a1=1, (Ⅰ)求数列{an}的通项 an; (Ⅱ)数列 的前 n 项和为 Sn,是否存在正整数 n,使得 Sn≥2015?若存在,求出 n 的取 =d(d 为常数,n∈N*) ,则称{xn}为调和数列.已知 =15.

值集合;若不存在,请说明理由. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (Ⅰ)通过 算即得结论; (Ⅱ)通过写出 Sn、2Sn 的表达式, ;利用错位相减法可得 Sn,结合 Sn 递增,计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)依题意 由 得: ,即 =15, , 为等差数列, 为等差数列,及 =15,利用等差中项的性质计

∴公差

,故



即 (Ⅱ)

; ①
2 n n+1

2Sn=1×2 +…+(n﹣1)2 +n×2 ②﹣①得:

② =(n﹣1)2 ;
n+1

+2,

由于 Sn 是递增的,当 n=7 时,

当 n=8 时,



所以存在正整数 m,使得 Sn≥2015, * ∴n 的取值集合为{n|n≥8,n∈N }. 点评: 本题考查求数列的通项、前 n 项和,注意解题方法的积累,属于中档题.

21. (13 分)已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,点

为短轴的一个端点,∠OF2B=60°. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如图,过右焦点 F2,且斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 C 相交于 D,E 两点,A 为椭 圆的右顶点,直线 AE,AD 分别交直线 x=3 于点 M,N,线段 MN 的中点为 P,记直线 PF2 的斜率为 k′.试问 k?k′是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,请说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由条件可知 ,故求的椭圆方程.
2 2

(2)设过点 F2(1,0)的直线 l 方程为:y=k(x﹣1) .由

可得: (4k +3)x

﹣8k x+4k ﹣12=0.因为直线 AE 的方程为:

2

2

,直线 AD 的方程为:

,从而列式求解即可.

解答: 解: (1)由条件可知

,故所求椭圆方程为

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分) (2)设过点 F2(1,0)的直线 l 方程为:y=k(x﹣1) . 由 可得: (4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0
2 2 2 2

因为点 F2(1,0)在椭圆内,所以直线 l 和椭圆都相交,即△ >0 恒成立. 设点 E(x1,y1) ,D(x2,y2) , 则 .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

因为直线 AE 的方程为:

,直线 AD 的方程为:



令 x=3,可得



,所以点 P 的坐标

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分) 直线 PF2 的斜率为

=

=

=

=

=

, .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

所以 k?k'为定值

点评: 本题主要考查了椭圆方程得求法和直线与圆锥曲线的综合问题, 属于中档题, 在 2015 届高考中属于常考题型

22. (14 分) 定义: 若
ax

在[k, +∞) 上为增函数, 则称 f (x) 为“k 次比增函数”, 其中 k∈N ,

*

已知 f(x)=e . (其中 e=2.71238…) (Ⅰ)若 f(x)是“1 次比增函数”,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a= 时,求函数 g(x)= (Ⅲ)求证: 在[m,m+1](m>0)上的最小值; .

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)由题知 在[1,+∞)上为增函数,则将题目转化成 ax﹣1≥0 在[1,+∞)

上恒成立, (Ⅱ)对参数 m 讨论,利用 g(x)的单调性求解. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x>0 时,g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 故 ,即 ,列式求解即可. 在[1,+∞)上为增函数,

解答: 解: (Ⅰ)由题知



在[1,+∞)上恒成立,故 ax﹣1≥0 在[1,+∞)上恒成立, 在 x∈[1,+∞)上恒成立,而 ,∴a≥1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(4 分)



(Ⅱ)当

时,



,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣(5 分) 当 x>2 时,g'(x)>0,即 g(x)在[2,+∞)上单调递增; 当 x<2 且 x≠0 时,g'(x)<0,即 g(x)在(0,2) , (﹣∞,0)上单调递减; 又 m>0,∴m+1>1 故当 m≥2 时,g(x)在[m,m+1]上单调递增,此时 ;

当 0<m≤1 时,m+1≤2,g(x)在[m,m+1]上单调递减,此时



当 1<m<2 时,g(x)在[m,2]上单调递减,在[2,m+1]单调递增,故此时 ;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(8 分)

综上有:当 0<m≤1 时, 当 1<m<2 时, ;



当 m≥2 时,

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x>0 时,g(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增, 故 故当 x>0 时,总有 ,即 成立, ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(10 分)

取 x=n 时有 ﹣﹣﹣(12 分) 故



,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣(14 分) 点评: 本题主要考查了利用导数求参数的取值范围,和利用导数证明不等式的成立,属于 难度较大题型,在 2015 届高考中常作压轴出现.


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