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数列通项公式的求法


常见数列通项公式的求法 类型一:公式法 1(或定义法)

2.已知数列 {an } 满足 a1 ? ?6 , an?1 ? an ? 3

an?1 ? an ? p( p为常数)
an?1 ? q(q为非零常数) an
例 1. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2

/>(n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项公式。

(n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项公式。

3. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , 例 2.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 ,

an ?1 ?3 an

1 1 2 ? ? an ?1 an ?1 an

(n ? 2) ,求数列 {an } 的通项公式。

(n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项公式。

变式练习: 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an?1 ? an ? 1 ? 0

4.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 3an (n ? N * ) , 求数列 {an } 的通项公式。

(n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项公式。

类型二: (累加法) an ?1 ? an ? f (n) 解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f (n) , 利用累加法(逐差相加法)求解 例:已知数列 {an } 满足 an?1 ? an ? 2n ? 1

4.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 2 ,an ?1 ? an ? ln(1 ? ) , 求数列 {an } 的通项公式。

1 n

(n ? N * ) , a1 ? 1 ,求数列 {an } 的通项公式。
变式练习:

类型三: (叠乘法) an?1 ? f (n)an 1.已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 ?
*

1 , an ?1 ? an ? 2n , 2

解法:把原递推公式转化为 乘法(逐商相乘法)求解

an?1 ? f (n) ,利用累 an

(n ? N ) 求数列 {an } 的通项公式。

例: 在数列 {an } 中, 已知 a1 ? 1 ,nan?1 ? (n ? 1)an ,

(n ? 2) ,求数列 {an } 的通项公式。

2.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,an ? an ?1 ?

1 , n(n ? 1)
变式练习: 1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

(n ? 2) ,求数列 {an } 的通项公式。
2 n an , , a n ?1 ? 3 n ?1

(n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项公式。

n 3. 已 知 数 列 {an } 满 足 an?1 ? an ? 2 ? 3 ?, 1

(n ? N * ) , a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

2.已知 a1 ? 3 , a n ?1 ?

3n ? 1 a n (n ? 1) ,求数列 3n ? 2

1. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 4an ? 2 , 求数列 {an } 的通项公式。

{an } 的通项公式。

3.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 2 ? 5n an (n ? N * ) ,

a1 ? 3 ,求数列 {an } 的通项公式。

2.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , Sn ? n ? 5n ?1
2

求数列 {an } 的通项公式。

类型四:递推公式为 S n 与 an 的关系式 Sn ? f (an ) 解法:这种类型一般利用

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) an ? ? ?S n ? S n?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消 去 S n
(n ? 2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an 进
行求解。 例 1. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 2 且

3.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2 ? 3 ,
n

求数列 {an } 的通项公式。

Sn ? 2an?1 (n ? 2) .求数列 {an } 的通项公式。

类型五:待定系数法 1

类型六:交叉项问题 解法:一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的 等差数列。

an?1 ? pan ? q ( 其 中 p , q 均 为 常 数 ,
( pq( p ? 1) ? 0) )
解法:构造新数列 ?bn ? ;

an?1 ? ? ? p 解出 ? ,可 an ? ?

例:已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

2an an ? 2

得数列 bn ? an ? ? 为等比数列 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1 , 求数列 {an } 的通项公式。

(n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项公式。

变式练习: 1. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 3 , an?1 ? 2an ?1 变式练习: 1.已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , nan?1 ? (n ? 1)an ?

(n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项公式。

n(n ? 1) , (n ? N * ) ,求数列 {an } 的通项公式。
2. 已知首项都为 1 的两个数列 {an } 、 ( bn ? 0 {bn }

n? N* ) ,满足 anbn?1 ? an?1bn ? 2bn?1bn ? 0 ,令

cn ?
2.已知数列 ?an ? 中,a1 ? 1 ,3an?1 ? 4an ? 6 ,求 数列 {an } 的通项公式。

an 求数列 {cn } 的通项公式。 bn

3.已 知 数 列 {an } 的 前 n 项 和 为 Sn , 且

2Sn ? 3 an ? n 2 (n ? N * ) .求数列 {an } 的通项公
式。

类型七: (公式法 2) ( an?1 ? pan ? ? ? p n )p>0; 解法: 将其变形为

2.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 3an ? 4 ? 3n , a1 ? 1 , 求数列 {an } 的通项公式。

a n?1 a n ? ?a ? ? n ? ,即数列 ? nn ? n ?1 p p p ?p ?

为以

? 为公差的等差数列; p

n 例 . 已 知 数 列 {an } 满 足 an?1 ? 2an ? 3 , ? 2

a1 ? 2 ,求数列 {an } 的通项公式。

变式练习: 1.已知数列 {an } 满足 an?1 ? 5an ? 5n?1 , a1 ? 1 , 求数列 {an } 的通项公式


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