nbhkdz.com冰点文库

空间向量复习

时间:2016-02-01


空间向量与立体几何知识点归纳总结 一.知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注: (1)向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 (2)向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图) 。
王新敞
奎屯 新疆

?

?? ? ??? ? ??? ? ? ? OB ? OA ? AB ? a ? b

;

??? ? ??? ? ??? ? ? ? BA ? OA ? OB ? a ? b

;

??? ? ? OP ? ?a(? ? R)
? ? ? ? a 运算律:⑴加法交换律: ? b ? b ? a
? ? ? ? ? ? ⑵加法结合律: (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) ? ? ? ? ? ( a ? b ) ? ? a ? ? b ⑶数乘分配律:
运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 (1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线

? ? 向量或平行向量, a 平行于 b ,记作

? ? a // b 。
?

(2) 共线向量定理: 空间任意两个向量 a 、b ( b ≠ 0 ) ,a // b 存在实数 λ, 使 a =λ b 。 (3)三点共线:A、B、C 三点共线<=> <=>

?

?

?

? ?

?

?

AB ? ? AC

OC ? xOA ? yOB(其中x ? y ? 1)

(4)与

a 共线的单位向量为

?

a a

4. 共面向量 (1)定义:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。 (2)共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线, p 与向量 a, b 共面的条件是存在实数
1

? ?

?

? ?

? ? ? x, y 使 p ? xa ? yb 。
(3)四点共面:若 A、B、C、P 四点共面<=> <=>

AP ? x AB ? y AC

OP ? xOA ? yOB ? zOC(其中x ? y ? z

? ? ? ? p 5. 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b , c 不共面,那么对空间任一向量 , ? ? ? ? 存在一个唯一的有序实数组 x, y , z ,使 p ? xa ? yb ? zc 。
??? ? ? ? ? ? ? 若三向量 a, b , c 不共面,我们把 {a, b , c} 叫做空间的一个基底, a, b , c 叫做基
向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论:设 O, A, B, C 是不共面的四点,则对空间任一点 P ,都存在唯一的三个有序实数

x, y, z ,使 OP ? xOA ? yOB ? zOC 。
6. 空间向量的直角坐标系: (1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

O ? xyz

中,对空间任一点 A ,存在唯一的有序实数组

( x, y, z ) ,使 OA ? xi ? yi ? zk ,有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角坐标
系 O ? xyz 中的坐标,记作 A( x, y, z ) , x 叫横坐标, y 叫纵坐标, z 叫竖坐标。

注:①点 A(x,y,z)关于 x 轴的的对称点为(x,-y,-z),关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z).即 点关于什么轴/平面对称, 什么坐标不变, 其余的分坐标均相反。 ②在 y 轴上的点设为(0,y,0), 在平面 yOz 中的点设为(0,y,z) (2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1 ,这个基底叫单位正交基底,用

2

?? ? {i, j, k} 表示。空间中任一向量 a ? xi ? y j ? zk =(x,y,z)
(3)空间向量的直角坐标运算律: ① 若

? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ,

? a ? (a1, a2 , a3 )



? b ? (b1, b2 , b3 )





? ? a ? (?a1, ?a2 , ?a3 )(? ? R) ,
? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ,

? ? a ? b ? (a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 )



? ? a // b ? a1 ? ?b1, a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ,
? ? a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 。
A( x1 , y1 , z1 ) B( x2 , y2 , z2 )

??? ? AB ? ( x2 ? x1, y2 ? y1, z2 ? z1 ) 。
③定比分点公式:若











一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点 的坐标。

A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , AP ? ? PB,则点 P 坐标为

(

x1 ? ?x2 y1 ? ?y 2 z1 ? ?z 2 , , ) 1? ? 1? ? 1? ?

。 推 导 : 设

P ( x,y,z ) 则

( x ? x1, y ? y1 , z ? z1 ) ? ?( x2 ? x, y2 ? y, z2 ? z) , 显
P( 然,当 P 为 AB 中点时,
角 形 重

x1 ? x2 y1 ? y 2 z1 ? z 2 , , ) 2 2 2 中,A(x 1, y1, z1) , B( x2 , y2 , z2 ),C( x3 , y3 , z3 ) ,三 ④ ?ABC
心 P 坐 标 为

3

P(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 z1 ? z 2 ? z3 , , ) 3 2 2
AP ? ? ( AB AB ? AC AC

⑤Δ ABC 的五心:

内心 P:内切圆的圆心,角平分线的交点。

) (单位向量)

外心 P:外接圆的圆心,中垂线的交点。 垂心 P:高的交点: PA? PB ? 直)

PA ? PB ? PC
0,则垂

PA? PC ? PB ? PC (移项,内积为
1 AP ? ( AB ? AC ) 3

重心 P:中线的交点,三等分点(中位线比) 中心:正三角形的所有心的合一。

(4)模长公式:若 a ? (a1 , a2 , a3 ) , b ? (b1, b2 , b3 ) ,

?

?

? ? ? 2 2 2 则 | a |? a ? a ? a1 ? a2 ? a3

, | b |?

?

? ? 2 2 2 b ? b ? b1 ? b2 ? b3


? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b ? ? (5)夹角公式: cos a ? b ? ? 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 b1 ? b2 ? b3
Δ ABC 中① AB ? AC ? 0 <=>A 为锐角② AB ? AC ? 0 <=>A 为钝角,钝角Δ (6)两点间的距离公式:若 A( x1 , y1 , z1 ) , B( x2 , y2 , z2 ) , 则 | AB |? 或 d A, B ?

??? ?

??? ?2 AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ,
( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ? ( z2 ? z1 ) 2

7. 空间向量的数量积。 ( 1 )空间向量的夹角及其表示:已知两非零向量 a, b ,在空间任取一点 O ,作

? ?

??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? OA ? a, OB ? b ,则 ?AOB 叫做向量 a ? a , b ? ;且规定 与 b 的夹角,记作 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 ?? a, b ?? ? ,显然有 ? a , b ??? b , a ? ;若 ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂
2
4

直,记作: a ? b 。 (2) 向量的模: 设 OA ? a , 则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模, 记作: | a |。

?

?

??? ?

?

??? ?

?

?

? ? ? ? a 积,记作 a ? b ,即 ? b

? ? ? ? (3)向量的数量积:已知向量 a, b ,则 | a | ? | b | ? cos ? a, b ? ? ? ? ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? 。
(4)空间向量数量积的性质:

?

?

? ? 叫做 a , b 的数量

?



? ? ? ? ? a ? e ?| a | cos ? a, e ?

。 ②

? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0

。 ③

? ? ? | a |2 ? a ? a 。
(5)空间向量数量积运算律:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ① (?a) ? b ? ? (a ? b ) ? a ? (?b ) 。② a ? b ? b ? a (交换律) 。

? ? ? ? ? ? ? a ③ ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) 。
④不满足乘法结合率:

(a ? b)c ? a(b ? c)

二.空间向量与立体几何 1.线线平行 ? 两线的方向向量平行 1-1 线面平行 ? 线的方向向量与面的法向量垂直 1-2 面面平行 ? 两面的法向量平行 2 线线垂直(共面与异面) ? 两线的方向向量垂直 2-1 线面垂直 ? 线与面的法向量平行 2-2 面面垂直 ? 两面的法向量垂直 3 线线夹角 ? (共面与异面) [0 ,90 ] ? 两线的方向向量 n1 , n 2 的夹角或夹角的补角,
O O

cos? ? cos ? n1, n2 ?
3-1 线面夹角 ? [0 ,90 ] :求线面夹角的步骤:先求线的方向向量 AP 与面的法向量 n
O O

的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角;再求其余角,即是线面的夹

角.

sin ? ? cos ? AP, n ?
[0O ,180O ] :若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法

3-2 面面夹角(二面角)? 向量

n1 , n 2

的夹角;法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角 .

5

cos? ? ? cos ? n1 , n2 ?
4.点面距离 h :求点 P ? x0 , y0 ? 到平面 ? 的距离: 在平面 ? 上去一点 Q ? x, y ? ,得向

量 PQ ;; 计算平面 ? 的法向量 n ;.

??? ?

h ?

PQ ? n n

4-1 线面距离(线面平行) :转化为点面距离 4-2 面面距离(面面平行) :转化为点面距离 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知向量 a=(3,-2,1),b=(-2,4,0),则 4a+2b 等于( A.(16,0,4) B.(8,-16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4) )

解析:4a+2b=4(3,-2,1)+2(-2,4,0)=(12,-8,4)+(-4,8,0)=(8,0,4). 答案:D 2.若 a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则 a?(b+c)的值为( A.4 B.15 C.7 D.3 解析:∵b+c=(2,2,5), ∴a?(b+c)=4-6+5=3. 答案:D 3.已知 a=(1,0,1),b=(-2,-1,1),c=(3,1,0),则|a-b+2c|等于( A.3 10 C. 10 答案:A → → → 4.已知 A(1,0,0),B(0,-1,1),OA+λ OB与OB(O 为坐标原点)的夹角为 120°,则 λ 的值为( A. 6 6 6 6 ) B.- 6 6 B.2 10 D.5 ) )

C.±

D.± 6

→ → → 解析:用排除法,OA+λ OB=(1,-λ ,λ ),OB=(0,-1,1).

6

→ ?OA+λ 由已知 cos120°= → |OA+λ = 2λ
2

→ → OB??OB → → OB||OB|

1 =- ,∴λ <0.故选 B. 2 2λ +1? 2

答案:B 5.已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值是( A. 5 5 3 5 5 B. 55 5 )

C.

11 D. 5

解析:由已知 b-a=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a|= ?1+t? +?2t-1? +0 = 1 2 9 3 5 5?t- ? + ≥ . 5 5 5
2 2

答案:C 6.若在△ABC 中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则 k 的值 为( ) A. 10 C.2 5 B.- 10 D.± 10

→ 解析:CB=(-6,1,2k), → CA=(-3,2,-k), → → 则CB?CA=(-6)?(-3)+2+2k?(-k) =-2k +20=0, ∴k=± 10. 答案:D 二、填空题(每小题 8 分,共 24 分) 7.如果三点 A(1,5,-2)、B(2,4,1)、C(a,3,b+2)共线,那么 a-b=________. 解析:∵A,B,C 三点共线, → → ∴AB=λ AC,即(1,-1,3)=λ (a-1,-2,b+4) =(λ (a-1),-2λ ,λ (b+4)). 1=λ ?a-1?, ? ? ∴?-1=-2λ , ? ?3=λ ?b+4?,
7
2

1 解得 λ = ,a=3,b=2.∴a-b=1. 2 答案:1 → 8. 若 A(3cosα , 3sinα , 1), B(2cosθ , 2sinθ , 1), 则|AB|的取值范围是__________. 解析:∵A(3cosα ,3sinα ,1),B(2cosθ ,2sinθ ,1), → ∴AB=(2cosθ -3cosα ,2sinθ -3sinα ,0). → 2 2 ∴|AB|= ?2cosθ -3cosα ? +?2sinθ -3sinα ? +0 = 4+9-12?cosθ cosα +sinθ sinα ? = 13-12cos?θ -α ?, → ∴1≤|AB|≤5. 答案:[1,5] 9.已知点 A(λ +1,μ -1,3),B(2λ ,μ ,λ -2μ ),C(λ +3,μ -3,9)三点共线, 则实数 λ +μ =________. λ -1 1 → → → → 解析:AB= (λ - 1,1 ,λ -2μ -3),AC = (2,- 2,6),由AB ∥AC ,得 =- = 2 2 λ -2μ -3 . 6 解得 λ =0,μ =0,∴λ +μ =0. 答案:0 三、解答题(共 40 分) 10.(10 分)已知 a=(1,2,3),b=(1,0,1),c=a-2b,d=ma-b,求实数 m 的值,使 得(1)c⊥d;(2)c∥d. 解:c=a-2b=(-1,2,1),d=ma-b=(m-1,2m,3m-1). (1)∵c⊥d,∴c?d=1-m+4m+3m-1=0. ∴m=0. -1 2 1 1 (2)∵c∥d,∴ = = ,得 m= . m-1 2m 3m-1 2 11.(15 分)已知关于 x 的方程 x -(t-2)x+t +3t+5=0 有两个实数根,a=(- 1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb,当|c|取最小值时,求 t 的值. 解:∵a=(-1,1,3),b=(1,0,-2),c=a+tb, ∴c=(-1+t,1,3-2t). ∴|c|= ?t-1? +1+?3-2t? . ∴|c|= 5t -14t+11.
2 2 2 2 2

8

7 ∴当 t= 时,|c|取最小值. 5

图1 12.(15 分)如图 1,在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60°,对 角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO⊥平面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成角为 60°. (1)求四棱锥 P-ABCD 的体积; (2)若 E 是 PB 的中点,求异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值. 解:(1)∵四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形,且∠DAB=60°, 1 ∴OA=OC= 3,BO=OD=1,S 菱形 ABCD= ?2?2 3=2 3. 2 在 Rt△POB 中,∠PBO=60°, ∴PO=OB?tan60°=tan60°?1= 3. 1 1 ∴VP-ABCD= S 菱形 ABCD?PO= ?2 3? 3=2. 3 3

图2 (2)如图 2,以 O 为原点,OB、OC、OP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则 B(1,0,0),C(0, 3,0), D(-1,0,0),A(0,- 3,0),P(0,0, 3). 1 3 于是 E( ,0, ), 2 2

9

3 → 3 ∴DE=( ,0, ), 2 2 → PA=(0,- 3,- 3). 3 3 → → → → ∴DE?PA=- ? 3=- ,|DE|= 3,|PA|= 6. 2 2 3 - → → 2 DE?PA 2 → → ∴cos〈DE,PA〉= = =- . → → 4 3? 6 |DE||PA| ∴异面直线 DE 与 PA 所成角的余弦值为 13.(12 分)已知 a=(1,2,-2). (1)求与 a 共线的单位向量 b; (2)若 a 与单位向量 c=(0,m,n)垂直,求 m、n 的值. 解:(1)设 b=(λ ,2λ ,-2λ ),而 b 为单位向量, ∴|b|=1,即 λ +4λ +4λ =9λ =1. 1 ∴λ =± .(4 分) 3 2? 2 2? ?1 2 ? 1 ∴b=? , ,- ?或 b=?- ,- , ?.(6 分) 3? 3 3? ?3 3 ? 3
? ?a?c=0, (2)由题意,知? ?|c|=1, ?
2 2 2 2

2 . 4

?1?0+2m-2n=0, ?? 2 ? m +n2+02=1,

2 ? ?m= 2 , 解得? 2 ? ?n= 2 ,

2 ? ?m=- 2 , 或? 2 ? ?n=- 2 .

(12 分)

(二)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.以下四组向量中,互相平行的组数为( ) ①a=(2,2,1),b=(3,-2,-2);②a=(8,4,-6),b=(4,2,-3);③a=(0,- 1,1),b=(0,3,-3);④a=(-3,2,0),b=(4,-3,3) A.1 组 C.3 组 B.2 组 D.4 组

1 解析:∵②中 a=2b,∴a∥b;③中 a=- b, 3
10

∴a∥b;而①④中的向量不平行. 答案:B 2.在以下命题中,不正确的个数为( )

①|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件;②若 a∥b,则存在唯一的实数 λ ,使 a → → → → =λ b;③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若OP=2OA-2OB-OC,则 P,A,B, C 四点共面;④若{a,b,c}为空间的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一组 基底;⑤|(a?b)?c|=|a|?|b|?|c|. A.2 个 C.4 个 B.3 个 D.5 个

解析:①|a|-|b|=|a+b|? a 与 b 共线,但 a 与 b 共线时|a|-|b|=|a+b|不一定成 立,故不正确;②b 需为非零向量,故不正确;③因为 2-2-1≠1,由共面向量定理知,不 正确;④由基底的定义知正确;⑤由向量的数量积的性质知,不正确. 答案:C

3.如图,已知四边形 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,连接 AC,BD,PB,PC,PD,则下 列各组向量中,数量积不一定为零的是( → → → → A.PC与BD B.DA与PB → → → → C.PD与AB D.PA与CD )

11

解析:建立如图所示的空间直角坐标系. 设矩形 ABCD 的长、宽分别为 a,b,PA 长为 c,则 A(0,0,0),B(b,0,0),D(0,a,0), C(b,a,0),P(0,0,c). → → → → → 则PC=(b,a,-c),BD=(-b,a,0),DA=(0,-a,0),PB=(b,0,-c),PD=(0, → → → a,-c),AB=(b,0,0),PA=(0,0,-c),CD=(-b,0,0). → → 2 2 ∴PC?BD=-b +a 不一定为 0. → → → → → → DA?PB=0,PD?AB=0,PA?CD=0. 答案:A 4.已知向量 e1、e2、e3 是两两垂直的单位向量,且 a=3e1+2e2-e3,b=e1+2e3,则

?1 ? (6a)?? b?等于( ?2 ?
A.15 C.-3

) B.3 D.5

?1 ? 2 2 解析:(6a)?? b?=3a?b=3(3e1+2e2-e3)?(e1+2e3)=9|e1| -6|e3| =3. ?2 ?
答案:B

12

5.如图,AB=AC=BD=1,AB? 面 α ,AC⊥面 α ,BD⊥AB,BD 与面 α 成 30°角,则 C、D 间的距离为( A.1 C. 2 ) B.2 D. 3

→ → → → → → → → → → → → → 2 2 2 2 2 解析:|CD| =|CA+AB+BD| =|CA| +|AB| +|BD| +2CA?AB+2AB?BD+2CA?BD=1 → +1+1+0+0+2?1?1?cos120°=2.∴|CD|= 2. 答案:C 6.已知空间三点 O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1)在直线 OA 上有一点 H 满足 BH⊥OA, 则点 H 的坐标为( A.(-2,2,0) ) B.(2,-2,0) 1 ? ?1 D.? ,- ,0? 2 ? ?2

? 1 1 ? C.?- , ,0? ? 2 2 ?

→ → 解析:由OA=(-1,1,0),且点 H 在直线 OA 上,可设 H(-λ ,λ ,0),则BH=(-λ , λ -1,-1). → → 又 BH⊥OA,∴BH?OA=0, 即(-λ ,λ -1,-1)?(-1,1,0)=0, 1 ? 1 1 ? 即 λ +λ -1=0,解得 λ = ,∴H?- , ,0?. 2 ? 2 2 ? 答案:C 7.已知 a=(cosα ,1,sinα ),b=(sinα ,1,cosα ),则向量 a+b 与 a-b 的夹角 是( ) A.90° C.30°
2 2 2

B.60° D.0°
2 2 2

解析:(a+b)?(a-b)=a -b =(cos α +sin α +1)-(sin α +1+cos α )=0,∴

13

(a+b)⊥(a-b). 答案:A 8.已知 E、F 分别是棱长为 1 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 的棱 BC、CC1 的中点,则截面 AEFD1 与底面 ABCD 所成二面角的正弦值是( A. 2 3 5 3 ) B. 2 3 2 3 3

C.

D.

解析:以 D 为坐标原点,以 DA、DC、DD1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系, 1? ?1 ? ? 如图.则 A(1,0,0),E? ,1,0?,F?0,1, ?,D1(0,0,1),l 所以AD1=(-1,0,1),AE= 2 2? ? ? ? → →

?-1,1,0?. ? 2 ? ? ?
设平面 AEFD1 的法向量为 n=(x,y,z), → ? ?n?AD =0, 则? → ?n?AE=0, ?
1

-x+z=0, ? ? ?? x - +y=0. ? ? 2

∴x=2y=z.取 y=1, 则 n=(2,1,2), 而平面 ABCD 的一个法向量为 u=(0,0,1), ∵cos 2 5 〈n,u〉= ,∴sin〈n,u〉= . 3 3 答案:C 9. 在三棱锥 P?ABC 中, △ABC 为等边三角形, PA⊥平面 ABC, 且 PA=AB, 则二面角 A?PB?C 的平面角的正切值为( A. 6 ) B. 3

14

C.

6 6

D.

6 2

解析:设 PA=AB=2,建立如图所示的空间直角坐标系. 则 B(0,2,0),C( 3,1,0),P(0,0,2), → ∴BP=(0,-2,2), → BC=( 3,-1,0). 设 n=(x,y,z)是平面 PBC 的一个法向量. → ? ?BP?n=0, 则? → ? ?BC?n=0, 令 y=1,则 x= 即 n=?

?-2y+2z=0, 即? ? 3x-y=0.
3 ,z=1. 3

? 3 ? ,1,1?. ?3 ?

易知 m=(1,0,0)是平面 PAB 的一个法向量. 3 3 m?n 7 则 cos〈m,n〉= = = . |m||n| 21 7 1? 3 ∴正切值 tan〈m,n〉= 6. 答案:A → → → → → 10. 已知OA=(1,2,3), OB=(2,1,2), OP=(1,1,2), 点 Q 在直线 OP 上运动, 则当QA?QB 取得最小值时,点 Q 的坐标为( )
15

?1 3 1? A.? , , ? ?2 4 3? ?4 4 8? C.? , , ? ?3 3 3?

?1 3 3? B.? , , ? ?2 2 4? ?4 4 7? D.? , , ? ?3 3 3?

→ 解析:∵Q 在 OP 上,∴可设 Q(x,x,2x),则QA=(1-x,2-x,3-2x), → QB=(2-x,1-x,2-2x). → → 2 ∴QA?QB=6x -16x+10, → → 4 ∴x= 时,QA?QB最小, 3

?4 4 8? 这时 Q? , , ?. ?3 3 3?
答案:C 第Ⅱ卷(非选择题,共 70 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.已知 a=(3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取 值范围是__________. 解析:因为 a 与 b 的夹角为钝角,于是-1<cos〈a,b〉<0,因此 a?b<0,且 a 与 b 的夹角不为 π ,即 cos〈a,b〉≠-1. 5? ?5 ? ? 解得 x∈?-2, ?∪? ,+∞?. 3? ?3 ? ? 5? ?5 ? ? 答案:?-2, ?∪? ,+∞? 3? ?3 ? ?

16

1 1 12.如图所示,已知正四面体 A?BCD 中,AE= AB,CF= CD,则直线 DE 和 BF 所成的角 4 4 的余弦值为__________. → → → → → 1 解析:ED=EA+AD= BA+AD, 4 → → → → → 1 BF=BC+CF=BC+ CD, 4 → → → → ED?BF cos〈ED,BF〉= → → |ED|?|BF|



?1→ →? ?→ 1→? ? BA+AD???BC+ CD? 4 ? ?4 ? ? ?1→ →?2 ?→ 1→?2 ? BA+AD? ? ?BC+ CD? 4 ? ?4 ? ?
4 . 13 4 13



答案:

13.已知 a=(x,2,-4),b=(-1,y,3),c=(1,-2,z),且 a,b,c 两两垂直, 则(x,y,z)=__________. -x+2y-12=0, ? ? 解析:由题意知?x-4-4z=0, ? ?-1-2y+3z=0, 解得 x=-64,y=-26,z=-17. 答案:(-64,-26,-17) 14.已知空间四边形 OABC,如图所示,其对角线为 OB、AC,M、N 分别为 OA、BC 的中 → → → → → → → → → 点, 点 G 在线段 MN 上, 且MG=3GN, 现用基向量OA、 OB、 OC表示向量OG, 并设OG=x?OA+y?OB → +z?OC,则 x、y、z 的和为__________.

17

→ → → → → → → → → → → 1 3 1 3? 1→ → 1→? 1 3 3 3 3 解析:OG=OM+MG= OA+ MN= OA+ ?- OA+OC+ CB?= OA- OA+ OC+ OB- OC 2 4 2 4? 2 2 8 4 8 8 2 ? → → → 1 3 3 = OA+ OB+ OC, 8 8 8 1 3 3 ∴x= ,y= ,z= . 8 8 8 7 ∴x+y+z= . 8 7 答案: 8

18


空间向量练习题

空间向量练习题_数学_高中教育_教育专区。1 空间向量在立体几何中的应用 【知识梳理】1、已知直线 l1 , l2 的方向向量分别为 v1 , v2 ,平面 ? , ? 的法...

高考总复习经典讲义 空间向量及其运算

高考总复习经典讲义 空间向量及其运算_高考_高中教育_教育专区。空间向量的基本概念及其运算演练 空间向量及其运算 知识点 1、向量共线、共面的判定. 1、共线: ...

空间向量知识点归纳(期末复习)

空间向量知识点归纳(期末复习)_数学_高中教育_教育专区。空间向量 空间向量期末复习知识要点: 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注:...

空间向量复习

空间向量复习_高二数学_数学_高中教育_教育专区。空间向量与立体几何知识点归纳总结 一.知识要点。 1. 空间向量的概念:在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量。...

空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)

空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。空间向量与...选择运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立 体几何问题. 【复习要求】 1....

2016年空间向量与立体几何单元练习题

2016年空间向量与立体几何单元练习题_数学_高中教育_教育专区。《空间向量与立体几何》习题一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.如图,在平行六面体 ABCD—A1...

高三数学空间向量专题复习附答案

高三数学空间向量专题复习附答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高三数学空间向量专题复习 一、利用向量处理平行与垂直问题 例 1、 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C...

空间向量试题和答案

空间向量试题和答案_数学_高中教育_教育专区。空间向量试题和答案 空间向量及运算一、选择题: 1.在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,设 AC1 ? xAB ? 2 yBC ?...

高三数学复习专题 空间向量与立体几何考点系统复习

高三数学复习专题 空间向量与立体几何考点系统复习_数学_高中教育_教育专区。对空间向量解决立体几何问题进行系统的有效的训练,含详细解答,是新课、复习课、课外辅导的...

2015高三理科第一轮复习《空间向量》

2015 高三理科第一轮复习空间向量》班级:空间基底 共线定理 共面定理 基本定理 方向向量 法向量 加法 减法 数乘 数量积 垂直 平行 模, 坐标 夹角 距离 分类...