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3.2三角函数的图象与周期性


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3.2 三角函数的图象与周期性

【知识网络】1.正弦、余弦、正切函数的图象; 2.正弦、余弦、正切函数的周期性; 3.利用三角函数的图象求三角函数的定义域、值域等. 【典型例题】 [例 1](1)若 sin x ≥ 围是
2 2<

br />
1 ,则 x 的范围是 2

;若 3 + 2 cos x < 0 ,则 x 的范 ; .

; tan x ≤ 1 , x 的范围是 若 则

若 sin x > cos x ,则 x 的范围是 (1) 2kπ +

5π 5π 7π , k ∈ Z , 2 kπ + < x < 2 kπ + ,k ∈Z 6 6 6 6 π π π 3π kπ < x ≤ kπ + , k ∈ Z , kπ + < x < kπ + ,k ∈Z 2 4 4 4 ≤ x ≤ 2 kπ +
(2)函数 f ( x ) =

π

提示:观察三角函数图象

sin x +

1 16 x 2

的定义域为



[ 0, π ] ∪ ( 4, π ]
(2)提示:

2 kπ ≤ x ≤ 2 kπ + π 4 < x ≤ π 或0 ≤ x ≤ π 2 16 x > 0 4 < x < 4
π
4

sin x ≥ 0

(3) .函数 f ( x) = tan ωx(ω > 0) 图象的相邻两支截直线 y = 值是 (A)0

所得线段长为 (

π
4

,则 f ( ) 的
4

π

(B)1

(C)-1

) (D)

(3)A 提示:周期 T =

π π = ,ω = 4 ω 4
x 2

(4) .下列坐标所表示的点不是函数 y = tan( ) 的图象的对称中心的是
6

π





(A) (

π
3

,0)

(B) (

5π ,0) 3

(C) (

4π ,0) 3

(D) (

2π ,0) 3

(4)D提示:令

x π kπ π = , 即x = k π + ( k ∈ Z ) , 函 数 图 象 的 对 称 中 心 为 2 6 2 3

( kπ +

π

3

, 0)(k ∈ Z )

(5)如果函数 y = sin 2 x + a cos 2 x 的图象关于直线 x =

π
8

对称,则

a=



(5)-1 提示:根据 f (0) = f (

π
4

)

[例 2]求下列函数的定义域: (1) f ( x ) =

3 tan x ; (2) f ( x ) = tan(sin x ) ; (3) f ( x) =

解: (1)由 3 tan x ≥ 0 ,得 tan x ≤ ∴ f ( x) 的定义域为 ( kπ (2)∵

3 ,∴ kπ

π
2

< x ≤ kπ +

π

2 cos x 1 . lg(tan x + 1) 3 (k ∈ Z ) .

π

π
2

, kπ + ](k ∈ Z ) . 2 3

π

< 1 ≤ sin x ≤ 1 <

π

2

,∴ x ∈ R .即 f ( x ) 的定义域为 R .

1 2 cos x 1 ≥ 0 cos x ≥ 2 lg(tan x + 1) ≠ 0 tan x ≠ 0 (3)由已知 tan x + 1 > 0 ,得 , tan x > 1 x ≠ kπ + π ( k ∈ Z ) π x ≠ kπ + ( k ∈ Z ) 2 2 π π 2 kπ 3 ≤ x ≤ 2 kπ + 3 ∴ x ≠ kπ (k ∈ Z ) , π π kπ < x < kπ + 4 2
∴原函数的定义域为 (2kπ

π

, 2kπ ) ∪ (2kπ , 2kπ + )(k ∈ Z ) . 4 3

π

[例 3]求下列函数的周期:

sin 2 x + sin(2 x + ) π cos 4 x + sin 4 x 3 ; (1) y = (2) y = 2sin( x ) sin x ; (3) y = . π 2 cos 4 x sin 4 x cos 2 x + cos(2 x + ) 3 π 1 3 3 sin(2 x + ) sin 2 x + sin 2 x + cos 2 x 6 = tan(2 x + π ) , ∴ 周 期 2 2 解: 1) y = ( = π 6 1 3 3 cos(2 x + ) cos 2 x + cos 2 x sin 2 x 6 2 2

π

T=

π

2



(2) y = 2sin x cos x = sin 2 x ,故周期 T = π . (3) y =

1 + tan 4 x π π = tan(4 x + ) ,故周期 T = . 1 tan 4 x 4 4

π π [例 4]已知函数 f(x)= 3sin(2x- )+2sin2(x- ) (x∈R). 6 12 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. π π 解:(1) f(x)= 3sin(2x- )+1-cos2(x- ) 6 12 = 2[ π 1 π 3 sin2(x- )- cos2(x- )]+1 12 2 12 2

π π =2sin[2(x- )- ]+1 12 6 π = 2sin(2x- ) +1 3 2π =π ∴ T= 2 π π π (2)当 f(x)取最大值时, sin(2x- )=1,有 2x- =2kπ+ 3 2 3 即 x=kπ+ 5π 12 (k∈Z) ∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ+ 5π , k∈Z} 12

【课内练习】 1. 给出四个函数,则同时具有以下两个性质的函数是:①最小正周期是 π ;②图象关 于点(
π
6

,0)对称
π π




π π

(A) y = cos( 2 x ) (B) y = sin(2 x + )
6 6

(C) y = sin( + )
6

x 2

(D) y = tan( x + )
3

1.D 2.为了使函数 y = sin ωx(ω > 0) 在区间[0,1]上至少出现 50 次最大值,则 ω 的最小值是 ( (A) 98π ) (B)
197 π 2

(C)

199 π 2

(D) 100π

2.B 提示:49

1 197 2π 197π ×T≤1,即 × ≤1,∴ω≥ . 4 4 ω 2
2

3.函数 f(x)=cos x+sinx 在区间[-
2 1 2 1+ 2 2

π π , ]上的最小值是 4 4

( )

A.

B.-

C.-1

D.

1 2 2

3.提示:f(x)=1-sin x+sinx =-(sinx- 值

2

1 2 5 π ) + ,当 x=- 时, f ( x ) 取最小 2 4 4

n n 4.若 sin x + cos x = 1 ,则 sin x + cos x 的值是( )

( A)1

( B) 1

(C ) ± 1

( ( D ) 不确定 解得

2 2 sin x + cos x = 1 nπ 5.若 f ( n) = sin , ( n ∈ N * ) ,则 f (1) + f (2) + + f (102) = 6 nπ 5. 2+ 3 提示: f ( n) = sin , ( n ∈ N * ) 的周期为 12, 6 π 2π 12π 而 f (1) + f (2) + + f (12) = sin + sin + + sin = 0, 6 6 6 ∴ f (1) + f (2) + + f (96) = 0 ,

4.A 提示:

sin x + cos x = 1

sin x = 0 sin x = 1 或 cos x = 1 cos x = 0



∴原式 = f (97) + f (98) + + f (102) = f (1) + f (2) + + f (6) = 2 + 3 6.函数 y=2sin(3x-
π )的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______. 4

6.

π
3

提示:T=

T 2π ,相邻对称轴间的距离为 3 2


7.若方程 cos 2 x 2 3 sin x cos x = k + 1 有解,则 k ∈ 7.[-3,1] 提示: cos 2 x 2 3 sin x cos x = 2 cos(2 x + 8.求下列函数的定义域: (1) y = (2) y = lg(2 sin x

π
3

) , 2 ≤ k + 1 ≤ 2

2 + log 1 x + tan x ;
2

2 ) 1 2 cos x . 2 + log 1 x ≥ 0 2 0<x≤4 tan x ≥ 0 π 解(1)x 应满足 ,即为 所以所求定义域为 x>0 kπ ≤ x < kπ + 2 (k ∈ z ) π x ≠ kπ + 2 ( k ∈ z ) π 0, ∪ [π ,4] 2 2 sin x 2 > 0 (2)x 应 满 足 , 利 用 单 位 圆 中 的 三 角 函 数 线 可 得 1 2 cos x ≥ 0 π 3π + 2kπ ≤ x ≤ + 2kπ 3 4

所以所求定义域为 2kπ +



π
3

,2kπ +

3π (k ∈ z ) 4

9.求下列函数的值域: (1) y = (3) y =

1 + sin x . 3 + cos x 解:由题意 1 + sin x ≠ 0 , 2sin x(1 sin 2 x ) 1 1 ∴y= = 2 sin x (1 sin x ) = 2(sin x ) 2 + , 1 + sin x 2 2 1 1 ∵ 1 < sin x ≤ 1 ,∴ sin x = 时, ymax = ,但 sin x ≠ 1 ,∴ y > 4 , 2 2 1 ∴原函数的值域为 ( 4, ] . 2
(2)∵ 1 ≤ sin x ≤ 1 ,又∵ ∴函数 y = log 2

2sin x cos 2 x 3 sin x ; (2) y = log 2 ; 1 + sin x 3 + sin x

3 sin x 的值域为 [ 1,1] . 3 + sin x

3 sin x 6 1 3 sin x = 1 ,∴ ≤ ≤ 2 ,∴ 1 ≤ y ≤ 1 , 3 + sin x 3 + sin x 2 3 + sin x

(3)由 y =

1 + sin x 得 sin x y cos x = 3 y 1 ,∴ y 2 + 1 sin( x + ) = 3 y 1 , 3 + cos x 1 y 这里 cos = , sin = . 2 1+ y 1+ y2 3 ∵ | sin( x + ) |≤ 1 ,∴ | 3 y 1|≤ y 2 + 1 .解得 0 ≤ y ≤ , 4 3 ∴原函数的值域为 { y | 0 ≤ y ≤ } . 4
10.是否存在实数 a, 使得函数 y = sin 2 x + a cos x +

5 3 π a 在闭区间 0, 上的最大值是 8 2 2

1?若存在,求出对应的 a 值?若不存在,试说明理由. 解: y = cos x 当0 ≤ x ≤



1 a2 5 1 a + + a 2 4 8 2

2

π
2

时, 0 ≤ cos x ≤ 1 ,令 t = cos x 则 0 ≤ t ≤ 1 ,
2

a2 5 1 1 y = t a + + a , 0 ≤ t ≤1 4 8 2 2

10≤

a a a a2 5 1 ≤ 1, 即0 ≤ a ≤ 2时, 则当t = 即 cos x = 时, y max = + a =1 2 2 2 4 8 2 3 a = 或a = 4(舍) 2

5 1 12 a < 0, 即a < 0时, 则当t = 0即 cos x = 0时, y max = a = 1 a = (舍) 2 8 2 5 5 3 20 a 3 > 1, 即a > 2时, 则当t = 1即 cos x = 1时, y max = a + a = 1 a = (舍 ) 2 8 2 13 3 综上知,存在 a = 符合题意. 2 2

作业本 A组 1.函数 y = sin x 与 y = tan x 的图象在 [ 2π , 2π ] 上交点个数是 A. 3 个 B. 5 个 C. 8 个 D. 9 个 ( )

1.B 提示:由题意 sin x = tan x ,即 cos x tan x = tan x , tan x (cos x 1) = 0 所以 tan x = 0 或 cos x = 1 2.函数 y = log 2 (1 + sin x ) + log 2 (1 sin x) ,当 x ∈

π π 时的值域为( , 6 4



( A) [ 1, 0]

( B) ( 1,0]

(C ) [ 0,1)

( D) [ 0,1]
2
2

2.A 提示: y = log 2 (1 + sin x ) + log 2 (1 sin x) = log 2 (1 sin x) 又 0 ≤ sin x ≤ 3.已知函数 f(x)=2sin ω x( ω >0)在区间[ ( ) A.

π π , ]上的最小值是-2,则 ω 的最小值等于 3 4
C.2 D.3

1 2

2 3

B.

3 2

3.B 提示:将四个选项代入验证 4.设 f ( x ) 是以 5 为周期的函数,且当 x ∈ 则 f (6.5) = _________________ . 4.

5 5 , 时, f ( x ) = x 2 2

3 2

提示: f ( x + 5) = f ( x )

5.已知 y = 2 cos x (0 ≤ x ≤ 2π ) 的图象和 y = 2 的图象围成一个封闭图形,该图形面积 是 5. 4π . 提示:采用割补法

6.求函数 y =2 cos( x +

π π ) cos( x ) + 3 sin 2 x 的值域和最小正周期. 4 4

解:y=2cos(x+

π
4

) cos(x-

π
4

)+ 3 sin2x

π ) 6 π π ∴函数 y=cos(x+ ) cos(x- )+ 3 sin2x 的值域是[-2,2],最小正周期是 π 4 4 π π 7.已知函数 f ( x ) = 2a sin(2 x ) + b 的定义域为 [0, ] ,值域为 [ 5,1] ,求 a和b 的值. 3 2
=cos2x+ 3 sin2x=2sin(2x+ 解:由 0 ≤ x ≤

π
2

,

π
3

≤ 2x

π
3



2π 3 π 得 ≤ sin(2 x ) ≤ 1 3 2 3

(1) 当 a > 0 时,值域为 [ 3a + b, 2a + b] ,由已知得

3a + b = 5 a = 12 6 3 解得 2a + b = 1 b = 23 + 12 3
(2)当 a < 0 时,值域为 [2a + b, 3a + b] ,由已知得

3a + b = 1 a = 6 3 12 解得 2 a + b = 5 b = 19 12 3 8.求函数 y = (sin x 2)(cos x 2) 的最大、最小值. 解:原函数可化为: y = sin x cos x 2(sin x + cos x ) + 4 ,
令 sin x + cos x = t (| t |≤ 则 sin x cos x =
2

2) ,

t 1 t 2 1 1 3 ,∴ y = 2t + 4 = (t 2)2 + . 2 2 2 2 ∵ t = 2 [ 2, 2] , 且 函 数 在 [ 2, 2] 上 为 减 函 数 , ∴ 当 t = 2 时 , 即 π 9 3π x = 2kπ + (k ∈ Z ) 时, ymin = 2 2 ;当 t = 2 时,即 x = 2kπ (k ∈ Z ) 时, 4 2 4 9 ymax = + 2 2 . 2

B组 1.函数 y = sin x 2sin x 的值域为(



( A) [ 3, 1]

( B) [ 1,3]

(C ) [ 0,3]

( D) [ 3, 0]

1.B 提示:讨论 sin x ≥ 0和 sin x < 0 2.函数 f ( x ) = cos(sin x )( x ∈ R ) 的最小正周期 T 及最小值 m 分别为 ( A T = π,m =1 C T = π , m = cos1 2.C 3.设函数 f ( x ) = 2 sin( B T = 2π , m = cos1 D T = 2π , m = 1 )

π

x + ) ,若对 x ∈ R 都有 f ( x1 ) ≤ f ( x) ≤ f ( x2 ) 成立,则 2 5
( 2 C ) 1 D

π

x1 x2 的最小值是
A 4 B

1 2
T 2

3.B 提示:周期 T = 4 , x1 x2 的最小值是 4.函数 y = sin 6 x + cos 6 x 的最小正周期为 4.



π
2

提示: = sin 6 x + cos 6 x = (sin 2 x + cos 2 x )(sin 4 x + cos 4 x sin 2 x cos 2 x ) y

3 3 5 = 1 3sin 2 x cos 2 x = 1 sin 2 2 x = cos 4 x + 4 8 8
5 . 函 数 y = log cos1 cos x 的 定 义 域 是 是 5. ( . ;值域

π
2

+ 2k π ,

π
2

+ 2kπ )(k ∈ z );[0, +∞)

提示:求值域时注意 0 < cos1 < 1

6.求函数 f(x)=

sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x 的最小正周期、最大值和最小值. 2 sin 2 x

2 (sin 2 x + cos 2 x) sin 2 x cos 2 x 解:f(x)= 2 2 sin x cos x

=

1 sin 2 x cos 2 x 1 = (1+sinxcosx) ( sin x cos x) 2 21
1 1 sin2x+ , 4 2 3 1 ,最小值是 4 4

=

所以函数 f(x)的最小正周期是π,最大值是 7.求函数 f ( x ) =

sin 2 x 的定义域和值域. 1 + sin x + cos x

解:由 1 + sin x + cos x = 1 + 2 sin( x +

π

π 2 ) ≠ 0 得 sin( x + ) ≠ 4 4 2

∴x +

5π π 7π + 2 k π 且x + ≠ + 2 kπ 4 4 4 4 3π 即x ≠ π + 2 k π 且x ≠ + 2 kπ 2 ≠

π

所以函数 f ( x ) 的定义域为 x x ≠ π + 2kπ , k ∈ Z ∩ x x ≠

{

}



3π + 2k π , k ∈ Z 2

令 t = sin x + cos x =

2 sin( x + ), t ∈ [ 2, 1) ∪ (1, 2] 4
2

π

则 sin 2 x = 2sin x cos x = t 1

∴y =

t 2 1 = t 1∵ t ∈ [ 2, 1) ∪ (1, 2] 1+ t

∴ t 1 ∈ [ 2 1, 2) ∪ (2, 2 1]
所以所求函数的值域为 [ 2 1, 2) ∪ ( 2, 2 1] 8.若函数 f ( x ) = 2 cos(2 x + ) 对任意实数 x 都有 f ( (1) 求 f ( ) 的值; (2) 求 的最小正值; (3) 当 取最小正值时,求 f ( x )在 解: (1)由 f (

π

π

x) = f ( + x) . 6 6

π

6

π π 上的最大值和最小值. , 6 6

π

∴ f ( ) = 2或2 6
(2)由 2 cos( 的最小正值为

π

x) = f ( + x) 可知 x = 是 f ( x) 图象的一条对称轴 6 6 6

π

π

π

(4) 由(2)知 f ( x ) = 2 cos(2 x + 即

2π π π ), 当 ≤ x ≤ , 3 6 6 π 2π 2π 1 ≤ 2x + ≤ π 时,-1 ≤ cos(2 x + )≤ , 3 3 3 2

2π 3

3

+ ) = ±2得

π
3

+ = k π , 即 = k π

π
3

, k ∈ Z . ∴

所以 f ( x )在

π π 上的最大值为1,最小值为-2 , 6 6


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