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宿迁市2011届高三数学模拟试卷

时间:2014-11-25


宿迁市 2011 届高三数学模拟试卷
数学Ⅰ试题
答题卡相应位置上 . ........ 1.复数 z ? ( i ? 1 ) i 对应复平面内的点位于第 象限. 2011.5

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分不需要写出解答过程,请把答案直接填在

2.抛物线 C : y 2 ? 4x 上

任意一点 P 到直线 l : x ? ?1 的距离都等于 P 到定点 F 的距离,则定点 F 的坐标为 .
频率 组距
0.020 0.015 0.010 0.005 酒精含 20 30 40 50 60 70 80 90 100 (量 mg/100ml)

3.《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾 驶员血液酒精浓度在 20 mg 100ml 到 80 mg 100ml (不含 80 )之间,属于酒后驾车;血液酒精浓度在

80 mg 100ml (含 80 )以上时,属于醉酒驾车.据统
计,2011 年 4 月,江苏省查处酒后驾车和醉酒驾车 共 2000 人,如图,是对这 2000 人酒后驾车血液中 酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图,则 属于醉酒驾车的人数约为 .

第 3 题图 .

4.若命题 “ ?x ? R,(a ? 1) x2 ? 2(a ?1) x ? (a ?1) ? 0 ” 是真命题, 则实数 a 的取值范围是 5. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果为 . 6.投掷两颗质地均匀的骰子,向上的点数和能被 5 整除的概率是 I←1 S ←0 While S <20 I←I+2 S←2I+1 End While Print I End
第 5 题图

.

e2 ? x ln x 的最小值是 7.函数 f ( x) ? (e ? 1) x ? x
2

.

8.已知圆 O 的方程为 x ? y ? 4 ,P 是圆 O 上的一个动点,若对线段 OP 的
2 2

2 2 垂直平分线上任意一点 Q ( x, y ) , 不等式 ax ? 4 y ? 1恒成立, 则实数 a 的

取值范围是

.

?x ? y ? 3 , 2 x ? y? ? ? 9.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 , 则目标函数 z ? 的取值集合为 xy ?2 x ? y ? 3 , ?
10. 已知直角 ?ABC 的三边长 a , b , c 构成等比数列,则 a , b , c 三个数中整数的个数最多有 个 . 11.两个集合 A ? ??3,0,3,6,



, a100? 和 B ? ?15,19,23,27,

, b100? 都各有 100 个元素,且每个集
.

合中的元素从小到大都组成等差数列,则集合 A
1

B 中元素的最大值为

x2 y 2 x2 y 2 12.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与双曲线 2 ? 2 ? 1 的渐近线在第一象限相交于点 P,点 F 为椭 a b a b
圆的右焦点, O 为坐标原点.若 ?OPF ?

?
2

,则椭圆的离心率为

.

13.已知 O 是锐角△ABC 的外心, AB ? 6, AC ? 10 ,若 AO ? x AB ? y AC ,且 2 x ? 10y ? 5 , 则 cos ?BAC ? .
x ?2 a ?1

14.已知 1 ? a ? 6 ,函数 M ( x) ? e

, N ( x) ? e

x ?a ?1

, f ( x) ?

M ( x) ? N ( x) M ( x) ? N ( x) ? 2 2

在区间 ?1,6? 上的最小值为 e ,则实数 a 的取值范围是

.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 若函数 f ( x) ? 3 sin x ? 2 cos (1)当
2

b?c 取最大值时,判断 ?ABC 的形状; a

x , ?ABC 的角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 f ( A) ? 3 . 2

(2)在 ?ABC 中, D 为 BC 边的中点,且 AD ? 13 , AC ? 2 ,求 BC 的长.

16. (本小题满分 14 分) 如图,棱长均为 a 的三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?B1BA ? 60 , E 是棱 B1C1 的中点, D 在 棱 BC 上,且 AD ? BE , AD ? BB1 . (1)求证: AD / / 平面 A1BE ; (2)求三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积; (3)在 BE 上是否存在一点 F ,使得 平面 ADF ? 平面 A1BE .若存在,试确 定点 F 的位置,并加以证明;若不存在, 请说明理由.

A1 B1 E

C1

F A D B C

2

17. (本小题满分 14 分) 如图,一张半径为 4,圆心坐标为 C (?1, 0) 的圆形纸片上有一个定点 F (1, 0) ,折叠纸片, 使圆周上的动点 E 刚好与点 F 重合,设折痕为线段 PQ . (1)设 E ? x0 , y0 ? ,求折痕 PQ 所在的直线方程; (2)求折痕 PQ 长度的最大值和最小值; (3)设 M 是每一条折痕上到 C、F 两点距离之和最小 的点,求 M 点的轨迹方程;

y P E Q CO F x

18. (本小题满分 16 分) 如图,现有一块半径为 2m,圆心角为 90 的扇形铁皮 AOB ,欲从其中裁剪出一块内接五边 形 ONPQR ,使点 P 在 AB 弧上,点 M , N 分别在半径 OA 和 OB 上,四边形 PMON 是矩形, 点 Q 在弧 AP 上, R 点在线段 AM 上,四边形 PQRM 是直角梯形.现有如下两种裁剪方案: 第一种:先使矩形 PMON 的面积达到最大,在此前提下, 再使直角梯形 PQRM 的面积也达到最大; 第二种:直接使五边形 ONPQR 的面积达到最大. 试分别求出两种方案裁剪出的五边形的面积,并指出哪种方案原料 利用率高?

3

19.已知数列 ?an ? 的各项均为整数,其前 6 项依次构成等比数列,且从第 5 项起依次构成等差数 (1)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 a4 ? 4 , a8 ? ?1 . ①求满足 Sn ? 0 的 n 的最小值; ②是否存在正整数 m ,使得 am ? am?2 ? am ? am?2 ? 1成立?若存在,求出 m 的值;若不存在, 说明理由. (2)设数列 ?an ? 的前 6 项均为正整数,公比为 q ,且 q ? (1, 2) ,求 a6 的最小值. 列.

20.已知函数 f ( x) ?

e x ? ae? x e x ? e?x , g ( x) ? , ( x ? R, a ? R ) . 2 2

⑴当 a ? 1 时,试用 f ( x), f ( y), g ( x), g ( y) 表示 f ( x ? y ) ; ⑵研究函数 y ? f ( x) 的图象发现:取不同的 a 值, y ? f ( x) 的图象既可以是中心对称图形,也 可以是轴对称图形(对称轴为垂直于 x 轴的一条直线) ,试求其对称中心的坐标和对称轴方程; ⑶ 设 函 数 h( x ) 的 定 义 域 为 R , 若 对 于 任 意 的 实 数 x, y , 函 数 h( x ) 满 足

h( xy) ? xf ( y) ? yf ( x) ? f ( xy) ? xh( y) ? yh( x) ,且 h( x) ? f ( x) ? 1 .证明: h( x) ? f ( x) .

4

宿迁市 2011 届高三数学模拟试卷 数学加试题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟) 21.[选做题]在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分。 A.(选修 4-1:几何证明选讲) 如图,已知 AD 是△ABC 的外角∠EAC 的平分线,交 BC 的延长线于点 D ,延长 DA 交△ABC 的外接圆于点 F ,连接 FB FC . F E (1)求证: FB =FC ; A (2)若 AB 是△ABC 的外接圆的直径, ?EAC ? 120 , BC ? 6 ,求 AD 的长.

B

C

D

B.(选修 4-2:矩阵与变换) 已知二阶矩阵 M = ?

?1 0 ? ? ?0 2 ?
以及圆 x ? y =4 在 M
2 2
?1

(Ⅰ)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量; (Ⅱ)求逆矩阵 M
?1

的作用下的新曲线的方程.

5

C.(选修 4-4:坐标系与参数方程)
o ? ? x ? ?2 ? t cos 45 , 已知直线 l 的参数方程为: ? (t为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为: ? ? 2cos? , o ? ? y ? t sin 45 ,

若直线 l 与曲线 C 相交于 A , B 两点,求线段 AB 的长.

D.(选修 4-5:不等式选讲) 已知点 M 为 ?ABC 内部一点,它到三角形三边 BC , CA , AB 的距离分别为 d1 , d2 , d3 , 若 ?ABC 的面积为 1,其三边长分别为 a , b , c ,求证:

2a 2b 2c ? ? ? (a ? b ? c) 2 . d1 d 2 d3

6

[必做题]第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分。 22. (本题满分 10 分) 如 图 , 直 三 棱 柱 A1B1C1 ? ABC 中 , C1C ? CB ? CA ? 2 , AC ? CB . D,E 分 别 为 棱

C1C,B1C1 的中点.
(1)求二面角 C ? AD ? B 的平面角的余弦值; (2)求点 E 到平面 ADB 的距离; (3)在线段 BC 上是否存在一点 F ,使得 FB1 ? 平面 ADB ? 若存在,确定其位置;若不存在,说明理由.

A1
C1
E

B1

D

B1

A

C

F

B

7

23.(本小题满分 10 分) 已知等差数列 ?an ? 的首项 a1 =1 ,公差 d=2 ,等比数列 ?bn ? 的首项 b1 ? 1 ,其公比 q ? 2 . 若
0 1 n 0 1 n , Bn ? b1Cn .试比较 An 与 Bn 的大小,并 An ? a1Cn ? a2Cn ???? ? an?1Cn ? b2Cn ???? ? bn?1Cn

证明你的结论.

8

宿迁市 2011 届高三数学模拟试卷答题纸
班级 学号 姓名 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1. 4. 7. 10. 13. 2. 5. 8. 11. 14. 3. 6. 9. 12.

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.

A1
16.

C1 B1 E

F A D B C

9

17.

y P E Q CO F x

18.

10

19.

11

20.

12


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