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2016年河北省保定市高考数学二模试卷(文科)解析版


2016 年河北省保定市高考数学二模试卷(文科)
一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有—项是符合 题目要求的。 2 1. (5 分) (2016?保定二模)已知集合 A={(x,y)|y=x },B={(x,y)|y= },则 A∩B= ( ) A.{0,1} B.{0} C.{(1,1)} D.{(0,0) , (1,1)}

2. (5 分) (2016?保定二模)复数 A.i B.﹣i
2

的共轭复数为(



C.1﹣i D.﹣1+i
2 x

3. (5 分) (2016?保定二模)命题 p:? x<0,x <2 ,则命题¬p 为( A.? x0<0,x0 <2 C.? x0<0,x0 ≥2
2



B.? x0≥0,x0 ≥2 D.? x0≥0,x0 <2 )
2

2

4. (5 分) (2016?保定二模) 执行如图所示的程序框图, 若输入 x=3, 则输出 y 的值为 (

A.5 B.9 C.17 D.33 5. (5 分) (2016?保定二模) 已知函数 f (x) =2xcosx, 则函数 f (x) 的部分图象可以为 (



A.

B.

C.

D.

6. (5 分) (2016?保定二模)已知点 C(1,5) ,点 P(x,y)在不等式组



表示的平面区域内(含边界) ,则|PC|的最小值为(



A. B. ﹣1 C. +1 D . 7. (5 分) (2016?保定二模)已知函数 y=f(x)+x+2 是偶函数,且 f(2)=3,则 f(﹣2)= ( ) A.3 B.5 C.7 D.9 8. (5 分) (2016?保定二模)已知某几何体的三视图如图所示,三个视图都为直角三角形, 其中主视图是以 2 为直角边的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )

A.16π B.9π

C.8π

D.4π ﹣ =1 (a>0, b>0) , 过其右焦点 F 作圆 x +y =a
2 2 2

9. (5 分) (2016?保定二模) 已知双曲线

的两条切线,切点记作 C,D,原点为 O,∠COD= A. B.2 C. D.

,则双曲线的离心率为(



10. (5 分) (2016?保定二模)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, G 为三角形的重心,且满足 a +b +c = ,则角 C=( )

A.30° B.45° C.60° D.120° 11. (5 分) (2016?保定二模) 已知 x0 是函数 y=sinx﹣ +1 的零点, 则﹣x0 满足的方程是 ( A.sinx+x=1 B.sinx﹣x=1 C.x?sinx+x=1 D.x?sinx﹣x=1 ,则(x1 )

12. (5 分) (2016?保定二模)若函数 y1=2sinx1(x1∈[0,2π]) ,函数 y2=x2+ 2 2 ﹣x2) +(y1﹣y2) 的最小值为 ( ) A. B. C.3π
2

D.4π

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 0.3 13. (5 分) (2016?保定二模)已知 a=log0.55,b=log0.53,c=log32,d=2 ,则 a,b,c,d 依小到大排列为 . 14. (5 分) (2016?保定二模)若函数 f(x)= x +bx +x+2 有极值点,则 b 的取值范围 是 . 15. (5 分) (2016?保定二模)函数 y= 是 .
3 2

sinx+3cosx+1(x∈[π,2π])的单调递增区间

16. (5 分) (2016?保定二模) 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn, 对? n∈N 有 2Sn=a

*

+an,

令 bn=

,设{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn 的最小值为



三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分) (2016?保定二模)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b, 2 2 2 c,且 a +b =c +ab,c= . 数列{an}是等比数列,且首项 a1= ,公比为 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=﹣ ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. .

18. (12 分) (2016?保定二模)某校高三年级在一次质量考试中,考生成绩情况如表所示: 成绩 [0,400) [400,480) [480,550) [550,750) 累别 35 19 z 文科考生(人数) 67 x y 9 理科考生(人数) 53 已知用分层抽样的方法 (按文理科分层) 在不低于 550 分的考生中随机抽取 5 名考生进行质 量分析,其中文科考生抽取了 2 名,并且该校不低于 480 分的文科理科考生人数之比为 1: 2,不低于 400 分的文科理科考生人数之比为 2:5. (1)求本次高三参加考试的总人数; (2)如图是其中 6 名学生的数学成绩的茎叶图,现从这 6 名考生中随机抽取 3 名考生进行 座谈,求抽取的考生数学成绩均不低于 135 分的概率.

19. (12 分) (2016?保定二模) 如图: 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∠ABC=90°, AB=BC=AA1=2, 且与 C 在 底面 A1B1C1 上的射影 D1 为 A1C1 边的中点,D 为 AC 的中点. (1)求证:BD 丄平面 ACC1A1; (2)设 CC1、B1C1 的中点分别为 E、M,求 V 的值.

20. (12 分) (2016?保定二模)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,

0)为椭圆的两个焦点,M 为椭圆上任意一点,且|MF1|+|MF2|=4,过椭圆焦点且垂直于长 轴的弦长为 3. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)是否存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个不同交点 A, B,且 丄 ,若存在,请求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.
x

21. (12 分) (2016?保定二模)设函数 f(x)=lnx,g(x)=e . (1)判断函数 y=f(x)﹣ag(x)极值点的个数; (2)求证:当 x∈(0,1)时,g(x)> .

[选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?保定二模)如图所示,E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 上的点(E、 F 不与边的端点重合) .已知线段 BF、BC 的长分别为 m、n、AB、BE 的长是关于 x 的方程 2 x ﹣18x+mn=0 的两个根. (1)证明:A、E、F、C 四点共圆; (2)若 n=2m=8,求四边形 AEFC 外接圆的面积.

[选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (2016?保定二模)已知直线 l 的参数方程为 方程为 1﹣3sin θ=
2

(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标



(1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?保定二模)设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|,x∈R. (1)求证:当 a=﹣2 时,不等式 lnf(x)>1 成立; (2)关于 x 的不等式 f(x)≥a 在 R 上恒成立,求实数 a 最大值.

2016 年河北省保定市高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题本大题共 12 小题,每小题 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有—项是符合 题目要求的。 1. (5 分) (2016?保定二模)已知集合 A={(x,y)|y=x },B={(x,y)|y= ( ) A.{0,1} B.{0} C.{(1,1)} D.{(0,0) , (1,1)} 【分析】通过联立方程组,求解即可. 【解答】解:集合 A={(x,y)|y=x },B={(x,y)|y= 可得 ,解得 或 .
2 2

},则 A∩B=

},

则 A∩B={(0,0) , (1,1)}. 故选:D. 【点评】本题考查曲线与方程的关系,交集的求法,考查计算能力.

2. (5 分) (2016?保定二模)复数

的共轭复数为(



A.i B.﹣i C.1﹣i D.﹣1+i 【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可. 【解答】解:复数 复数 = = =i.

的共轭复数为:﹣i.

故选:B. 【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力. 3. (5 分) (2016?保定二模)命题 p:? x<0,x <2 ,则命题¬p 为( A.? x0<0,x0 <2 C.? x0<0,x0 ≥2
2 2 2 x



B.? x0≥0,x0 ≥2 D.? x0≥0,x0 <2
2

2

【分析】命题 p 是全称命题,其否定应为特称命题,注意量词和不等号的变化. 2 x 【解答】解:命题 p:? x<0,x <2 ,是全称命题,否定时将量词对任意的 x 变为? x,再 将不等号>变为≤即可, 所以命题¬p 为? x0<0,x0 ≥2
2



故选:C. 【点评】本题考查命题的否定,全称命题和特称命题,属基本知识的考查.注意在写命题的 否定时量词的变化,属基础题.

4. (5 分) (2016?保定二模) 执行如图所示的程序框图, 若输入 x=3, 则输出 y 的值为 (



A.5 B.9 C.17 D.33 【分析】据流程图可知,计算出 y,判定是否满足|x﹣y|>7,不满足则循环,直到满足就 跳出循环,最后求出 y 的值即可. 【解答】解:x=3 时,y=5,|3﹣5|<7, x=5 时,y=9,|5﹣9|<7, x=9 时,y=17,|9﹣17|>7,符合, 此时 y=17, 故选:C. 【点评】本题考查算法流程图,直到型循环结构.循环结构有两种形式:当型循环结构和直 到型循环结构,当型循环是先判断后循环,直到型循环是先循环后判断,属于基础题. 5. (5 分) (2016?保定二模) 已知函数 f (x) =2xcosx, 则函数 f (x) 的部分图象可以为 ( )

A.

B.

C.

D. 【分析】判断函数的奇偶性,排除选项,然后利用特殊值判断函数的图象上的点即可得到结 果. 【解答】解:函数 f(x)=2xcosx,f(﹣x)=﹣2xcosx=﹣f(x) ,所以函数是奇函数,排除 B、D, 当 x→0 时,函数 f(x)=2xcosx>0,函数的图象在第一象限,排除 C, 故选 A. 【点评】本题考查函数的图象的判断与应用,这类问题,一般通过函数的定义域,值域,单 调性、奇偶性,以及函数的图象经过的特殊点判断.

6. (5 分) (2016?保定二模)已知点 C(1,5) ,点 P(x,y)在不等式组



表示的平面区域内(含边界) ,则|PC|的最小值为( ) A. B. ﹣1 C. +1 D . 【分析】作出不等式组对应的区域,利用两点间距离公式,即可得到结论. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域, (阴影部分) ,|PC|的几何意义是可行域内的 点与(1,5)的距离, |PC|的最小值为 C 到直线 x+5y=0 的距离. 则|PC|= 故选:A. = ,

【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用两点间距离公式,是解决本题的关键之一. 7. (5 分) (2016?保定二模)已知函数 y=f(x)+x+2 是偶函数,且 f(2)=3,则 f(﹣2)= ( ) A.3 B.5 C.7 D.9 【分析】根据题意,令 h(x)=f(x)+x+2,取出 h(2)=7,进而由函数奇偶性的性质可得 h(2)=h(﹣2) ,由 h(﹣2)=f(﹣2)+(﹣2)+2,计算可得 f(﹣2)的值,即可得答案. 【解答】解:根据题意,令 h(x)=f(x)+x+2,且 h(2)=f(2)+2+2=7, 由题意可得 h(x)为偶函数,则有 h(2)=h(﹣2)=7, 则 h(﹣2)=f(﹣2)+(﹣2)+2=7, 则 f(﹣2)=7; 故选:C. 【点评】本题考查函数奇偶性的性质,解题的关键是充分利用函数的奇偶性的性质. 8. (5 分) (2016?保定二模)已知某几何体的三视图如图所示,三个视图都为直角三角形, 其中主视图是以 2 为直角边的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )

A.16π B.9π C.8π D.4π 【分析】由三视图可知,几何体为三棱锥,且一边垂直于底面,再根据公式求解即可. 【解答】解:由三视图可知,几何体为三棱锥,且一边垂直于底面, 其外接球的直径为 所以 S=4π×( ) =9π, 故选:B. 【点评】 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积, 解决本题的关键是得到该几何体的 形状.
2

=3,

9. (5 分) (2016?保定二模) 已知双曲线



=1 (a>0, b>0) , 过其右焦点 F 作圆 x +y =a

2

2

2

的两条切线,切点记作 C,D,原点为 O,∠COD= A. B.2 C. D.

,则双曲线的离心率为(



【分析】根据题意可先求得∠AOF 利用 OF 和 OA,在直角三角形中求得 的值,进而可求 得双曲线的离心率. 【解答】解:由题知 OC⊥CF,OD⊥DF 且∠COD=90°, ∴∠COF=45°,又 OC=a,OF=c, ∴ ∴e= = =cos45°, .

故选:D. 【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质,考查学生的计算能力,比较基础. 10. (5 分) (2016?保定二模)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, G 为三角形的重心,且满足 a +b +c = ,则角 C=( )

A.30° B.45° C.60° D.120°

【分析】可画出图形,根据向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算便可得出 , , ,这样带入

并进行向量的数乘运算整理可得到

, 从而便可得出



进行整理便可得出 a=b=c,从而便可得出角 C 的大小. 【解答】解:如图, 根据条件, , ; 又 ∴ = ; ; ,





整理得 a=b=c; ∴△ABC 为等边三角形,则:C=60°. 故选 C.

【点评】考查三角形重心的概念及性质,向量加法的平行四边形法则,以及向量数乘的几何 意义及向量的数乘运算,平面向量基本定理.

11. (5 分) (2016?保定二模) 已知 x0 是函数 y=sinx﹣ +1 的零点, 则﹣x0 满足的方程是 ( A.sinx+x=1 B.sinx﹣x=1 C.x?sinx+x=1 D.x?sinx﹣x=1 【分析】根据零点定义得出 x0 为 f(x)=0 的解,将 f(x)=0 变形即可得出答案.



【解答】解:由题意得 f(x0)=sinx0﹣ ∴sinx0= .

+1=0,

∴x0?sinx0+x0=1,即﹣x0?sin(﹣x0)﹣(﹣x0)=1. ∴﹣x0 是方程 x?sinx﹣x=1 的解. 故选:D. 【点评】本题考查了函数零点的定义,属于基础题. 12. (5 分) (2016?保定二模)若函数 y1=2sinx1(x1∈[0,2π]) ,函数 y2=x2+ 2 2 ﹣x2) +(y1﹣y2) 的最小值为 ( ) A. B. C.3π
2

,则(x1

D.4π 上两点间的距离

【分析】要求的式子表示曲线 y1=2sinx1(x1∈[0,2π])与直线 y2=x2+ 的平方,令∵ =1,求得与直线 y2=x2+

平行的切线对应切点的坐标,再利用点到直线
2 2

的距离公式,求得切点直线 y2=x2+ 的距离,从而求得(x1﹣x2) +(y1﹣y2) 的最小值. 【解答】解:∵函数 y1=2sinx1(x1∈[0,2π]) ,函数 y2=x2+ , 2 2 ∴(x1﹣x2) +(y1﹣y2) 表示曲线 y1=2sinx1(x1∈[0,2π]) 与直线 y2=x2+ 上两点间的距离的平方, ∵ 当 x1= =2cosx1,令 =1,求得 cosx1= ,∴x1= , 或 x1= , 的距离为

时,y1=2sinx1 上的点(

)到直线 y2=x2+

=
2


2

故(x1﹣x2) +(y1﹣y2) 的最小值为 当 x1= 时,y1=2sinx1 上的点( ,﹣

=

. )到

直线 y2=x2+

的距离为

=

+



故(x1﹣x2) +(y1﹣y2) 的最小值为 综上可得, (x1﹣x2) +(y1﹣y2) 的最小值为
2 2

2

2



=



故选:B. 【点评】本题主要考查两点间的距离公式的应用,利用导数求切线斜率,点到直线的距离公 式的应用,属于中档题.

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13. (5 分) (2016?保定二模)已知 a=log0.55,b=log0.53,c=log32,d=2 ,则 a,b,c,d 依小到大排列为 a<b<c<d . 【分析】利用对数函数的性质与指数函数的性质可分析得到 a,b,c,d 与 0 与 1 的大小关 系,从而可得答案. 0.3 0 【解答】解:∵a=log0.55<b=log0.53<log0.51=0,0<c=log32<1,d=2 >2 =1, ∴a<b<c<d. 故答案为:a<b<c<d. 【点评】本题考查对数值大小的比较,掌握对数函数的性质与指数函数的性质是关键,属于 基础题.
3 2 0.3

14. (5 分) (2016?保定二模) 若函数 f (x) = x +bx +x+2 有极值点, 则 b 的取值范围是 (﹣ ∞,﹣1)∪(1,+∞) . 【分析】先求函数的导数,利用函数 f(x)有极值点,则 f′(x)=0 有解,由判别式大于 0, 可得 b 的取值范围. 【解答】解:f(x)= x +bx +x+2, f′(x)=x +2bx+1, 函数有极值点, ∴x +2bx+1=0,△>0, 2 即 4b ﹣4>0,解得:b>1 或 b<﹣1, 故答案为: (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) . 【点评】本题考查导数研究函数的极值,考查极值存在的条件,一元二次方程根的问题,属 于中档题. 15. (5 分) (2016?保定二模)函数 y= [ .2π] . sinx+3cosx+1(x∈[π,2π])的单调递增区间是
2 2 3 2

【分析】由辅助角公式化简三角函数,得到递增区间,结合 x 的范围,得到结果. 【解答】解:∵y= sinx+3cosx+1(x∈[π,2π]) , =2 ﹣ ∴﹣ sin(x+ +2kπ≤x+ )+1, ≤2kπ+ , ,

+2kπ≤x≤2kπ+

∵x∈[π,2π], ∴单调增区间是[ ,2π].

【点评】本题考查三角函数的化简.

16. (5 分) (2016?保定二模) 已知正项数列{an}的前 n 项和为 Sn, 对? n∈N 有 2Sn=a

*

+an,

令 bn=

,设{bn}的前 n 项和为 Tn,则 Tn 的最小值为 1﹣



【分析】由已知数列递推式可得数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,求得数列{an} 的通项公式后代入 bn= 【解答】解:由 2Sn= 两式作差得 ∴an+1+an=(an+1+an) (an+1﹣an) , 则(an+1+an) (an+1﹣an﹣1)=0, ∵an>0,∴an+1﹣an=1. 又由 2Sn= +an,得 ,解得 a1=1. +an,得 , ,得到 ,作和后可得 Tn 的最小值. ,

∴数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, 则 an=1+1×(n﹣1)=n. bn= 则 Tn= ∴当 n=1 时,Tn 的最小值为 1﹣ 故答案为:1﹣ . . = ,

=



【点评】本题考查数列递推式,考查了等差关系的确定,训练了裂项相消法求数列的和,是 中档题. 三、解答题(共 5 小题,满分 60 分) 17. (12 分) (2016?保定二模)已知△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b, 2 2 2 c,且 a +b =c +ab,c= . 数列{an}是等比数列,且首项 a1= ,公比为 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=﹣ ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. .

【分析】 (1)通过余弦定理和正弦定理,进而可知数列{an}是首项为 、公比为 的等比数 列,进而计算可得结论;

(2)通过(1)可知 bn=n?2 ,进而利用错位相减法计算即得结论. 2 2 2 【解答】解: (1)∵a +b =c +ab, ∴cosC= = ,

n

又 C 为三角形的内角, ∴C= ∵ , = = ,

∴q= , ∵首项 a1= , ∴an= ;

(2)bn=﹣
2

=n?2 ,
3 n

n

∴Sn=1×2+2×2 +3×2 +…+n?2 , 2 3 4 n n+1 ∴2Sn=1×2 +2×2 +3×2 +…+(n﹣1)?2 +n?2 , 2 3 4 n n+1 ∴﹣Sn=2+2 +2 +2 +…+?2 ﹣n?2 , n+1 整理得 Sn=(n﹣1)2 +2, n+1 ∴Sn=(n﹣1)2 +2. 【点评】本题考查数列的通项及前 n 项和,考查错位相减法,注意解题方法的积累,属于中 档题. 18. (12 分) (2016?保定二模)某校高三年级在一次质量考试中,考生成绩情况如表所示: 成绩 [0,400) [400,480) [480,550) [550,750) 累别 35 19 z 文科考生(人数) 67 x y 9 理科考生(人数) 53 已知用分层抽样的方法 (按文理科分层) 在不低于 550 分的考生中随机抽取 5 名考生进行质 量分析,其中文科考生抽取了 2 名,并且该校不低于 480 分的文科理科考生人数之比为 1: 2,不低于 400 分的文科理科考生人数之比为 2:5. (1)求本次高三参加考试的总人数; (2)如图是其中 6 名学生的数学成绩的茎叶图,现从这 6 名考生中随机抽取 3 名考生进行 座谈,求抽取的考生数学成绩均不低于 135 分的概率.

【分析】 (1)由分层抽样可得 x,y,z 的方程,解方程可得 x,y,z 值,即可求出次高三参 加考试的总人数 (2)列举法可得总的基本事件共 20 种,符合条件的共 4 种,由古典概型的概率公式计算可 得. 【解答】解: (1)依题意 = = , = ,∴z=6,

解得 x=100,y=41

所以本次高三参加考试的总人数为 330 人 (2)在这 6 名考生中随机抽取 3 名考生包含的基本事件为: (121,130,135) , (121,130,138) , (121,130,142) , (121,130,144) , (121,135, 138) , (121,135,142) , (121,135,144) , (121,138,142) , (121,138,144) , (121,142, 144) , (130,135,138) , (130,135,142) , (130,135,144) , (130,138,142) , (130, 138,144) , (130,142,144) , (135,138,142) , (135,138,144) , (135,142,144) , (138,142, 144)共 20 个, 其中“抽取的考生成绩均不低于 13(5 分)”包含的基本事件有 4 个, 其概率为 =

【点评】本题考查古典概型及其概率公式,涉及茎叶图和分层抽样,属基础题. 19. (12 分) (2016?保定二模) 如图: 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∠ABC=90°, AB=BC=AA1=2, 且与 C 在 底面 A1B1C1 上的射影 D1 为 A1C1 边的中点,D 为 AC 的中点. (1)求证:BD 丄平面 ACC1A1; (2)设 CC1、B1C1 的中点分别为 E、M,求 V 的值.

【分析】 (1) 证明 B1D1⊥平面 ACC1A1, B1D1 平行且等于 BD, 即可证明 BD 丄平面 ACC1A1; (2)利用等体积转换求 V 的值.

【解答】 (1)证明:∵点 C 在底面 A1B1C1 上的射影 D1, ∴CD1⊥平面 A1B1C1, ∴B1D1⊥CD1,…(2 分) ∵∠ABC=90°,∠A1B1C1=90°,AB=BC,∴B1D1⊥A1C1, ∴B1D1⊥平面 ACC1A1,…(4 分) 连接 DD1,B1D1, ∵DD1 平行且等于 BB1,

∴四边形 BB1D1D 为平行四边形, ∴B1D1 平行且等于 BD, ∴BD 丄平面 ACC1A1;…(6 分) (2)解:取 D1C1 的中点 N,∴MN⊥D1C1,…(7 分) 又 MN⊥CD1,∴MN⊥平面 CD1E…(8 分) ∴V = = = …(12 分)

【点评】 本题考查线面垂直的证明, 考查三棱锥体积的计算, 考查学生分析解决问题的能力, 正确转换是关键.

20. (12 分) (2016?保定二模)已知椭圆 E:

+

=1(a>b>0) ,F1(﹣c,0) ,F2(c,

0)为椭圆的两个焦点,M 为椭圆上任意一点,且|MF1|+|MF2|=4,过椭圆焦点且垂直于长 轴的弦长为 3. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)是否存在以原点为圆心的圆,使该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个不同交点 A, B,且 丄 ,若存在,请求出该圆的方程;若不存在,请说明理由.

【分析】 (1)由已知求得 a,再由椭圆通径长得到关于 a,b 的方程,联立求得 b,则椭圆方 程可求; (2)当圆的切线 AB 的斜率不存在时,设 A(x1,y1) ,则 B(x1,﹣y1) ,由 丄 ,得

到 x1,y1 的关系,代入椭圆方程求得圆的半径,得到圆的方程;当圆的切线 AB 的斜率存 在时,设其方程为 y=kx+m,由圆心到直线的距离等于圆的半径得到 k 与 m 的关系,再联立 直线方程与椭圆方程,利用 丄 得到关于 k,m 的另一方程,两式结合求得圆的半径, .

得到圆的方程,最后说明存在以原点为圆心的圆满足题设条件,圆的方程为 【解答】解: (1)由题知|MF1|+|MF2|=4,得 a=2,…(2 分) 又由 ,得 .…(4 分)

∴椭圆 E 的方程为

;…(5 分)

(2)假设存在以原点为圆心,r 为半径的圆. 当圆的切线 AB 的斜率不存在时,设 A(x1,y1) ,则 B(x1,﹣y1) , ∵ 丄 ,∴ ,即 ,

∴ 此时

,代入

,得

. .…(7 分)

,圆的方程为

当圆的切线 AB 的斜率存在时,设其方程为 y=kx+m, 则 , ,①…(8 分)



,整理得(3+4k )x +8kmx+4(m ﹣3)=0,

2

2

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ,

又∵ 即



,∴x1x2+y1y2=0, ,…(10 分)

即 4(1+k ) (m ﹣3)﹣8k m +4k m +3m =0,化简得 由①②求得 ∴所求圆的方程为 .由于 . ,即△>0.

2

2

2

2

2

2

2

,②

综上,存在以原点为圆心的圆满足题设条件,圆的方程为

.…(12 分)

【点评】本题考查椭圆的简单性质,考查了直线与圆、圆与椭圆位置关系的应用,考查推理 论证能力与计算能力,体现了分类讨论的数学思想方法,是中档题. 21. (12 分) (2016?保定二模)设函数 f(x)=lnx,g(x)=e . (1)判断函数 y=f(x)﹣ag(x)极值点的个数; (2)求证:当 x∈(0,1)时,g(x)>
x x



【分析】 (1)构造辅助函数 h(x)=lnx﹣ae ,求导,当 a≤0 和 a>0,h′(x)的符号,根 据极值的定义即可判断 y=f(x)﹣ag(x)极值点的个数; x x 3 (2)由题意可知,将不等式转化成 2e ﹣e x >2 构造辅助函数,求导,由 x∈(0,1)时 x ﹣e <0,x+1>0;根据二次函数性质,判断函数 k(x)的单调区间,求得函数的最大值, 即可证明 2e ﹣e x >2,可得 g(x)>
x x 3



【解答】解: (1)令 h(x)=lnx﹣ae , h′(x)= ﹣ae , 当 a≤0 时,h′(x)= ﹣ae >0,此时函数无极值点.…(2 分) 当 a>0 时,令,h′(x)= ﹣ae =0,则 =ae , 显然? x0>0,使得 =
x x x x x

x



当 0<x<x0 时, >ae ,即 h′(x)>0, 当 x>x0 时, <ae ,即 h′(x)<0, 此时函数有唯一极大值点,无极小值点.…(5 分) (2)证明:要证 g(x)>
x x 3 x

,即证 2e ﹣e x >2;…(6 分)

x

x 3

令 k(x)=2e ﹣e x , x 3 2 x 3 2 x 2 ∴k′(x)=e (﹣x ﹣3x +2)=﹣e (x +3x ﹣2)=﹣e (x+1) (x +2x﹣2) ,…(7 分) x 故当 x∈(0,1)时﹣e <0,x+1>0; 2 令 P(x)=x +2x﹣2=0.则 x=± ﹣1(负值舍去) 2 x 2 故当 x∈(0, ﹣1)时,P(x)=x +2x﹣2<0,故 k′(x)=﹣e (x+1) (x +2x﹣2)>0, 即 k(x)在(0, ﹣1)上单调递增;…(9 分) 2 当 x∈( ﹣1,1)时,P(x)=x +2x﹣2>0, x 2 故 k′(x)=﹣e (x+1) (x +2x﹣2)<0, 即 k(x)在( ﹣1,1)上单调递减; ∵k(0)=2,k(1)=e, 故当 x∈(0,1)时,k(x)>k(0)=2 即 2e ﹣e x >2, 故结论成立…(12 分) 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值及不等式的证明,具体涉及到导数的性 质、 函数增减区间的判断、 极值的计算和不等式性质的应用, 解题时要认真审题, 仔细解答, 属于中档题. [选修 4-1:几何证明选讲] 22. (10 分) (2016?保定二模)如图所示,E、F 分别是矩形 ABCD 的边 AB、BC 上的点(E、 F 不与边的端点重合) .已知线段 BF、BC 的长分别为 m、n、AB、BE 的长是关于 x 的方程 2 x ﹣18x+mn=0 的两个根. (1)证明:A、E、F、C 四点共圆; (2)若 n=2m=8,求四边形 AEFC 外接圆的面积.
x x 3

【分析】 (1)利用平面几何知识证得△FBE∽△ABC,进一步得到∠BFE=∠BAC,从而得 到 A、E、F、C 四点共圆; (2)求解方程 x ﹣18x+mn=0 的两个根,得到 BE=2,AB=16.设所求外接圆的圆心为 O, 半径为 R,则圆心 O 为线段 CE 的中垂线与线段 BD 的中垂线的交点,利用勾股定理求得四 边形 CBDE 外接圆的半径的平方得答案. 【解答】 (1)证明:连接 EF,根据题意在△BEF 和△ACB 中,BF?BC=mn=BE?AB, 即 .…(2 分)
2

又∠FBE=∠CBA,从而△FBE∽△ABC…(4 分) 因此∠BFE=∠BAC. 所以 A、E、F、C 四点共圆.…(5 分) (2)解:当 m=4,n=8 时,方程 x ﹣18x+mn=0 的两个根为 x1=2,x2=16. 故 BE=2,AB=16…(7 分) 如图,设圆心为 O,AE,CF 的中点分别为 Q,H,连接 OQ,OH 则 OE =OQ +EQ =(
2 2 2 2

) +(4+

2

) =85…(9 分)

2

故四边形 AEFC 外接圆的面积为 85π.…(10 分)

【点评】本题考查圆内接多边形性质的判断,考查分析问题和求解问题的能力,属中档题. [选修 4-4:坐标系与参数方程】 23. (2016?保定二模)已知直线 l 的参数方程为 方程为 1﹣3sin θ=
2

(t 为参数) ,曲线 C 的极坐标



(1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求|AB|. 【分析】 (1)直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,消去参数 t 化为普通方程可得,
2

进而得到倾斜角. 曲线 C 的极坐标方程为 1﹣3sin θ=

, 即 ρ ﹣3ρ sin θ=2, 利用 ρ =x +y ,

2

2

2

2

2

2

y=ρsinθ,即可化为直角坐标方程. 2 (2)直线方程与双曲线方程联立化为 5x ﹣24x+26=0,利用 |AB|= 即可得出.

【解答】解: (1)直线 l 的参数方程为 y= x﹣2 , ∴其斜率为 . 设倾斜角为 α,则 tanα= ∴ . .
2

(t 为参数) ,消去参数 t 化为普通方程为

,α∈[0,π) .

∴直线 l 的倾斜角为

曲线 C 的极坐标方程为 1﹣3sin θ=

, 即 ρ ﹣3ρ sin θ=2, 可得直角坐标方程为: x ﹣2y =2.

2

2

2

2

2

(2)联立

,化为 5x ﹣24x+26=0,可得 x1+x2= =2

2

,x1x2= = .



∴|AB|=

【点评】 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、 参数方程化为普通方程、 三角函数求值、 一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. [选修 4-5:不等式选讲] 24. (2016?保定二模)设函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|,x∈R. (1)求证:当 a=﹣2 时,不等式 lnf(x)>1 成立; (2)关于 x 的不等式 f(x)≥a 在 R 上恒成立,求实数 a 最大值. 【分析】 (1)利用绝对值三角不等式求得当 a=﹣2 时,f(x)>e,从而证得结论. (2)利用绝对值三角不等式求得 f(x)≥|a﹣1|,可得|a﹣1|≥a,由此解绝对值不等式求 得实数 a 最大值. 【解答】 (1)证明:由函数 f(x)=|x﹣1|+|x+2|≥|(x﹣1)﹣(x+2)|=3, 得函数 f(x)的最小值为 3,从而 f(x)≥3>e,∴lnf(x)>1 成立. (2)解:由绝对值的性质得函数 f(x)=|x﹣1|+|x﹣a|≥|(x﹣1)﹣(x﹣a)|=|a﹣1|, 从而|a﹣1|≥a,∴a﹣1≥a,或 a﹣1≤﹣a,解得 a≤ ,因此 a 的最大值为 . 【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的 数学思想,属于基础题.


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