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2014届高考数学一轮复习 第5章《数列》(第4课时)知识过关检测 理 新人教A版


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 5 章《数列》 (第 4 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 2 1.(2013·辽阳质检)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an +bn(a、b∈R),且 S25=100,则 a12+a14 等于( ) A.16 B.8 C.4 D.不确定 2 解析:选 B.由数列{an}的前 n 项和 Sn=a

n + bn(a、b∈R),可得数列{an}是等差数列, ? a1+a25? ·25 S25= =100,解得 a1+a25=8,所以 a12+a14=a1+a25=8. 2 1 1 1 1 1 2.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,(2n-1 )+ n,?的前 n 项和 Sn 的值为( ) 2 4 8 16 2 1 1 2 2 A.n +1- n B.2n -n+1- n 2 2 1 1 2 2 C.n +1- n-1 D.n -n+1- n 2 2 1 解析:选 A.该数列的通项公式为 an=(2n-1)+ n, 2 1 1 1 则 Sn=[1+3+5+?+(2n-1)]+( + 2+?+ n) 2 2 2 1 2 =n +1- n.故选 A. 2 n+1 3.已知数列{an}的通项公式 an=log2 (n∈N+),设{an}的前 n 项和为 Sn,则使 Sn< n+2 -5 成立的自然数 n( ) A.有最大值 63 B.有最小值 63 C.有最大值 31 D.有最小值 31 n+1? 2 3 n+1 ?2 3 解析:选 B.Sn=a1+a2+?+an=log2 +log2 +?+log2 =log2? × ×?× n+2? 3 4 n+2 ?3 4 ? 2 =log2 <-5, n+2 2 -5 6 ∴ <2 ,∴n+2>2 ,∴n>62. n+2 又 n∈N+,∴n 有最小值 63. ? 1 ? m ?(n∈N+)的前 n 项和 4. 设函数 f(x)=x +ax 的导 函数 f′(x)=2x+1, 则数列? ?f? n? ? 是( ) n n+2 A. B. n+1 n+1 n n+1 C. D. n-1 n 2 解析:选 A.易知 f(x)=x +x, 1 1 1 1 1 则 = 2 = = - , f? n? n +n n? n+1? n n+1
1

所以数列?

?

1

?f? n? 1 1 1 1 1 1 1 n Sn= - + - +?+ - =1- = . 1 2 2 3 n n+1 n+1 n+1 n 5.(2013·辽阳质检)对正整数 n,设曲线 y=x (1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交点的

? ?的前 n 项和 ?

纵坐标为 an,则数列?
n

?

an ? ?的前 n 项和的公式是( n+1? ?
n

)

A.2 B.2 -2 n+1 n+1 C.2 D.2 -2 n-1 解析:选 D.∵y′|x=2=-2 (n+2), n n-1 ∴切线方程为:y+2 =-2 (n+ 2)(x-2), n 令 x=0,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0=(n+1)2 , n ? an ? an 2? 1-2 ? n n+1 ?的前 n 项和 Sn= 所以 =2 ,则数列? =2 -2. n+1? n+1 1-2 ? 二、填空题 6.在等差数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,a2+a8=18-a5, 则 S9=________. 解析:由等差数列的性质,a2+a8=18-a5, 即 2a5=18-a5,∴a5=6, ? a1+a9? ×9 ∴S9= =9a5=54. 2 答案:54 n 2 2 2 7. (2013·武汉质检)等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2 -1, a1+a2+?+an=________. 则 解析:当 n=1 时,a1=S1=1, 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1, n-1 2 n-1 又∵a1=1 适合上式,∴an=2 ,∴an=4 . 2 2 ∴数列{an}是以 a1=1 为首项,以 4 为公比的等比数列. n 1·? 1-4 ? 1 n 2 2 2 ∴a1+a2+?+an= = (4 -1). 1-4 3 1 n 答案: (4 -1) 3 ? 1 ? ?的 8.已知等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列?
?bnbn+1?

前 n 项和 Sn=________. 解析:设等比数列{an}的公比为 q,则 =q =27,解得 q=3.所以 an=a1q =3 ,故 bn=log3an=n, 1 1 1 1 所以 = = - . bnbn+1 n? n+1? n n+1 ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 n ?的前 n 项和 为 1- + - +?+ - 则数列? =1- = . 2 2 3 n n+1 n+1 n+1 ?bnbn+1? 答案:
n

a4 a1

3

n-1

=3×3

n-1

n n+1

三、解答题 9.已知{an}为等差数列,且 a3=-6,a6=0. (1)求{an}的通项公式; (2)若等比数列{bn}满足 b1=-8,b2=a1+a2+a3,求{bn}的前 n 项和公式. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d. 因为 a3=-6,a6=0,

2

所以?

? ?a1+2d=-6, ? ?a1+5d=0,

解得 a1=-10,d=2.

所以 an=-10+(n-1)·2=2n-12. (2)设等比数列{bn}的公比为 q. 因为 b2=a1+a2+a3=-24,b1=-8, 所以-8q=-24,即 q=3. b1? 1-qn? n 所以{bn}的前 n 项和公式为 Sn= =4(1-3 ). 1-q 1? ? 2 10.在数列{an}中,a1=1,当 n≥2 时,其前 n 项和 Sn 满足 Sn=an?Sn- ?. 2? ? (1)求 Sn 的表达式; (2)设 bn= ,求{bn}的前 n 项和 Tn. 2n+1 1? ? 2 解:(1)∵Sn=an?Sn- ?,an=Sn-Sn-1(n≥2), 2? ? 1? ? 2 ∴Sn=(Sn-Sn-1)?Sn- ?,即 2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,① 2? ? 由题意 Sn-1·Sn≠0, 1 1 ①式两边同除以 Sn-1·Sn,得 - =2,

Sn

Sn Sn-1

?1? 1 1 ∴数列? ?是首项为 = =1,公 差为 2 的等差数列. ?Sn?

S1 a1

1 1 ∴ =1+2(n -1)=2n-1,∴Sn= . Sn 2n-1 Sn 1 (2)又 bn= = 2n+1 ? 2n-1? ? 2n+1? 1 ? 1? 1 - = ? ?, 2?2n-1 2n+1? ∴Tn=b1+b2+?+bn= . 2n+1

n

一、选择题
?n ? 1.已知函数 f(n)=? 2 ? ?-n
2

? 当n为正奇数时? , ? 当n为正偶数时? ,

且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2

+a3+ ?+a1 00 等于( ) A.0 B.100 C.-100 D.10200 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解析:选 B.由题意,a1+a2+?+a100=1 -2 -2 +3 +3 -4 -4 +5 +?+99 - 100 2 2 -100 +101 =-(1+2)+(3+2)-?-(99+100)+(101+100)=100.故选 B. ?1? 2.已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 9S3=S6,则数列? ?的前
?an?

5 项和为( ) 15 A. 或 5 8 31 C. 16

31 B. 或 5 16 15 D. 8

3

1-q ? 1-q = , 解得 q=2, 1-q 1-q ?1? 1 31 所以数列? ?是以 1 为首项, 为公比的等比数列,由求和公式可得 S5= . 2 16 ?an? 二、填空题 3.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若 a1=2,{an}的“差 n 数列”的通项为 2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. n 解析:∵an+1-an=2 , ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1 n 2-2 n-1 n-2 2 n n =2 +2 +?+2 +2+2= +2=2 -2+2=2 . 1-2 n+1 2-2 n+1 ∴Sn= =2 -2. 1-2 n+1 答案:2 -2 2 4.数列{an}的前 n 项和 Sn=n -4n+2,则|a1|+|a2|+?+|a10|=________. 解析:当 n=1 时,a1=S1=-1. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-5. ? ? n=1? ?-1 ∴an=? . ? ?2n-5 ? n≥2,n∈N+? 5 令 2n-5≤0 得 n≤ , ∴当 n≤2 时,an<0;当 n≥3 时,an>0, 2 ∴|a1|+|a2|+?+|a10|=-(a1+a2)+(a3+a4+?+a10)=66. 答案:66 三、解答题 5.(2012·高考天津卷)已知{an}是等差数列,其前 n 项和为 Sn,{bn}是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; * * (2)记 Tn=anb1+an-1b2+?+a1bn,n∈N ,证明 Tn+12=-2an+10bn(n∈N ). 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q.由 a1=b1=2,得 a4=2 3 +3d,b4=2q ,S4=8+6d.由条件,得方程组 9? 解析: C.设数列{an}的公比为 q.由题意可知 q≠1, 选 且
?2+3d+2q =27, ? ? 3 ? ?8+6d-2q =10,
3

3

6

解得?
n

?d=3, ? ? ?q=2.
*

所以 an=3n-1,bn=2 ,n∈N . (2)证明:由(1)得 Tn=2an+22an-1+23an-2+?+2na1,① 2 3 n n+1 2Tn=2 an+2 an-1+?+2 a2+2 a1.② 由②-①,得

Tn =-2(3n -1)+3×2 +3×2 +?+3×2 +2
n

2

3

n

n+2



12?

1-2 1-2

n-1

?

+2

n+2

-6n +2=

10×2 -6n-10. n n 而-2an+10bn-12=-2(3n -1)+10×2 -12=10×2 -6n-10, * 故 Tn+12=-2an+10bn,n∈N .

4


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