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第28届物理竞赛复赛模拟题(第1套)

时间:2014-08-23


全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第一套(解析与评分标准) 满分 140

第一题(15 分) 【解】 ? ? ?? 无磁单极子,所以任取一个封闭体,总磁通量为 0。取一个长宽高各 在 XYZ 正半轴, 顶点在原点 O 的长方体。 其在 XYZ 轴上的边长分别为
x0 、 y0 、 z0 ,总磁通为零有: ? x0 ? z0 ? ? z0 ? x0 ,得

? ? ??

评分标准:得出 ? ? ?? 得 5 分。说明无磁单极子得 5 分。取封闭体算 磁通为零得 5 分。

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第二题(12 分) 【解】如图设支持力摩擦力为 N1 、 N 2 、 N3 、 f 2 、 f3 ,小球半径为 R ,

下球平衡:左右方向受力平衡有
N2 sin ? ? f 2 cos? ? f1

(1)

以下球中心为轴转动平衡有
f1R ? f 2 R

(2)

由以原点为轴力矩平衡得 N1 大于 N 2 ,由(2)式知 f1 ? f 2 ,所以判断 得 f 2 处先滑,滑动临界状况时取 联立(1) (2) (3)有 计算得 ? ? 2arctan ?
sin ? ?? cos ? ? 1

f 2 ? ? N2

(3)

(4)

(5)

讨论:当 ? ? 1时,上式恒成立。当 ? ? 1 时, ? 为任意值都不会滑动。 评分标准:有受力分析得 2 分,写出(1) (2) (3)各得 2 分,判断 出 N3 大于 N 2 得 2 分,计算得答案(5)式得 2 分。讨论不加分,不讨 论不扣分,因为正常情况下 ? 不大于 1。
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第三题(28 分) 【解】 (1)设上升到最高点的时间为 t ,则落地时间也为 t 。设爆炸后 前面的鸟速度为 v3 ,后边的鸟速度为 v1 。 上升到最高点竖直方向上有
gt ? 2 v 2

(1)

最高点爆炸动量守恒有
mv1 ? m 2 2 v ? mv3 ? 3m v 2 2

(2)

爆炸后落地水平方向上有
(v3 ? v1 )t ? d

(3)

动能增加量为为
?Ek ? 1 2 1 2 1 2 2 mv1 ? mv3 ? 2 ? m( v) 2 2 2 2

(4)

联立得 Ek ?

md 2 g 2 2v 2

(5)

(2)设上升到最高点的时间为 t ,则中间鸟落地时间也为 t 。设爆炸 后上面的鸟向上速度为 v1 , 落地时间为 t1 , 下面的鸟向下的速度为 v3 , 落地时间为 t3 。 同样(1)式成立。 上升到最高点竖直方向上有
2 gh ? ( 2 2 v) 2

(6)

在最高点爆炸时竖直方向上动量守恒有
mv1 ? mv3

(7)

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爆炸后落地时间差为
t1 ? t3 ? d 2 v 2

(8)

爆炸后竖直方向上有
v3t3 ? 1 2 gt3 ? h 2 1 ?v1t1 ? gt12 ? h 2

(9) (10)

中间鸟落地时,空中鸟离地距离
?h ? h ? (?v1t ? 或?h ? v ' t 1 2 gt ) 2

(11)

由(7)式有 v1 ? v3 令其为 v ' 把(9)式减(10)式联立(8)式有
v' ? 2 gd 2v

(12)

把(1)式(6)式(12)式代入(11)或把(1)式(12)式代入(11) 得:
?h ? d 2

(13)

(3)设爆炸增加的速度为 v ' ,则从质心系看爆炸增加的能量为
1 ?E ? 2 ? mv '2 2

(14)
dg 2v
2 v ? v0 ,以爆炸点为原点列抛物线方程 2

代入(5)式有 v ' ? 令爆炸前水平速度
x ? v 'cos ? t ? v0t 1 y ? v 'sin ? t ? gt 2 2

(15)

消去 t 有
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y?

v 'sin ? 1 g x? x2 2 (v 'cos ? ? v0 ) 2 v 'cos ? ? v0

(16)

这是一个 y ? f (? , x) 的方程,取 x 为定值,求 y ? f (? ) 的最大最小值。得 到的 y ? f ( x) 即为所求。 【或解】以爆炸点为原点有方程 ( x ? v0t )2 ? ( y ? gt 2 )2 ? (v ' t )2 对 t 求导有 ?v0 ( x ? v0t ) ? 2( y ? gt 2 ) gt ? 2v '2 t 化简有 ( g 2 )t 3 ? ( yg ? v02 ? v '2 )t ? (?v0 x) ? 0 即 t 3 ? pt ? q ? 0 解得 t ? (? ? (( )2 ? ( )3 ) 2 ) 3 ? (? ? (( ) 2 ? ( )3 ) 2 ) 3 代入原始方程得解。 所以 ( x ? v0t )2 ? ( y ? gt 2 )2 ? (v ' t )2 其中 t ? (? ? (( )2 ? ( )3 ) 2 ) 3 ? (? ? (( ) 2 ? ( )3 ) 2 ) 3 其中 p ?
yg ? v0 2 ? v '2 ?v x ,q ? 0 1 2 1 2 g g 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2

q 2

q 2

p 3

1 1

q 2

q 2

p 3

1 1

q 2

q 2

p 3

1 1

q 2

q 2

p 3

1 1

评分标准:第(1)题中, (1) (2) (3) (4) (5)式每式 2 分。 第(2)题中, (7) (8) (11) (13)式每式 2 分, (9) (10)式每式 1 分。如果以质心系直接得(13)式给全分。 第(3)题中, (14)式 2 分, (16)式 2 分,说明包络线的求法 4 分。

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第四题(12 分) 【解】 (1) 设小行星质量为 m , 爆炸的能量为 ?E , 燃料的质量为 m燃料 , 爆炸后增加的速度为 v ,与地球擦肩而过的速度为 v ' 。 质能方程有 ?E ? 4%m燃料c2 在质心系来看爆炸能量 ?E ? 2 ? mv 2
1 2

(1) (2)

最少能量使得碎片不撞地球有碎片增加的速度 v 必定垂直与行星与地 球连线。对碎片列能量方程有
1m 2 2 (v0 ? v ) ? 22 GM m m GM 2 ? 1 m v '2 ? 2 22 l R

(3)

对碎片列角动量方程有
m m lv ? Rv ' 2 2

(4)

把(4)式代入(3)式得
v2 ?
2 v0 ? 2 gR 2 (

l2 ?1 R2

1 1 ? ) R l

(5)

把(5)代入(2)式代入(1)式得
m燃料 m ? 4%2c 2
2 v0 ? 2 gR 2 (

l2 ?1 R2

1 1 ? ) R l

(6)

(2)设爆炸后质量大的碎块质量为 m1 ,质量小的碎块质量为 m2 , 在质心系来看爆炸能量 ?E ? m1v 2 + m2v 2 爆炸动量守恒有 m1v1 ? m2v2 (8)
1 2 1 2

(7)

m1 质量更大,速度更小, m1 不撞地球则 m2 不撞。

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与(1)相同有 v12 ?

2 v0 ? 2 gR 2 (

l2 ?1 R2

1 1 ? ) R l

(9)

把(9)式代入(8)式代入(7)式代入(1)得增加的质量
?m燃料 m 2 ? m燃料 ? 9 4%9c 2
2 ? 2 gR 2 ( v0

l2 ?1 R2

1 1 ? ) R l (10)

评分标准: (1) (2) (7) (8)式 1 分, (3) (4) (6) (10)式 2 分。

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第五题(16 分) 【解】 (1)设左棒速度为 v1 ,右棒速度为 v2 , 两棒动量定理 BIl ?t ? m?v1 , BI 2l ?t ? m?v2 有 v2 ? 2(v ? v1 ) 最后静止电动势为 0 有 Bv1l ? Bv2 2l 联立得 v1 ? v , v2 ? v (2)回路中电流 Q ? ? I ?t ? ?
1 2 1 2 4 5 2 5

(1)

(2) (3)

m?v1 m(v ? v1 ) mv ? ? 5Bl Bl Bl

(4) (5)

2 (3)安培力总功 W总 = mv 2 ? ( mv12 ? mv2 )?

1 2

1 mv 2 10

评分标准: (1) (2) (3)式各 2 分,算出(4)得 5 分算出(5)得 5 分。

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第六题(20 分) 【解】设等容燃烧后温度为 T容 ,绝热膨胀后温度为 T绝 ,输入能量等 于输出能量
n?t n?t n?t 1 CV T0 ? CV T容 = n?tv 2 ? CV T绝 ? P?V u u u 2 n?t n?t 将 P0 ?V0 ? RT0 , P?V ? RT 式代入(1)式有 u u P0 ?V0 ? n?tL ?

(1)

T容 =T0 +

R uL ? CV CV

(2) (3) (4)

1 (CV ? R)T0 ? uL ? uv 2 ? (CV ? R)T绝 2
? ?1 有绝热方程 T容?V0? ?1 ? T绝?V绝

将 ?V0 ?
T容 (

n?tRT0 , ?V绝 ? v?ts 代入(4)式有 uP0

nRT0 ? ?1 ) ? T绝 (vs)? ?1 uP0
n?tv ? nv ?t

(5). (6)

火箭推力 F ?

联立(2) (3) (5)得
1? C ? R nRT0 ? ?1 1 u v2 ? V ( ) CV uP0 sv 2 (CV ? R)T0 ? uL

(7)

解出 v 代入(6)式解得 F (8) 【注】此题原来挂出的解法是往年物理竞赛复赛的惯例解法,是把气 体绝热膨胀当作恒力处理。 实际上在现实中我们做这样的模型处理是 不合理的。 合理的解法如此解, 但最后的求解涉及到高次方程的求解。 故复赛考试中一般不作此要求。 复赛考试中如有当恒力处理也一般算 对。

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第七题(22 分) 【解】 (1)电子加速度 a ? 电子能量 E ? ?
ke 2 k 3e 4 2 代入 有 P ? P ? ka me r 2 me2 r 4

(1) (2)

ke2 ke2 dE 代入 P ? 有 P ? 2 v r 2r dt

联立(1) (2)有 两边同乘 ?t 有

2k 2 e 2 ?v me2 r 2

(3) (4) (5)
m1m2 m1 ? m2

2k 2 e 2 ?t ? r 2 ?r me2

由 ?(r 3 ) ? 3r 2?r 有得 t ?

me2 3 r0 6k 2 e 2

(2)考虑两体问题有折合质量 u ? 角动量 L ? u?r 2 ? n 受力
ke2 ? u? 2 r 2 r 1 ke2 2 r

(6)

(7) (8) (9) (10)
1 k 2e4 1 1 ( 2 ? 2 )u 2 2 n2 n1

代入能量方程 E总 ? ?
1 k 2e4 u 有 E总 ? ? 2 2 n2

又 ?E总 ? h? 将(10)式代入有 v ? 分辨率精度
??

(11)

?

?

?u u

对于氢 u1 ? m ? m 对于氘 u2 ? m ? 2m e p e p
me 远小于 m p ,有 u ? me , ?u ?
e 则 ? ? 2m p

me m p

me 2m p

(12) (13)

me me 2m p

??

m

(14)
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评分标准: (1) (2) (3) (4) (5)式各 2 分。得出(11)式 10 分, 可用两体问题自行推导公式。得出(14)式 2 分

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第八题(15 分) 【解】全反角 sin C ? 如图三角形里
1 n

sin C sin ? 有 ? ? 60 或 ? =120 ? R 3 R 3

(1)

有光出射的面积为 2? R 2 ? 2? R 2

3 3 )2? R 2 ? (1 ? 3 3

评分标准:算出(1)式 5 分,画出图 5 分,得出答案 5 分。

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