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创新设计】(北师大版)2015届高考数学一轮精品第6篇 第1讲 不等关系与不等式


第六篇
第1讲

不等式

不等关系与不等式

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2014· 南昌模拟)设 x,y∈R,则“x≥1 且 y≥2”是“x+y≥3”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 3 由不等式性质知当 x≥1 且

y≥2 时,x+y≥3;而当 x=2,y=2时满足 ).

x+y≥3,但不满足 x≥1 且 y≥2,故“x≥1 且 y≥2”是“x+y≥3”的充分 而不必要条件. 答案 A ( ).

2.(2014· 延安模拟)已知 a>b,则下列不等式成立的是 A.a2-b2≥0 C.|a|>|b| 解析 B.ac>bc D.2a>2b

A 中,若 a=-1,b=-2,则 a2-b2≥0 不成立;当 c=0 时,B 不成

立;当 0>a>b 时,C 不成立;由 a>b 知 2a>2b 成立,故选 D. 答案 D 1 3 , y= 2loga5, z = ( B.z>y>x D.y>x>z 6,y=loga 5,z=loga 7,而 0<a<1,∴函数 ).

3.(2014· 河南三市三模 )已知 0 < a <1 , x= loga 2 + loga loga 21-loga 3,则

A.x>y>z C.z>x>y 解析 由题意得 x=loga

y=loga x 在(0,+∞)上单调递减,∴y>x>z.

答案

D ( ).

4.已知 a<0,-1<b<0,那么下列不等式成立的是 A.a>a b>ab2 C.ab>a>ab2 解析 B.ab2>ab>a D.ab>ab2>a

由-1<b<0,可得 b<b2<1,又 a<0,

∴ab>ab2>a. 答案 D

5.(2014· 宝鸡模拟)已知下列四个条件:①b>0>a,②0>a>b,③a>0>b,④a>b>0, 1 1 能推出a<b成立的有 A.1 个 C.3 个 解析 B.2 个 D.4 个 ( ).

1 1 运用倒数性质,由 a>b,ab>0 可得a<b,②、④正确.又正数大于负

数,①正确,③错误,故选 C. 答案 C

二、填空题 6. (2013· 扬州期末)若 a1<a2,b1<b2,则 a1b1+a2b2 与 a1b2+a2b1 的大小关系是 ________. 解析 作差可得 (a1b1+ a2b2)- (a1b2+ a2b1)=(a1 - a2)· (b1 -b2),∵ a1<a2, b1

<b2,∴(a1-a2)(b1-b2)>0,即 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1. 答案 a1b1+a2b2>a1b2+a2b1

π π 7.若角 α,β 满足-2<α<β<2,则 2α-β 的取值范围是________. 解析 π π ∵-2<α<β<2,

π π ∴-π<2α<π,-2<-β<2, 3π 3π π ∴- 2 <2α-β< 2 ,又∵2α-β=α+(α-β)<α<2, 3π π ∴- 2 <2α-β<2.

答案

? 3π π? ?- 2 ,2? ? ?

3? ? 8. (2014· 上饶模拟)现给出三个不等式: ①a2+1>2a; ②a2+b2>2?a-b-2?; ③ 7 ? ? + 10> 3+ 14.其中恒成立的不等式共有________个. 解析 因为 a2-2a +1=(a-1)2≥0,所以①不恒成立;对于②,a2+b2-2a

+2b+3=(a-1)2+(b+1)2+1>0,所以②恒成立;对于③,因为( 7+ 10)2 - ( 3 + 14)2 = 2 70 - 2 42>0 ,且 7 + 10>0 , 3 + 14>0 ,所以 7 + 10> 3+ 14,即③恒成立. 答案 2

三、解答题 9.比较下列各组中两个代数式的大小: (1)3x2-x+1 与 2x2+x-1; (2)当 a>0,b>0 且 a≠b 时,aabb 与 abba. 解 (1)∵3x2-x+1-2x2-x+1=x2-2x+2=(x-1)2+1>0, ∴3x2-x+1>2x2

+x-1. aabb a-b b-a a-b?1?a-b ?a?a-b. (2)abba=a b =a ?b? =?b? ? ? ? ? a ?a? 当 a>b,即 a-b>0,b>1 时,?b?a-b>1,∴aabb>abba. ? ? a ?a? 当 a<b,即 a-b<0, 0<b<1 时,?b?a-b>1, ? ? ∴aabb>abba. ∴当 a>0,b>0 且 a≠b 时,aabb>abba. 1 0.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半 时间步行,一半时间跑步,如果两人步行 速度、跑步速度均相同,试判断谁 先到教室? 解 设从寝室到教室的路程为 s,甲、乙两人的步行速度为 v1,跑步速度为

v2,且 v1 <v2. s s s?v1+v2? 甲所用的时间 t 甲=2v +2v = 2v v , 1 2 1 2

乙所用的时间 t 乙=

2s , v1+v2

t甲 s?v1+v2? v1+v2 ?v1+v2?2 ∴ = 2v v × 2s = 4v v t乙 1 2 1 2 =
2 v2 1+v2+2v1v2 4v1v2 >4v v =1. 4v1v2 1 2

∵t 甲>0,t 乙>0,∴t 甲>t 乙,即乙先到教室. 能力提升题组 ( 建议用时:25 分钟) 一、选择题 1.下面四个条件中,使 a>b 成立的充分不必要条件是 A.a>b+1 C.a2>b2 解析 B.a>b-1 D.a3>b3 ( ).

由 a>b+1,得 a>b+1>b,即 a>b,而由 a>b 不能得出 a>b+1,

因此,使 a>b 成立的充分不必要条件是 a>b+1. 答案 A

2.已知实数 a,b,c 满足 b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则 a,b,c 的 大小关系是 A.c≥b>a C.c>b>a 解析 B.a>c≥b D.a>c>b ( ).

c-b=4-4a+a2=(2-a)2≥0,∴c≥b,将已知两式作差得 2b=2+
[来源:学§科§网]

2a2,即 b=1+a2,

1? 3 ? ∵1+a2-a=?a-2?2+4>0,∴1+a2>a, ? ? ∴b=1+a2>a,∴c≥b>a. 答案 A
[来源:Z,xx,k.Com]

二、填空题 3 .已知 f(x) = ax2 - c 且- 4≤f(1)≤- 1 ,- 1≤f(2)≤5 ,则 f(3) 的取值范围是 ________. 解析 ?a-c=f?1?, 由题意,得? ?4a-c=f?2?,

1 ? ?a=3[f?2?-f?1?], 解得? 4 1 c =- f ? 1 ? + ? ? 3 3f?2?. 5 8 所以 f(3)=9a-c=-3f(1)+3f(2). 5 5 20 因为-4≤f(1)≤-1,所以3≤-3f(1)≤ 3 , 8 8 40 因为-1≤f(2)≤5,所以-3≤3f(2)≤ 3 . 两式相加,得-1≤f(3)≤20, 故 f(3)的取值范围是[-1,20]. 答案 [-1,20]
[来源 :学 |科 |网 ]

三、解答题 4.设 0<x<1,a>0 且 a≠1,比较|loga(1-x)|与|loga(1+x)|的大小. 解 法一 作差比较

当 a>1 时,由 0<x<1 知, loga(1-x)<0, loga(1+x)>0, ∴ |loga(1-x)|-|loga(1+x)|=-loga(1-x)-loga(1 +x)=-loga(1-x2), ∵0<1-x2<1,∴loga(1-x2)<0, 从而-loga(1-x2)>0,故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 当 0<a <1 时,同样可得|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 法二 平方作差
[来源:学科网]

|loga(1-x)|2-|loga(1+x)|2 =[ loga(1-x)]2-[loga(1+x)]2 =loga(1-x2)· loga 1-x 1+x

2x ? ? =loga(1-x2)· loga?1-1+x?>0. ? ? ∴|loga(1-x)|2>|loga(1+x)|2, 故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|. 法三 作商比较



|loga?1-x?| ?loga?1-x?? ?=|log(1+x)(1-x)|, =? |loga?1+x?| ?loga?1+x??

∵0<x<1,∴log(1+x)(1-x)<0, 故 |loga?1-x?| 1 =-log(1+x)(1-x)=log(1+x) |loga?1+x?| 1-x
[来源:学科网 ZXXK]

1 ? 1 ? 1 ? =1+log(1+x)?1-x· = 1 + log . (1+x) 1+x? 1-x2 ? 由 0<x<1 知,1+x>1 及 1 >1, 1-x2

|loga?1-x?| 1 ∴log(1+x) >1, 2>0,故 1-x |loga?1+x?| ∴|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.


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