nbhkdz.com冰点文库

专题复习三 不等式

时间:2013-01-20


专题复习三 不等式 出题人:季东桥 一、不等式的性质: 1、若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中不能成立的是( A.

) D. a ? b
2 2

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a?b a

C. | a |?| b |

2、已知三个不等式:① ab ? 0 ;②

c d ? ;③ bc ? ad .以其中两个作条件,余下一 a b a 的范围. b

个作结论,则可组成_____________个正确命题. 3、若 ?6 ? a ? 8, 2 ? b ? 3, 分别求 2a ? b, a ? b,

4、若 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 , e ? 0 ,求证:

e e ? . a?c b?d

二、不等式的解法: 1、解不等式 (1) 4 ? 4 x ? 3x ? 0 (2)
2

1 2 x ? 2 x ? ?4 4

(3) (2 x ? 1)(x ? 3) ? 3( x ? 2)
2

(4)

1 ? 2x ?0 x?4

(5) x ?

2 ?2 x ?1

2、解关于 x 的不等式

(6) x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0

( 7 x2 ? a x? 4? 0 )

(8)ax2 ? ? a ? 2? x ?1 ? 0

3、已知不等式 ax ? 3x ? 6 ? 4 的解集为 {x | x ? 1或x ? b}
2

(1)求 a,b

;(2)解不等式

x?c ? 0 (c 为常数) ax ? b

4、若不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围.

5、若关于 x 的不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围.

6、已知函数 f ? x ? ? lg ? x ? 值范围.

? ?

a ? ? 2 ? ,若对任意 x??2, ??? 恒有 f ? x ? ? 0 ,试确定 a 的取 x ?

三、线性规划问题:

?x ? 2 1、若 x 、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 则 z = x + 2 y 的 取 值 范 围 是 _____________ ? ?x ? y ? 2 ?

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 2 、 不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?

_____________

3 、 满 足 | x | + | y | ≤ 2 的 点 ( x , y ) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 __个

?x ? y ? 5 ? 4、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? y ? 5 ? 0 , 使 z=x+ay(a>0) 取 得 最 小 ?x ? 3 ?
值的最优解有无数个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1 ( )

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5 、 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
小值分别是( ) A、 13, 1 B、 13, 2

则 z=x +y 的 最 大 值 和 最

2

2

C、 13,

4 2 5 D 、 13 , 5 5
).

?x-y+2≤0, y ? 6、 已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( ?x+y-7≤0, x ?
9 A、[ ,6] 5 C、 (-∞,3]∪[6,+∞) 四、基本不等式的应用: 1、已知 0<x< 9 B、 (-∞, ]∪[6,+∞) 5 D、[3,6]

1 ,求函数 y=x(1-3x)的最大值; 3

2、求函数 f(x)=x+

1 的最小值. x ?1

3、已知 x>0,y>0,且

1 9 + =1,求 x+y 的最小值. x y

4、若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3, 求 ab 的取值范围.

5、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池(平面图如图 3-4-2 所示),由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中 间两道隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试 设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.

五、猜题 1、制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打 算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪, 可能的最大亏损分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的 资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利 最大?

2、已知二次函数 f (x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) . (1)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f (x ) 的解析式; (2)若 f (x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

专题复习三 不等式答案 一、不等式的性质: 1、B 2、解:对命题②作等价变形:

c d bc ? ad ? ? ?0 a b ab

于是,由 ab ? 0 , bc ? ad ,可得②成立,即①③ ? ②;

bc ? ad ? 0 ,则 bc ? ad ,故①② ? ③; ab bc ? ad ? 0 ,则 ab ? 0 ,故②③ ? ①.∴可组成 3 个正确命题. 若 bc ? ad , ab
若 ab ? 0 , 3、解:? ?6 ? a ? 8, 2 ? b ? 3,??12 ? 2a ? 16,?10 ? 2a ? b ? 19,

1 1 1 a ? ? , ①当 0 ? a ? 8 时, 0 ? ? 4, 3 b 2 b a a ②当 ?6 ? a ? 0 时, ?3 ? ? 0, 由①②可知 ?3 ? ? 4 . b b 4、解:∵ c ? d ? 0 , ? c ? ?d ? 0 ,又 a ? b ? 0 , 1 1 e e ? ? ∴ a ? c ? b ? d ? 0 ,故 .而 e ? 0 ,∴ a?c b?d a?c b?d
又 ?3 ? ?b ? ?2,??9 ? a ? b ? 6, 又 二、不等式的解法: 2、⑥解:原不等式可化为 ( x ? 1)( x ? a) ? 0 ,( x ? 1)( x ? a) ? 0 的两根为 x1 ? 1, x2 ? a 当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? 当 a ? 1 时,不等式的解集为 x 1 ? x ? a

? ?

? ?

当 a ? 1 时,不等式的解集为 x a ? x ? 1 ⑦解:∵ ? ? a ? 16
2

∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ;

当 a ? ?4 即Δ =0 时, 解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ? ;当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根 2?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 分别为 x1 ? , x2 ? ,显然 x1 ? x 2 , 2 2

? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? ∴不等式的解集为 ? x x ? 或x〈 ? 2 2 ? ? ? ?
⑧解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
2

解得方程 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?
2

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a

∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? 或x ? ? 2a 2a ? ?

当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ? a ? 0 时, 解集为 ? x | 当 ?x? ? 2a 2a ? ? ? ?
3、解: (1)因为不等式 ax ? 3x ? 6 ? 4 的解集为 {x | x ? 1或x ? b}
2

? x ? 1, x ? b 是方程 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根,?1 ? b ?

3 2 , b ? ? a ? 1, b ? 2 a a

(2)当 c ? 2 时,不等式的解集为 x x ? 2 当 c ? 2 时,不等式的解集为 x x ? c或x ? 2 当 c ? 2 时,不等式的解集为 x x ? 2或x ? c

?

?

?

?

?

?

4、解:我们可以用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即将元不等式化为:

m( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ,; 令 f (m) ? m( x 2 ? 1) ? (2x ? 1) , 则 ? 2 ? m ? 2 时 ,
2 ? ? f (?2) ? 0 ?? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 f (m) ? 0 恒成立,所以只需 ? 即? ,所以 x 的范围 ?2( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ? f (2) ? 0 ?

是 x?(

?1? 7 1? 3 , ). 2 2

5、解(1)当 m-1=0 时,元不等式化为 2>0 恒成立,满足题意; (2) m ? 1 ? 0 时,只需 ? 6、 解: 根据题意得:x ?

?m ? 1 ? 0
2 ?? ? (m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0

,所以, m ? [1,9) .

a ? 2 ? 1 在 x??2, ??? 上恒成立, a ? ? x 2 ? 3x 在 x??2, ??? 即: x
2

上恒成立,设 f ? x ? ? ?x ? 3x ,则 f ? x ? ? ? ? x ? 当 x ? 2 时, f ? x ?max ? 2 三、线性规划问题: 1、A 2、 B 所以 a ? 2

? ?

3? 9 ? ? 2? 4

2

3、 D

?x ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ? 解 : |x|+ |y|≤ 2 等 价 于 ? ?? x ? y ? 2 ?? x ? y ? 2 ?

( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) 作出可行域是正方 ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0)

形 内 部 ( 包 括 边 界 ) 容 易 得 到 整 点 个 数 为 13 个 , 选 D ,

y A

y x+y=5

x–y+5=0

x O x – 2y + 4 2x + y =0 2= 0 = 5 3x – y – 3 = 0

O

x=3 x

4、 D 2 2 5、 解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 ,x +y 是 点 ( x, y) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 故 最 2 大 值 为 点 A( 2,3) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 即 |AO| =13, 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x+ y- 2=0 的 距 离 的 平 方 , 即 为 6、解析

4 ,选 C 5

y 5 是可行域内的点 M(x,y)与原点 O(0,0)连线的斜率,当直线 OM 过点( , x 2

9 y 9 y )时, 取得最小值 ;当直线 OM 过点(1,6)时, 取得最大值 6. 答案 A 2 x 5 x 四、基本不等式的应用:

1 1 1 3x ? (1 ? 3x) 2 1 ,∴1-3x>0.∴y=x(1-3x)= · 3x(1-3x)≤ [ ]= , 3 3 3 2 12 1 1 1 当且仅当 3x=1-3x,即 x= 时,等号成立.∴x= 时,函数取得最大值 . 6 6 12
1、∵0<x< 2、解:∵x>-1,∴x+1>0.∴f(x)=x+

1 1 1 =x+1+ -1≥2 ( x ? 1) ? -1=1. x ?1 x ?1 ( x ? 1)

当且仅当 x+1=

1 ,即 x=0 时,取得等号.∴f(x)min=1. x ?1

3、∵

1 9 1 9 y 9x + =1,∴x+y=(x+y)· + )=10+ ? ( . x y x y x y

∵x>0,y>0,∴

y 9x y 9x y 9x ? ≥2 =6.当且仅当 ? ,即 y=3x 时,取等号. ? x y x y x y



1 9 + =1,∴x=4,y=12.∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16. x y

4、解:? a ? 0, b ? 0,?a ? b ? 2 ab 由已知可得 ab ? 2 ab ? 3 ,? ab ? 9

200 200 米(0<x≤16,0< ≤16),∴12.5≤x≤16. x x 200 200 于是总造价 Q(x)=400(2x+2× )+248× 2× +80× 200. x x
5、解:设污水处理池的长为 x 米,则宽为

=800(x+

324 324 )+16 000≥800×2 x ? +16 000=44 800, x x

当且仅当 x=

324 (x>0),即 x=18 时等号成立,而 18 ? [12.5,16],∴Q(x)>44 800. x

下面研究 Q(x)在[12.5,16]上的单调性. 对任意 12.5≤x1<x2≤16,则 x2-x1>0,x1x2<162<324. Q(x2)-Q(x1)=800[(x2-x1)+324(

( x ? x1 )(x1 x2 ? 324) 1 1 <0, ? )]=800× 2 x 2 x1 x1 x2

∴Q(x2)>Q(x1).∴Q(x)在[12.5,16]上是减函数. ∴Q(x)≥Q(16)=45 000. 答:当污水处理池的长为 16 米,宽为 12.5 米时,总造价最低,最低造价为 45 000 元. 五、猜题: 1、解:设投资人分别用 x 万元、 y 万元投资甲、乙两个项目. 则:

? x ? y ? 10 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

,目标函数为: z ? x ? 0.5 y .

上述不等式表示的平面区域如图所示(含边界) 阴影部分表示可行域. 作直线 ,

l 0 : x ? 0.5 y ? 0 ,并作平行于 l 0 的一组直线 z ? x ? 0.5 y , ( z ? R) ,与可行域相交,其中有
一条直线经过可行域上的 M 点, 且与直线 x ? 0.5 y ? 0 距离最大, 这里 M 点是直线 x ? y ? 10

?x ? 4 ? x ? y ? 10 和 直 线 0.3x ? 0.1y ? 1.8 的 交 点 . 解 方 程 组 : ? 得 ? ,此时, ?y ? 6 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8
z ? 1? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7(万元) 答: . 投资人分别 4 万元和 6 万元时, 才能使可能的盈利最大? 2、解: (1)? f ( x) ? 2 x ? 0 的解集为 (1,3) ,所以可设: f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3) 且 a ? 0 ,

因 而
2

f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3) ? 2x ? ax 2 ? (2 ? 4a) x ? 3a

① ; 由

f ( x ) ? 6a ? 0
2



ax ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0


②, 因为方程②有两个相等的根, 所以 ? ? [?(2 ? 4a)] ? 4a ? 9a ? 0 ,

1 1 5a 2 ? 4a ? 1 ? 0 , 由于 a ? 0, 舍去a ? 1.将a ? ? 代入①得 f (x) 的 解得a ? 1或a ? ? . 5 5 1 2 6 3 解析式 f ( x) ? ? x ? x ? . 5 5 5 1 ? 2a 2 a 2 ? 4a ? 1 ) ? (2)由 f ( x) ? ax 2 ? 2(1 ? 2a) x ? 3a ? a ( x ? 及 a ? 0 ,可得 f (x) 的最 a a ? a 2 ? 4a ? 1 a 2 ? 4a ? 1 ? 0, ?? 大 值 为 ? . 由 ? 即 a 2 ? 4a ? 1 ? 0 , 解 得 a a ?a ? 0, ?
a ? ?2 ? 3或 ? 2 ? 3 ? a ? 0 . 故 当 f (x) 的 最大 值为 正数时 , 实数 a 的取 值 范围是
(??,?2 ? 3) ? (?2 ? 3,0) .


赞助商链接

专题复习三不等式及其应用

专题复习三 [高考要点] 高考要点 1. 系统地掌握不等式的性质; 2. 掌握不等式证明的常用方法; 3. 掌握均值不等式: 不等式及其应用 a+b a+b+c 3 ≥ ab ...

专题复习(三) 不等式

高二上学期期末复习适用高二上学期期末复习适用隐藏>> 专题复习三 不等式 出题人:季东桥 一、不等式的性质: 1、若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中不能成立的...

不等式专题复习三

一份很经典的不等式复习题,有用。隐藏>> 苏州大学数学科学学院之“苏大天元教育” 咨询电话:0512-65216745 不等式专题复习三 ——三个分式之和型【知识梳理】 1...

专题复习三 不等式及其应用

专题复习三 不等式及其应用_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高考复习专题专题复习三 [高考要点] 1. 系统地掌握不等式的性质; 2. 掌握不等式证明的常用方法; ...

中考数学复习之专题三_不等式和不等式组

中考专题复习 中考复习之专题三 不等式不等式组 教学准备一. 教学内容: 复习三 不等式不等式组 二. 教学目标: 1. 理解不等式,不等式的解等概念,会在...

专项复习(三)不等式

专项复习(三)不等式_高二数学_数学_高中教育_教育专区。◆高一数学必修三活动单◆ 编写:孟素萍 专题复习(三) 不等式【基础知识回顾】 不等式是刻画现实世界中不...

中考数学复习之专题三_不等式和不等式组

中考数学复习之专题三_不等式不等式组。中考专题复习:不等式不等式组!!!举手之劳,帮助你我……中考专题复习 中考复习之专题三 不等式不等式组 教学准备一...

高三数学二轮专题复习(第一层次)专题3-不等式问题

高三数学二轮专题复习(第一层次)专题3-不等式问题 - 专题 3:不等式问题(两课时) 班级 一、前测训练 1. 解下列不等式: 1 -2+x (1)-3x2+4x+4>0; (...

中考数学专题复习三不等式和不等式组试题浙教版

中考数学专题复习三不等式不等式组试题浙教版 - 不等式不等式组 教学准备 一. 教学内容: 复习三 不等式不等式组 二. 教学目标: 1. 理解不等式,不等式...

苏州市2012届高三数学二轮复习专题训练 3 不等式

苏州市2012届高三数学二轮复习专题训练 3 不等式_数学_高中教育_教育专区。专题...2 2 3 3 7 答案 3 3 n -例 12 .若不等式(-1)n 1(2a-1)< ( )...

更多相关标签