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专题复习三 不等式


专题复习三 不等式 出题人:季东桥 一、不等式的性质: 1、若 a ? b ? 0 ,则下列不等关系中不能成立的是( A.

) D. a ? b
2 2

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a?b a

C. | a |?| b |

2、已

知三个不等式:① ab ? 0 ;②

c d ? ;③ bc ? ad .以其中两个作条件,余下一 a b a 的范围. b

个作结论,则可组成_____________个正确命题. 3、若 ?6 ? a ? 8, 2 ? b ? 3, 分别求 2a ? b, a ? b,

4、若 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 , e ? 0 ,求证:

e e ? . a?c b?d

二、不等式的解法: 1、解不等式 (1) 4 ? 4 x ? 3x ? 0 (2)
2

1 2 x ? 2 x ? ?4 4

(3) (2 x ? 1)(x ? 3) ? 3( x ? 2)
2

(4)

1 ? 2x ?0 x?4

(5) x ?

2 ?2 x ?1

2、解关于 x 的不等式

(6) x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0

( 7 x2 ? a x? 4? 0 )

(8)ax2 ? ? a ? 2? x ?1 ? 0

3、已知不等式 ax ? 3x ? 6 ? 4 的解集为 {x | x ? 1或x ? b}
2

(1)求 a,b

;(2)解不等式

x?c ? 0 (c 为常数) ax ? b

4、若不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围.

5、若关于 x 的不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围.

6、已知函数 f ? x ? ? lg ? x ? 值范围.

? ?

a ? ? 2 ? ,若对任意 x??2, ??? 恒有 f ? x ? ? 0 ,试确定 a 的取 x ?

三、线性规划问题:

?x ? 2 1、若 x 、 y 满 足 约 束 条 件 ? y ? 2 , 则 z = x + 2 y 的 取 值 范 围 是 _____________ ? ?x ? y ? 2 ?

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 2 、 不 等 式 组 ?x ? y ? 3 ? 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为 ?y ? 2 ?

_____________

3 、 满 足 | x | + | y | ≤ 2 的 点 ( x , y ) 中 整 点 ( 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ) 有 __个

?x ? y ? 5 ? 4、 已 知 x、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? y ? 5 ? 0 , 使 z=x+ay(a>0) 取 得 最 小 ?x ? 3 ?
值的最优解有无数个,则 a 的值为 A、 - 3 B、 3 C、 - 1 D、 1 ( )

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 5 、 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
小值分别是( ) A、 13, 1 B、 13, 2

则 z=x +y 的 最 大 值 和 最

2

2

C、 13,

4 2 5 D 、 13 , 5 5
).

?x-y+2≤0, y ? 6、 已知变量 x,y 满足约束条件?x≥1, 则 的取值范围是( ?x+y-7≤0, x ?
9 A、[ ,6] 5 C、 (-∞,3]∪[6,+∞) 四、基本不等式的应用: 1、已知 0<x< 9 B、 (-∞, ]∪[6,+∞) 5 D、[3,6]

1 ,求函数 y=x(1-3x)的最大值; 3

2、求函数 f(x)=x+

1 的最小值. x ?1

3、已知 x>0,y>0,且

1 9 + =1,求 x+y 的最小值. x y

4、若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3, 求 ab 的取值范围.

5、某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200 平方米的三级污水处理池(平面图如图 3-4-2 所示),由于地形限制,长、宽都不能超过 16 米,如果池外周壁建造单价为每米 400 元,中 间两道隔墙建造单价为每米 248 元,池底建造单价为每平方米 80 元,池壁的厚度忽略不计,试 设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.

五、猜题 1、制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打 算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙 项目可能的最大盈利率分别为 100﹪和 50﹪, 可能的最大亏损分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求确保可能的 资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使可能的盈利 最大?

2、已知二次函数 f (x ) 的二次项系数为 a ,且不等式 f ( x) ? ?2 x 的解集为 (1,3) . (1)若方程 f ( x) ? 6a ? 0 有两个相等的根,求 f (x ) 的解析式; (2)若 f (x ) 的最大值为正数,求 a 的取值范围.

专题复习三 不等式答案 一、不等式的性质: 1、B 2、解:对命题②作等价变形:

c d bc ? ad ? ? ?0 a b ab

于是,由 ab ? 0 , bc ? ad ,可得②成立,即①③ ? ②;

bc ? ad ? 0 ,则 bc ? ad ,故①② ? ③; ab bc ? ad ? 0 ,则 ab ? 0 ,故②③ ? ①.∴可组成 3 个正确命题. 若 bc ? ad , ab
若 ab ? 0 , 3、解:? ?6 ? a ? 8, 2 ? b ? 3,??12 ? 2a ? 16,?10 ? 2a ? b ? 19,

1 1 1 a ? ? , ①当 0 ? a ? 8 时, 0 ? ? 4, 3 b 2 b a a ②当 ?6 ? a ? 0 时, ?3 ? ? 0, 由①②可知 ?3 ? ? 4 . b b 4、解:∵ c ? d ? 0 , ? c ? ?d ? 0 ,又 a ? b ? 0 , 1 1 e e ? ? ∴ a ? c ? b ? d ? 0 ,故 .而 e ? 0 ,∴ a?c b?d a?c b?d
又 ?3 ? ?b ? ?2,??9 ? a ? b ? 6, 又 二、不等式的解法: 2、⑥解:原不等式可化为 ( x ? 1)( x ? a) ? 0 ,( x ? 1)( x ? a) ? 0 的两根为 x1 ? 1, x2 ? a 当 a ? 1 时,不等式的解集为 ? 当 a ? 1 时,不等式的解集为 x 1 ? x ? a

? ?

? ?

当 a ? 1 时,不等式的解集为 x a ? x ? 1 ⑦解:∵ ? ? a ? 16
2

∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ;

当 a ? ?4 即Δ =0 时, 解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ? ;当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 ,此时两根 2?

? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 分别为 x1 ? , x2 ? ,显然 x1 ? x 2 , 2 2

? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? ∴不等式的解集为 ? x x ? 或x〈 ? 2 2 ? ? ? ?
⑧解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
2

解得方程 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ?
2

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a

∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ?

? ? ? ?

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? 或x ? ? 2a 2a ? ?

当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ?

? ?

1? ? 2?

? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ? a ? 0 时, 解集为 ? x | 当 ?x? ? 2a 2a ? ? ? ?
3、解: (1)因为不等式 ax ? 3x ? 6 ? 4 的解集为 {x | x ? 1或x ? b}
2

? x ? 1, x ? b 是方程 ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 的两根,?1 ? b ?

3 2 , b ? ? a ? 1, b ? 2 a a

(2)当 c ? 2 时,不等式的解集为 x x ? 2 当 c ? 2 时,不等式的解集为 x x ? c或x ? 2 当 c ? 2 时,不等式的解集为 x x ? 2或x ? c

?

?

?

?

?

?

4、解:我们可以用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即将元不等式化为:

m( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ,; 令 f (m) ? m( x 2 ? 1) ? (2x ? 1) , 则 ? 2 ? m ? 2 时 ,
2 ? ? f (?2) ? 0 ?? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 f (m) ? 0 恒成立,所以只需 ? 即? ,所以 x 的范围 ?2( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ? f (2) ? 0 ?

是 x?(

?1? 7 1? 3 , ). 2 2

5、解(1)当 m-1=0 时,元不等式化为 2>0 恒成立,满足题意; (2) m ? 1 ? 0 时,只需 ? 6、 解: 根据题意得:x ?

?m ? 1 ? 0
2 ?? ? (m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0

,所以, m ? [1,9) .

a ? 2 ? 1 在 x??2, ??? 上恒成立, a ? ? x 2 ? 3x 在 x??2, ??? 即: x
2

上恒成立,设 f ? x ? ? ?x ? 3x ,则 f ? x ? ? ? ? x ? 当 x ? 2 时, f ? x ?max ? 2 三、线性规划问题: 1、A 2、 B 所以 a ? 2

? ?

3? 9 ? ? 2? 4

2

3、 D

?x ? y ? 2 ?x ? y ? 2 ? 解 : |x|+ |y|≤ 2 等 价 于 ? ?? x ? y ? 2 ?? x ? y ? 2 ?

( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0) 作出可行域是正方 ( x ? 0, y ? 0) ( x ? 0, y ? 0)

形 内 部 ( 包 括 边 界 ) 容 易 得 到 整 点 个 数 为 13 个 , 选 D ,

y A

y x+y=5

x–y+5=0

x O x – 2y + 4 2x + y =0 2= 0 = 5 3x – y – 3 = 0

O

x=3 x

4、 D 2 2 5、 解 : 如 图 , 作 出 可 行 域 ,x +y 是 点 ( x, y) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 故 最 2 大 值 为 点 A( 2,3) 到 原 点 的 距 离 的 平 方 , 即 |AO| =13, 最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x+ y- 2=0 的 距 离 的 平 方 , 即 为 6、解析

4 ,选 C 5

y 5 是可行域内的点 M(x,y)与原点 O(0,0)连线的斜率,当直线 OM 过点( , x 2

9 y 9 y )时, 取得最小值 ;当直线 OM 过点(1,6)时, 取得最大值 6. 答案 A 2 x 5 x 四、基本不等式的应用:

1 1 1 3x ? (1 ? 3x) 2 1 ,∴1-3x>0.∴y=x(1-3x)= · 3x(1-3x)≤ [ ]= , 3 3 3 2 12 1 1 1 当且仅当 3x=1-3x,即 x= 时,等号成立.∴x= 时,函数取得最大值 . 6 6 12
1、∵0<x< 2、解:∵x>-1,∴x+1>0.∴f(x)=x+

1 1 1 =x+1+ -1≥2 ( x ? 1) ? -1=1. x ?1 x ?1 ( x ? 1)

当且仅当 x+1=

1 ,即 x=0 时,取得等号.∴f(x)min=1. x ?1

3、∵

1 9 1 9 y 9x + =1,∴x+y=(x+y)· + )=10+ ? ( . x y x y x y

∵x>0,y>0,∴

y 9x y 9x y 9x ? ≥2 =6.当且仅当 ? ,即 y=3x 时,取等号. ? x y x y x y



1 9 + =1,∴x=4,y=12.∴当 x=4,y=12 时,x+y 取得最小值 16. x y

4、解:? a ? 0, b ? 0,?a ? b ? 2 ab 由已知可得 ab ? 2 ab ? 3 ,? ab ? 9

200 200 米(0<x≤16,0< ≤16),∴12.5≤x≤16. x x 200 200 于是总造价 Q(x)=400(2x+2× )+248× 2× +80× 200. x x
5、解:设污水处理池的长为 x 米,则宽为

=800(x+

324 324 )+16 000≥800×2 x ? +16 000=44 800, x x

当且仅当 x=

324 (x>0),即 x=18 时等号成立,而 18 ? [12.5,16],∴Q(x)>44 800. x

下面研究 Q(x)在[12.5,16]上的单调性. 对任意 12.5≤x1<x2≤16,则 x2-x1>0,x1x2<162<324. Q(x2)-Q(x1)=800[(x2-x1)+324(

( x ? x1 )(x1 x2 ? 324) 1 1 <0, ? )]=800× 2 x 2 x1 x1 x2

∴Q(x2)>Q(x1).∴Q(x)在[12.5,16]上是减函数. ∴Q(x)≥Q(16)=45 000. 答:当污水处理池的长为 16 米,宽为 12.5 米时,总造价最低,最低造价为 45 000 元. 五、猜题: 1、解:设投资人分别用 x 万元、 y 万元投资甲、乙两个项目. 则:

? x ? y ? 10 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8 ? ? ?x ? 0 ?y ? 0 ?

,目标函数为: z ? x ? 0.5 y .

上述不等式表示的平面区域如图所示(含边界) 阴影部分表示可行域. 作直线 ,

l 0 : x ? 0.5 y ? 0 ,并作平行于 l 0 的一组直线 z ? x ? 0.5 y , ( z ? R) ,与可行域相交,其中有
一条直线经过可行域上的 M 点, 且与直线 x ? 0.5 y ? 0 距离最大, 这里 M 点是直线 x ? y ? 10

?x ? 4 ? x ? y ? 10 和 直 线 0.3x ? 0.1y ? 1.8 的 交 点 . 解 方 程 组 : ? 得 ? ,此时, ?y ? 6 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8
z ? 1? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7(万元) 答: . 投资人分别 4 万元和 6 万元时, 才能使可能的盈利最大? 2、解: (1)? f ( x) ? 2 x ? 0 的解集为 (1,3) ,所以可设: f ( x) ? 2 x ? a( x ? 1)( x ? 3) 且 a ? 0 ,

因 而
2

f ( x) ? a( x ? 1)( x ? 3) ? 2x ? ax 2 ? (2 ? 4a) x ? 3a

① ; 由

f ( x ) ? 6a ? 0
2



ax ? (2 ? 4a) x ? 9a ? 0


②, 因为方程②有两个相等的根, 所以 ? ? [?(2 ? 4a)] ? 4a ? 9a ? 0 ,

1 1 5a 2 ? 4a ? 1 ? 0 , 由于 a ? 0, 舍去a ? 1.将a ? ? 代入①得 f (x) 的 解得a ? 1或a ? ? . 5 5 1 2 6 3 解析式 f ( x) ? ? x ? x ? . 5 5 5 1 ? 2a 2 a 2 ? 4a ? 1 ) ? (2)由 f ( x) ? ax 2 ? 2(1 ? 2a) x ? 3a ? a ( x ? 及 a ? 0 ,可得 f (x) 的最 a a ? a 2 ? 4a ? 1 a 2 ? 4a ? 1 ? 0, ?? 大 值 为 ? . 由 ? 即 a 2 ? 4a ? 1 ? 0 , 解 得 a a ?a ? 0, ?
a ? ?2 ? 3或 ? 2 ? 3 ? a ? 0 . 故 当 f (x) 的 最大 值为 正数时 , 实数 a 的取 值 范围是
(??,?2 ? 3) ? (?2 ? 3,0) .


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