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2012年普通高等学校招生全国统一考试(文科数学)试题及答案-广东卷


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)

本试题共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 参考公式:

V ?
锥体的体积公式

1 Sh 3 ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高.

4 V ? ? R3 3 球的体积 ,其中 R

为球的半径。

x , x ,?, xn 的标准差 一组数据 1 2

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n , 其中 x 表示这组数

据的平均数。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出四个选项中,只有一项 符合题目要求。

3 ? 4i 1. 设 i 为虚数单位,则复数 i =(

)

( A) ?4 ? 3i

( B ) ?4 ? 3i

(C ) ? ? i ?
)

( D ) ? ? ?i

C M ?( 2.设集合 U ? {1, 2,3, 4,5,6}, M ? {1,3,5} ;则 U
( A) {?, ?, ?} ( B ) {1,3,5} (C ) {?, ?, ?}

(D) U

3. 若向量 AB ? (1, 2), BC ? (3, 4) ;则 AC ? (

??? ?

??? ?

??? ?

)

( A) (4, 6)

( B ) (?4, ?6)
)

(C ) (? ?, ? ? )

( D ) (?, ?)

4. 下列函数为偶函数的是(

( A) y ? sin x

( B ) y ? x3

(C ) y ? e x

( D ) y ? ln x ? ??

5. 已知变量

x , y 满足约束条件

?x ? y ? 1 ? ? x ?1 ? 0 ?x ? y ? 1 ?

,则 z ? x ? 2 y 的最小值为(

)

( A) 3

(B) 1
? ?

(C ) ? 5

( D ) ?6
)

6. 在 ?ABC 中,若 ?A ? 60 , ?B ? 45 , BC ? 3 2 ,则 AC ? (

( A) 4 3

(B) 2 3

(C ) ?

? (D) ?

7.某几何体的三视图如图 1 所示,它的体积为(

)

( A) 72?

( B ) 48?

(C ) ???
2 2

( D ) ???

8. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与圆 x ? y ? 4 相交于 A, B 两点, 则弦 AB 的 长等于( )

( A) 3 3

(B) 2 3

(C ) ?

(D) ?
)

9. 执行如下图所示的程序框图,若输入 n 的值为 6,则输出 s 的值为(

( A) 105

( B ) 16

(C ) ??

(D) ?

10.对任意两个非零的平面向量 ? 和 ? ,定义

? ?? ?

? ?? ? ? ? ? ?? ;若两个非零的平面向量 a, b 满足, a

?n ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?( , ) ? n ? Z} 4 2 ,且 a ? b, b ? a 都在集合 ? 2 与 b 的夹角 中,则 a ? b ? (

)

1 ( A) 2

(B) 1

? (C ) ?

? (D) ?

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题)

y?
11. 函数

x ?1 x 的定义域为_________。

12. 等比数列

{an } 满足

a2 a4 ?

1 2 2 ,则 a1a3 a5 ? _____ 。

13. 由正整数组成的一组数据

x1, x2 , x3 , x4 ,其平均数和中位数都是 2 ,且标准差等于 1 ,则这组

数据为_________。 (从小到大排列) (二)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线

C1 和 C2 的参数方程分别为

? 2 t ?x ? 1? ? 2 C2 : ? ? x ? 5 cos ? ? ? ?y ? ? 2 t C2 : ? 0 ?? ? ? y ? 5 sin ? ? ? ? ? 2 2 )和 ( 是参数, ( t 是参数),它们的交点坐标为
_______. 15.(几何证明选讲选做题)如图 3 所示,直线 PB 与圆 O 想切于点 B , D 是弦 AC 上的点,

?PBA ? ? DBA,若 AD ? m, AC ? n ,则 AB ? _______。

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

? x ? f( )? 2 f ( x) ? A cos( ? )( x ? R) 3 4 6 (本小题满分 12 分)已知函数 ,且 。
? ? , ? ? [0, ]
f (4? ? 4? 30 2? 8 ) ? ? , f (4 ? ? ) ? 3 17 3 5 ;求 cos(? ? ? ) 的值

(1)求 A 的值;(2)设

2 ,

17.(本小题满分 13 分)某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图 4 所示, 其中成绩 分组区间是: [50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 (1)求图中 a 的值; (2)根据频率分布直方图,估计这 100 名学生语文成绩的平均分; (3)若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数( x )与数学成绩相应分数段的人数( 示,求数学成绩在[50,90)之外的人数。

y )之比如下表所

18.( 本 小 题 满 分 13 分 ) 如 下 图 5 所 示 , 在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , AB ? 平 面 PAD ,

AB / /CD, PD ? AD , E 是 PB 中点,F 是 DC 上的点,且
边上的高。 (1)证明: PH ? 平面 ABCD ;

DF ?

1 AB 2 ,PH 为 ?PAD 中 AD

(2)若 PH ? 1, AD ? 2, FC ? 1 ,求三棱锥 E ? BCF 的体积; (3)证明: EF ? 平面 PAB .

19.( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 数 列

?an ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 数 列 ?Sn ? 的 前 n 项 和 为 Tn , 满 足

Tn ? 2Sn ? n2,n ? N * .
(1)求

a1 的值;(2)求数列 ?an ? 的通项公式。

x2 y 2 C1 : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) a b 20.(本小题满分 14 分)在平面直角坐标系 xoy 中, 已知椭圆 的左焦点为

F1 (?1, , 0)
1) 且点 P (0 , 在
直线 l 的方程。

C1 上。(1)求 C1 的方程;(2)设直线 l 同时与椭圆 C1 和抛物线 C2 : y 2 ? 4x 相切,求

21.( 本 小 题 满 分

14

分 ) 设

0 ? a ?1 , 集 合

A ? { x ? |R

?0 } x,

B ? {x ? R | 2x2 ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0},
3 2 D ? A ? B 。(1)求集合 D (用区间表示);(2)求函数 f ( x) ? 2x ? 3(1 ? a) x ? 6ax 在 D 内的极值

点。

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 40 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D A A D C B C B C 10 A

3 ? 4i (3 ? 4i )i ? ? 4 ? 3i i2 1. 【解析】选 D 依题意: i
2. 【解析】选 A 3. 【解析】选 A 4. 【解析】选 D 5. 【解 析】 选 C

CU M ? {?, ?, ?}

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? A C? A B B C( 4 , 6 ) ? ?
y ? sin x 与 y ? x3 是奇函数,, y ? e x 是非奇非偶函数
约束 条件 对 应 ?ABC 边 际及 内的 区域: A(1,0), B(?1, 2), C ? 1, ?2) , 则

z ? x ? 2 y ?[ ?5, 3]

6. 【解析】选 B

BC AC 3 2 AC ? ? ? ? AC ? 2 3 ? sin 60 sin 45? 由正弦定理得: sin A sin B
几 何 体 是 半 球 与 圆 锥 叠 加 而 成 , 它 的 体 积 为

7 .【 解 析 】 选 C

3 2 1 4 1 V ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? 52 ? 32 ? 30? 2 3 3

8.【解析】 B 选 的长

圆 x ? y ? 4 的圆心 O (0, 0) 到直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离
2 2

d?

?5 ?1 5 , AB 弦

AB ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 3

9. 【解析】选 C

s
i

1 1

1 3

3 5

15 7

10. 【解析】选 A

? ? ? a ? ? a ?b ? ? c o ? ? 0 , a ? s b? b

? b ? a

? ? ? ? c o?s ? 0a ? b (? b ?)a ? ? (

2

1 )? ?c o s 2

(0, )

? ? ? ? ? ? 1 ?n nn ? ?? ? (a ? b) ? (b ? a) ? 1 2 (n1 , n2 ? N * ) ? a ? b ? ? n ? Z} a ? b, b ? a 都在集合 ? 2 4 2。 中得:
二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11-13 题) 9. 【解析】 定义域为 [?1, 0) ? (0, ??) ,
2 1 3 5

y?

?x ?1 ? 0 x ?1 ? ?1 ? x ? 0 ? x 中的 x 满足:? x ? 0 或x?0

1 1 1 1 2 2 4 a2 a4 ? ? a3 ? , a1a3 a5 ? a3 ? aa a ? 4 , 2 2 4 10. 【解析】
11. 【 解 析 】 这 组 数 据 为 1,1,3,3 , 不 妨 设

x1 ? x2 ? x3 ? 得 4 : x

x2 ? x3 ? , x1 ? x2 ? x3 ? 8x4 ? 4

? x1 4? x4

?

s2 ? 1 ? ( x1 ? 2)2 ? ( x2 ? 2)2 ? ( x3 ? 2)2 ? ( x4 ? 2)2 ? 4 ? xi ? 2 ? 0,1,2
①如果有一个数为 0 或 4 ; 则其余数为 2 , 不合题意; ②只能取 (二)选做题(14 - 15 题,考生只能从中选做一题) 14.【解析】它们的交点坐标为 (2,1) ,

xi ? 2 ? 1

; 这组数据为 1,1,3,3 得:

C1 : x2 ? y2 ? 5( x, y ? 0), C2 : y ? x ?1 解得:交点坐标为

(2,1)
15.【解析】 AB ?

mn , ?PBA ? ?DBA ? ?ACB, ?BAD ? ?CAB ? ?BAD ? ?CAB 得:

AB AD ? ? AB 2 ? AC ? AD ? mn ? AB ? mn AC AB 。
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。

f ( ) ? 2 ? A cos ? 2 ? A ? 2 3 4 16.解:(1) 。 f (4? ?
(2)

?

?

? 8 4? 30 ? 15 15 ? ? ? [0, ] cos ? ? ) ? ? ? cos(? ? ) ? ? ? sin ? ? 2 ,? 17 。 3 17 2 17 17 ,

f (4 ? ?

? 3 2? 8 4 ? ? ? [0, ] sin ? ? ) ? ? cos ? ? 2 ,? 5, 3 5 5,

4 8 3 15 13 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? ? 5 17 5 17 85 ?
17.解:(1) (2a ? 0.02 ? 0.03 ? 0.04) ?10 ? 1 ? a ? 0.005 。 (2)平均分为 55 ? 0.05 ? 65 ? 0.4 ? 75 ? 0.3 ? 85 ? 0.2 ? 95 ? 0.05 ? 73 。

1 4 5 (0.005 ? ? 0.04 ? ? 0.03 ? ? 0.02) ? 10 ? 100 ? 90 2 3 4 (3)数学成绩在 [50,90) 内的人数为 人,数
学成绩在 [50,90) 外的人数为 100 ? 90 ? 10 人。 答:(1) a ? 0.005 ;(2)这 100 名学生语文成绩的平均分为 73 ;(3)数学成绩在 [50,90) 外的人数为

10 人。

、 18.(1)证明: AB ? 平面 PAD , PH ? 面 PAD ? PH ? AB ,又 PH ? AD, AD AB? 平面
ABCD ,

AD ? AB ? A ? PH ? 平面 ABCD 。

(2) E 是 PB 中点 ? 点 E 到面 BCF 的距离

h?

1 1 PH ? 2 2,

1 1 1 1 1 2 V ? S?BCF ? h ? ? ? FC ? AD ? h ? ?1? 2 ? ? 3 3 2 6 2 12 。 ? 三棱锥 E ? BCF 的体积

(3)取 PA 的中点为 G ,连接 DG, EG 。

PD ? AD ? DG ? PA ,又 AB ? 平面 PAD , AB ? 平面 PAB ? 平面 PAD ? 平面 PAB ,
又平面 PAD ? 平面 PAB ? PA , DG ? 平面 PAD ? DG ? 面 PAB ,

点 E , G 是棱 PB, PA的中点

? EG / /

1 1 AB DF / / AB ? EG/ / DF? DG/ / EF 2 2 ,又 ,得:

EF ? 平面 PAB 。
19.解:(1)在 (2) ?

Tn ? 2Sn ? n2,n ? N * 中,令 n ? 1 ? T1 ? 2S1 ?1 ? a1 ? 2a1 ?1 ? a1 ? 1 。

Tn ? 2Sn ? n2, Tn?1 ? 2Sn?1 ? (n ? 1)2 , 相 减 得 : Sn?1 ? 2Sn ? (2n ? 1) , ?

? Sn?2 ? 2Sn?1 ? (2n ? 3) ,
相减得:

an?2 ? 2an?1 ? 2 , a1 ? 1 ? S2 ? 2S1 ? 3 ? a2 ? 4 ,? a2 ? 2a1 ? 2 ,得 an?1 ? 2an ? 2 ,

an?1 ? 2an ? 2 ? an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) ,得:数列 {an ? 2} 是以 a1 ? 2 ? 3 为首项, 2 为公比的等
比数列,

? an ? 2 ? 3? 2

n?1

? an ? 3? 2n?1 ? 2 。

x2 ? y2 ? 1 b ? 1, c ? 1 ? a ? b2 ? c 2 ? 2 ,故椭圆 C1 的方程为: 2 20.解:(1)由题意得: 。
(2)①当直线 l 的斜率不存在时,设直线 l : x ? m ,直线 l 与椭圆 线

C1 相切 ? m ? ? 2 ,直线与抛物

C2 : y 2 ? 4x 相切 ? m ? 0 ,得: m 不存在。

C ② 当 直 线 l 的 斜 率 存 在 时 , 设 直 线 l : y ? kx ? m , 直 线 l 与 椭 圆 1 相 切
2 2 ? ( 1 ? k 2 x) ? k m x 2m ? 2 根0相 等 ? ?1 ? 0 ? m ? 2k ? 1 ; 直 线 与 抛 物 线 2 2 4 ? 2 ? 两

C2 : y 2 ? 4x 相切 ? k 2 x2 ? 2(km ? 2) x ? m 2 ? 0 两根相等

? ?2 ? 0 ? km ? 1,解得:
2

k?

2 2 2 ,m ? 2 k ? ? ,m ? ? 2 ? l : y ? ? ( x ? 2) 2 2 2 或 。
2

21.解:(1)对于方程 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 ,判别式 ? ? 9(1 ? a) ? 48a ? 3(a ? 3)(3a ?1) 。 因为 0 ? a ? 1 ,所以 a ? 3 ? 0 。

1 ? a ?1 D ? A ? ? 0, ??? 当3 时, ? ? 0 ,此时 B ? R ,所以 ; a?


1 3 时, ? ? 0 ,此时 B ? {x | x ? 1} ,所以 D ? (0,1) ? (1, ??) ;

0?a?


1 2 3 时, ? ? 0 ,设方程 2 x ? 3(1 ? a) x ? 6a ? 0 的两根为 x1 , x2 且 x1 ? x2 ,



x1 ?

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) x2 ? B ? {x | x ? x1或x ? x2} 4 4 , ,
3 (1 ? a ) ? 0 x x ? 3a ? 0 ,所以 x1 ? 0, x2 ? 0 ,此时, D ? (0, x1 ) ? ( x2 , ??) 2 , 1 2

x1 ? x2 ?

? (0,

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) )?( , ??) 4 4
0?a? 1 3

















D?(

3 ? a ?( 0

a? 1 a? , 4

?

) ?a ?

3? a 4

a( ? )

?? (


3

)

(

3

,

a?


1 1 ? a ?1 D ? ? 0, ??? 3 时, D ? (0,1) ? (1, ??) ;当 3 时, 。

2 ? ? (2) f ( x) ? 6 x ? 6(1 ? a) x ? 6a ? 6( x ?1)( x ? a) (0 ? a ? 1) ,由 f ( x) ? 0 ? a ? x ? 1 ,

? ? ??,a? 和 ?1, ??? 上为递增,在区间 ? a,1? 由 f ( x) ? 0 ? x ? a 或 x ? 1 ,所以函数 f ( x) 在区间
上为递减。

1 ? a ?1 D ? ? 0, ??? 当3 时,因为 ,所以 f ( x) 在 D 内有极大值点 a 和极小值点1 ; a?


1 1 a? 3 时, D ? (0,1) ? (1, ??) ,所以 f ( x) 在 D 内有极大值点 3;

0?a?


3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 1 D ? (0, )?( , ??) 3 时, 4 4

?

a?

3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ? 1) 3(1 ? a) ? 3(a ? 3)(3a ?1) ?1? 4 4 ,? f ( x) 在 D 内有极大值

点a。

0?a?
综上可知:当 点 a 和极小值点 1 。

1 1 ? a ?1 3 时, f ( x) 在 D 内有极大值点 a ;当 3 时, f ( x) 在 D 内有极大值


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