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导数题型专练2


导数题型练习

考试要求
导数定义及其几何意义 导数的运算

典题精讲
【例 1】 设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6 x ? a . (1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若 2

方程 f ( x

) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解(1) f ' ( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) , 因为 x ? (??, ??) , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0
' 2

恒成立, 所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

' ' ' (2) 因为 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ;

所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ;

故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ?

5 . 2

【例 2】 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

(Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点( 处的切线斜率 1,f( 1 )) (Ⅱ)求函数的单调区间与极值; (Ⅲ)已知函数 f ( x ) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。 若对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。 【解】当 m ? 1时, f ( x) ? 处的切线斜率为 1 (2)解析 f ' ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m 因为 m ? 0, 所以 1? m ? 1? m 当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

1 3 x ? x 2 , f / ( x) ? x 2 ? 2 x, 故f ' (1) ? 1所以曲线 y ? f ( x)在点( 1,f( 1 )) 3

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)
+

f ( x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。

2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 2 1 2 (3)解析 由题设, f ( x) ? x(? x ? x ? m ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 4 2 2 所以方程 ? x ? x ? m ? 1 =0 由两个相异的实根 x1 , x 2 ,故 x1 ? x2 ? 3 ,且 ? ? 1 ? ( m ? 1) ? 0 ,解 3 3 1 1 得 m ? ? (舍),m ? 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2 1 若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 3
函数 f ( x ) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = 若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0, 则 f ( x) ?? ?

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 ,所以函数 f ( x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最小值为 0,于是对 3
2

任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m ?

1 3 3 ? 0 ,解得 ? ?m? 3 3 3

综上,m 的取值范围是 ( , 【例 3】

1 3 ) 2 3

已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 9a2 x ? a3 .设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值;(2)若 a ?

1 ,且当 x ??1, 4a? 时, 4

f ' ( x) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围.
【解】 (Ⅰ)当 a=1 时,对函数 f ( x ) 求导数,得 f ' ( x) ? 3x2 ? 6 x ? 9. 令 f ' ( x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3. 列表讨论 f ( x), f ' ( x) 的变化情况:

x
f ' ( x)

(??, ?1)
+

?1
0 极大值 6

(-1,3) —

3 0 极小值-26

(3, ??)
+

f ( x)

所以, f ( x ) 的极大值是 f (?1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ?26. (Ⅱ) f ' ( x) ? 3x2 ? 6ax ? 9a 2 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称. 若

1 ? a ? 1, 则f ' ( x)在[1,4a]上是增函数,从而 4

f ' ( x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a 2 , 最大值是 f ' (4a) ? 15a 2 .
由 | f ' ( x) |? 12a, 得 ?12a ? 3x2 ? 6ax ? 9a2 ? 12a, 于是有

f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 ? ?12a, 且f ' (4a) ? 15a2 ? 12a.
1 4 ? a ? 1,由f ' (4a) ? 12a得0 ? a ? . 3 5 1 1 4 1 4 所以 a ? ( ,1] [? ,1] [0, ], 即a ? ( , ]. 4 3 5 4 5
由 f (1) ? ?12a得 ?
'

若 a>1,则 | f ' (a) |? 12a2 ? 12a.故当x ?[1, 4a]时 | f ' ( x) |? 12a 不恒成立. 所以使 | f ( x) |? 12a( x ?[1, 4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ].
'

1 4 4 5


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