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高一下学期数学(人教版必修4)第一章章末综合检测


必修四 第一章章末检测
(时间:100 分钟,满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是正确的) 1.下列角中终边与 330° 相同的角是( ) A.30° B.-30° C.630° D.-630° 解析:选 B.与 330° 终边相同的角为{α|α=330° +k· 360° ,k∈Z}

.当 k=-1 时,α=-30° . 2.半径为 π cm,圆心角为 60° 所对的弧长是( ) π π2 A. cm B. cm 3 3 2π 2π2 C. cm D. cm 3 3 2 π π 解析:选 B.l=|α|· r= × π= (cm),故选 B. 3 3 3.已知角 θ 的终边过点(4,-3),则 cos(π-θ)=( ) 4 4 A. B.- 5 5 3 3 C. D.- 5 5 解析:选 B.∵角 θ 的终边过(4,-3), 4 ∴cos θ= . 5 4 ∴cos(π-θ)=-cos θ=- . 5 cos(π+α) 4.已知 tan α=2,则 的值为( ) π cos( +α) 2 1 A.- B.-2 2 1 C. D.2 2 cos(π+α) -cos α 1 1 解析:选 C. = = = . π -sin α tan α 2 cos( +α) 2 π? π 5.把函数 y=sin? ) ?2x-4?的图象向左平移8个单位长度,所得到的图象对应的函数( A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.是非奇非偶函数 π π π π π 2x- ?=sin?2?x- ??,向左平移 个单位长度后为 y=sin?2?x- + ?? 解析:选 A.y=sin? 4 8 8 8?? ? ? ? ? ?? ? ? 8 =sin 2x,为奇函数,故选 A. 1 π 6.如果 cos(π+A)=- ,那么 sin( +A)=( ) 2 2 1 1 A.- B. 2 2 3 3 C.- D. 2 2 1 解析:选 B.cos(π+A)=-cos A=- , 2 1 π 1 则 cos A= ,sin( +A)=cos A= . 2 2 2

3π 7.函数 y=sin(3x+ )的图象的一条对称轴是( ) 4 π π A.x=- B.x=- 12 4 π 5π C.x= D.x=- 8 4 3 π π 1 π 解析:选 A.令 3x+ π= +kπ(k∈Z),得 x=- + kπ(k∈Z),当 k=0 时,x=- . 4 2 12 3 12 π π π 8.函数 y=tan( -x)(x∈[- , ]且 x≠0)的值域为( ) 2 4 4 A.[-1,1] B.(-∞,-1]∪[1,+∞) C.(-∞,1) D.[-1,+∞) π π π π 3π π π π 解析: 选 B.∵- ≤x≤ , ∴ ≤ -x≤ 且 -x≠ .由函数 y=tan x 的单调性, 可得 y=tan( - 4 4 4 2 4 2 2 2 x)的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞). π 9.已知函数 f(x)=sin(x- )(x∈R),下面结论错误的是( ) 2 A.函数 f(x)的最小正周期是 2π π 0, ?上是增函数 B.函数 f(x)在区间? ? 2? C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数 π 解析:选 D.因为 y=sin(x- )=-cos x, 2 所以 T=2π,A 正确; π? ? π? y=cos x 在? ?0,2?上是减函数,y=-cos x 在?0,2?上是增函数,B 正确;由图象知 y=- cos x 关于直线 x=0 对称,C 正确;y=-cos x 是偶函数,D 错误.故选 D. π 3π 10.当 x= 时,函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,则函数 y=f( -x)是( ) 4 4 π A.奇函数且图象关于点( ,0)对称 2 B.偶函数且图象关于点(π,0)对称 π C.奇函数且图象关于直线 x= 对称 2 π D.偶函数且图象关于点( ,0)对称 2 π π π 解析:选 C.当 x= 时,函数 f(x)=Asin(x+φ)(A>0)取得最小值,即 +φ=- +2kπ,k∈ 4 4 2 3π 3π 3π 3π 3π Z, 即 φ=- +2kπ, k∈Z, 所以 f(x)=Asin(x- )(A>0), 所以 y=f( -x)=Asin( -x- ) 4 4 4 4 4 π =-Asin x,所以函数为奇函数且图象关于直线 x= 对称,故选 C. 2 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 11.已知函数 y=3cos(π-x),则当 x=________时函数取得最大值. 答案:2kπ+π(k∈Z) cos(-585° ) 12. 的值等于________. sin 495° +sin(-570° ) cos(360° +225° ) 解析:原式= sin(360° +135° )-sin(360° +210° ) cos(180° +45° ) = sin(180° -45° )-sin(180° +30° )

2 2 = = 2-2. 2 1 + 2 2 - 答案: 2-2 1 13.一正弦曲线的一个最高点为( ,3),从相邻的最低点到这个最高点的图象交 x 轴于点 4 1 (- ,0),最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为________. 4 ?1-?-1??=2,求得 ω=π,再利用当 x=1时,πx+φ=π, 解析:由题知 A=3,由 T=4× ?4 ? 4?? 4 2 π 求出 φ= . 4 π? 答案:y=3sin? ?πx+4? π ? ?π ? 14.函数 f(x)=3sin(ωx+φ)对任意实数 x 都有 f? ?3+x?=f?3-x?恒成立,设 g(x)=3cos(ωx π? +φ)+1,则 g? ?3?=________. π ? ?π ? 解析:∵f? ?3+x?=f?3-x?, π ∴函数 f(x)=3sin(ωx+φ)关于直线 x= 对称, 3 π ? 3. 即 f? ?3?=± π ? π ,0 对称,即 h? ?=0. ∴h(x)=3cos(ωx+φ)关于? 3 ? ? ?3? π? ?π? ∴g? ?3?=h?3?+1=1. 答案:1 π π 15.已知 ω>0,函数 f(x)=sin(ωx+ )在( ,π)上单调递减,则 ω 的取值范围是________. 4 2 π π π 解析:因为 ω>0,f(x)=sin(ωx+ )在( ,π)上单调递减,所以函数 f(x)=sin(ωx+ )的周 4 2 4 π 期 T≥2(π- )=π.又 ω>0,所以 0<ω≤2. 2 π 因为 <x<π, 2 ωπ π π π 所以 + <ωx+ <ωπ+ , 2 4 4 4 0<ω≤2,

? ?ωπ+π≥π, 所以? 2 4 2 π 3π ? ?ωπ+4≤ 2 ,

1 5 解得 ≤ω≤ . 2 4 1 5 答案:[ , ] 2 4 三、解答题(本大题共 5 小题,每小题 10 分,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) sin2(π-α)· cos(2π-α)· tan(-π+α) 16.已知 f(α)= . sin(-π+α)· tan(-α+3π)

(1)化简 f(α); 1 π π (2)若 f(α)= ,且 <α< ,求 cos α-sin α 的值. 8 4 2 2 sin α· cos α· tan α 解:(1)f(α)= =sin α· cos α. (-sin α)(-tan α) 1 (2)由 f(α)=sin α· cos α= 可知, 8 2 2 (cos α-sin α) =cos α-2sin α· cos α+sin2α 1 3 =1-2sin α· cos α=1-2× = . 8 4 π π 又∵ <α< , 4 2 ∴cos α<sin α,即 cos α-sin α<0. 3 ∴cos α-sin α=- . 2 π? 17.已知函数 f(x)=2cos? ?3x+4?. (1)求 f(x)的单调递增区间. (2)求 f(x)的最小值及取得最小值时相应的 x 值. π 解:(1)令 2kπ-π≤3x+ ≤2kπ(k∈Z), 4 2kπ 5π 2k π π 解得 - ≤x≤ - (k∈Z). 3 12 3 12 ∴f(x)的单调递增区间为 ?2kπ-5π,2kπ- π ?(k∈Z). ? 3 12 3 12? π (2)当 3x+ =2kπ-π(k∈Z)时,f(x)取最小值-2. 4 2kπ 5π 即 x= - (k∈Z)时,f(x)取得最小值-2. 3 12 18. 如图,一个水轮的半径为 4 m,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动 5 圈, 如果从水轮上点 P 从水中浮现时(图中点 P0)开始计算时间.

(1)将点 P 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数; (2)点 P 第一次到达最高点大约需要多长时间? π 解:(1) 建立如图所示的直角坐标系.设角 φ(- <φ<0)是以 Ox 为始边,OP0 为终边的 2 5× 2π π 角.OP 每秒钟所转过的角为 = , 60 6

π 则 OP 在时间 t(s)内所转过的角为 t. 6 π 由题意可知水轮逆时针转动,得 z=4sin( t+φ)+2. 6 1 π 当 t=0 时,z=0,得 sin φ=- ,即 φ=- . 2 6 π π 故所求的函数关系式为 z=4sin( t- )+2. 6 6 π π π π (2)令 z=4sin( t- )+2=6,得 sin( t- )=1, 6 6 6 6 π π π 令 t- = ,得 t=4,故点 P 第一次到达最高点大约需要 4 s. 6 6 2 π 19.设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),已知它的一条对称轴是直线 x= . 8 (1)求 φ. (2)求函数 f(x)的递减区间. (3)画出 f(x)在[0,π]上的图象. π π π 解:(1)因为函数 f(x)的一条对称轴是直线 x= ,所以 2× +φ=kπ+ ,k∈Z. 8 8 2 3π 因为-π<φ<0,所以 φ=- . 4 3π (2)由(1)知 f(x)=sin(2x- ), 4 π 3π 3π +2kπ≤2x- ≤ +2kπ,k∈Z, 2 4 2 5π 9π 即 +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z. 8 8 所以函数 f(x)的递减区间为 ?5π+kπ,9π+kπ?(k∈Z). 8 ?8 ? 3π (3)由 f(x)=sin(2x- )列表如下: 4 π 3π x 0 8 8 2 y 0 -1 - 2 故函数 f(x)在[0,π]上的图象如图.

5π 8 1

7π 8 0

π - 2 2

π π π 20.已知函数 f(x)=2cos( - x- ). 2 4 4 (1)求函数 f(x)的对称轴; (2)将函数 f(x)的图象上所有的点向左平移 1 个单位长度,得到函数 g(x)的图象,若函数 y =g(x)+k 在(-2,4)上有两个零点,求实数 k 的取值范围. π π π 解:(1)因为 f(x)=2cos( - x- ), 2 4 4

π π 所以 f(x)=2sin( x+ ). 4 4 π π π 令 x+ = +kπ,k∈Z. 4 4 2 解得 x=1+4k,k∈Z, 所以函数 f(x)的对称轴为 x=1+4k,k∈Z. (2)依题意,将函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位长度后,得到的图象对应的函数解析式为 π π π g(x)=2sin[ (x+1)+ ]=2cos x, 4 4 4 函数 y=g(x)+k 在(-2,4)上有两个零点, 即函数 y=g(x)与 y=-k 在 x∈(-2,4)上有两个交点,如图所示,

所以 0<-k<2,即-2<k<0, 所以实数 k 的取值范围为(-2,0).


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