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江苏省高二圆锥曲线测试题(含答案)

时间:2014-11-24


高二数学圆锥曲线练习
一、选择题:
2 2 1.已知动点 M 的坐标满足方程 13 x + y =|12 x + 5 y - 12 | ,则动点 M 的轨迹是(



A. 抛物线 2.设 P 是双曲线

B.双曲线

C. 椭圆

D.以上都不对

x2 y2 ? ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, F1 、F2 9 a2

分别是双曲线的左、右焦点,若 | PF1 A. 1 或 5 B. 1 或 9

|? 5 ,则 | PF2 |? (
C. 1

) D. 9

3、设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ). A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D.

2 ?1
)条

4.过点(2,-1)引直线与抛物线 y ? x 2 只有一个公共点,这样的直线共有( A. 1 B.2 C. 3 D.4

5.已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y)满足PA? PB ? y 2 ,则点 P 的轨迹是 ( A.圆
2 2

)

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线

x y ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 36 9 A x ? 2y ? 0 B x ? 2y ? 4 ? 0 C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D x ? 2y ? 8 ? 0 2 2 7、无论 ? 为何值,方程 x ? 2 sin ? ? y ? 1所表示的曲线必不是( )
6.如果椭圆
王新敞
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王新敞
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新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

A. 双曲线
2

B.抛物线
2 2

C. 椭圆

D.以上都不对

8. 方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图应是





A

B

C

D

2 9.抛物线 y = x 上的点到直线 2 x - y = 4 的最短距离是

A

3 5 5

B

4 5 5

C

13 5 5
1

D

9 5 20

10.椭圆

x2 y 2 + = 1 , A1 A2 为长轴, B1B2 为短轴,F 为靠近 A1 点的焦点,若 B2 F ^ A1B1 , a 2 b2

则椭圆的离心率为 A

5-1 2

B

3-1 2

C

1 2

D

2 2

二、填空题 x2 y2 x2 y2 1.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)离心率为 3 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为_________ 2 a b a b 2 抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点距离为 5,则抛物线方程为 ________________ 3. 圆的方程是(x-cos?)2+(y-sin?)2= 1 ,当 ? 从 0 变化到 2? 时, 动圆所扫过的面积是______ 2

4.若过原点的直线与圆 x 2 + y 2 + 4 x +3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是 _______________ 5. 椭圆
x2 y2 点 P 在椭圆上, 如果线段 PF1 中点在 y 轴上, 那么|PF1| ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2, 12 3

是|PF2|的 ________倍 6.以原点为圆心,且截直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 所得弦长为 8 的圆的方程是__________ 7.如果实数 x、y 满足等式 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,则

y 最大值_________ x

8.已知x,y满足 ?

?| x ? y |? 1 ,求z=|3x-y-7|的值域为_________ ? 1 ? x ? 1 ?
y2 =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A, B 两点,若|AB|=4,则这样的直 2
A

9.过双曲线 x2-

线 l 有_________条 10.如图,过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物 线于点 A.B,交其准线于点 C,若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 3 , 则此抛物线的方程为__________
O

y

F B

x

C

11.椭圆的焦点是 F1(-3,0)F2(3,0),P 为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差 中项,则椭圆的方程为_______________. 12. 若直线 m x ? ny ? 3 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 3 没有公共点, 则 m, n 满足的关系式为 .

2

2 2 以 ( m, n) 为点 P 的坐标, 过点 P 的一条直线与椭圆 x ? y ? 1 的公共点有 7 3

个.

13.设点 P 是双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 上一点,焦点 F(2,0),点 A(3,2),使|PA|+ 1 |PF|有 3 2

最小值时,则点 P 的坐标是____________. 14.AB 是抛物线 y=x2 的一条弦,若 AB 的中点到 x 轴的距离为 1,则弦 AB 的长度的最大值 为 . 三、解答题

x2 y2 ? ? 1 共焦点,且过点 (3 2 ,2) 的双曲线方程。 15.求与双曲线 16 4

2 2 16.P 为椭圆 x ? y ? 1 上一点, F1 、 F2 为左右焦点,若 ?F1 PF2 ? 60? 25 9 (1) 求△ F1 PF2 的面积;

(2) 求 P 点的坐标.

3

17.已知抛物线 y 2 ? 4 x ,焦点为 F,顶点为 O,点 P 在抛物线上移动,Q 是 OP 的中点, M 是 FQ 的中点,求点 M 的轨迹方程.

18、.如图,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A( x1 , y1 ),B ( x 2 , y 2 )均在抛物线上。 (1)写出该抛物线的方程及其准线方程 (2) 当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时, 求 y1 ? y 2 的值及直线 AB 的斜率
y P O x

A B

4

19.已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) ,右 顶点为 D (2, 0) ,设点 A ?1, ? . (1)求该椭圆的标准方程; (2)过原点 O 的直线交椭圆于点 B, C ,求 ?ABC 面积的最大值。

? 1? ? 2?

x2 y2 x2 y2 *20.椭圆 C1: 2 ? 2 =1(a>b>0)的左右顶点分别为 A、B.点 P 双曲线 C2: 2 ? 2 =1 a b a b
在第一象限内的图象上一点,直线 AP、BP 与椭圆 C1 分别交于 C、D 点.若△ACD 与△PCD 的面积相等. (1)求 P 点的坐标; (2)能否使直线 CD 过椭圆 C1 的右焦点,若能,求出此时双曲线 C2 的离心率,若不 能,请说明理由.

21、点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭 36 20

圆上,且位于 x 轴上方, PA ? PF 。 (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点 到点 M 的距离 d 的最小值。

5

高二圆锥曲线测试题
一、选择题:
2 2 1.已知动点 M 的坐标满足方程 13 x + y =|12 x + 5 y - 12 | ,则动点 M 的轨迹是(



A. 抛物线

B.双曲线

C. 椭圆

D.以上都不对

x2 y2 ? 1 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0, F1 、F2 2.设 P 是双曲线 2 ? 9 a
分别是双曲线的左、右焦点,若 | PF1 A. 1 或 5 B. 1 或 9

|? 5 ,则 | PF2 |? (
C. 1

) D. 9

3、设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ). A.

2 2

B.

2 ?1 2

C. 2 ? 2

D.

2 ?1
)条

4.过点(2,-1)引直线与抛物线 y ? x 2 只有一个公共点,这样的直线共有( A. 1 B.2 C. 3 D.4

5.已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y)满足PA? PB ? y 2 ,则点 P 的轨迹是 ( A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线

)

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( ) 6.如果椭圆 36 9 A x ? 2y ? 0 B x ? 2y ? 4 ? 0 C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D x ? 2y ? 8 ? 0 2 2 7、无论 ? 为何值,方程 x ? 2 sin ? ? y ? 1所表示的曲线必不是( )
王新敞
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王新敞
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新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

A. 双曲线
2

B.抛物线
2 2

C. 椭圆

D.以上都不对

8. 方程 mx ? ny ? 0 与 mx ? ny ? 1 ( m ? n ? 0) 的曲线在同一坐标系中的示意图应是





A D
2 10.抛物线 y = x 上的点到直线 2 x - y = 4 的最短距离是

B

C

6

A

3 5 5

B

4 5 5

C

13 5 5

D

9 5 20

10.椭圆

x2 y 2 + = 1 , A1 A2 为长轴, B1B2 为短轴,F 为靠近 A1 点的焦点,若 B2 F ^ A1B1 , a 2 b2

则椭圆的离心率为 A

5-1 2
ADDCD

B DBAAA

3-1 2

C

1 2

D

2 2

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B C A [4,10] A B C D C B 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) x2 y2 x2 y2 1.椭圆 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)离心率为 3 ,则双曲线 2 ? 2 ? 1 的离心率为 ( ) 2 a b a b 5 2 A. B. 5 C. D. 5 4 3 2 4 2 抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 P(m,1)到焦点距离为 5,则抛物线方程为 ( ) A. x 2 ? 8 y B. x 2 ? ?8 y C. x 2 ? 16y D. x 2 ? ?16y 1 3. 圆的方程是(x-cos?)2+(y-sin?)2= ,当 ? 从 0 变化到 2? 时, 动圆所扫过的面积是( ) 2
2 2 ) ? 2 2 2 4.若过原点的直线与圆 x + y + 4 x +3=0 相切,若切点在第三象限,则该直线的方程是

A. 2 2?

B.?

C. (1 ? 2 )?

D. (1 ?



) A. y ? 3 x B. y ? ? 3 x C. y ?
3 x 3

D. y ? ?

3 x 3

5. 椭圆

x2 y2 点 P 在椭圆上, 如果线段 PF1 中点在 y 轴上, 那么|PF1| ? ? 1 的焦点为 F1 和 F2, 12 3

是|PF2|的 A.7 倍 B.5 倍 C.4 倍 D.3 倍 6.以原点为圆心,且截直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 所得弦长为 8 的圆的方程是 A. x 2 ? y 2 ? 5 7.曲线 ? B. x 2 ? y 2 ? 25 C. x 2 ? y 2 ? 4
2 2

( (

) )

D. x ? y ? 16 ( D. 3 )

? x ? 2 cos? ( ? 为参数)上的点到原点的最大距离为 ? y ? sin ?
B. 2 C.2

A. 1

8.如果实数 x、y 满足等式 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 ,则

y 最大值 x





7

A.

1 2

B.

3 3

C.

3 2

D. 3

9.过双曲线 x2- 线l有 ( ) A.1 条

y2 =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A, B 两点,若|AB|=4,则这样的直 2

B.2 条
2

C.3 条

D.4 条

10.如图,过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A.B,交其准线于 点 C,若 BC ? 2 BF ,且 AF ? 3 ,则此抛物线的方程为 ( ) B. y 2 ? 3 x D. y 2 ? 9 x
C
O

y

A

3 x 2 9 C. y 2 ? x 2

A. y 2 ?

F B

x

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.
x2 y2 ? ?1 36 27

12. 0 ? m 2 ? n 2 ? 3 , 2

13. (

21 , 2) 3

14.

5 2

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. 由 于 所 求 双 曲 线 与 已 知 的 双 曲 线 共 焦 点 , 从 而 可 设 所 求 的 双 曲 线 方 程 为

x2 y2 ? ? 1。 16 ? k 4 ? k
由于点 (3 2 ,2) 在所求双曲线上,所以有

18 4 ? ? 1 ,整理得 k 2 ? 10k ? 56 ? 0 , 16 ? k 4 ? k

解得: k ? 4, 或k ? ?14 又 16 ? k ? 0,4 ? k ? 0,所以? 4 ? k ? 16 。 所以 k ? 4 ,故所求双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1。 12 8

16.(12 分)
[解析]:∵a=5,b=3? c=4 (1)设 | PF1 |?t 1 , | PF2 |? t 2 ,则 t1 ? t 2 ? 10 ①

t ? t ? 2t1t 2 ? cos60? ? 8
2 1 2 2

2

②,由① -②得 t1t 2 ? 12
2

? S ?F1PF2 ?

1 1 3 t1t 2 ? sin 60? ? ? 12 ? ?3 3 2 2 2 (2)设 P ( x, y ) ,由 S ?F PF ? 1 ? 2c? | y |? 4? | y | 得 4 | y |? 3 3 ?| y |? 3 3 ? y ? ? 3 3 ,将 1 2 4 2 4 5 13 , 5 13 3 3 或 5 13 3 3 或 3 3 代入椭圆方程解得 5 13 3 3 或 x?? ? P( , ) y?? P( ,? ) P(? , ) 4 4 4 4 4 4 4 4
P( ? 5 13 3 3 ,? ) 4 4
2

17.(12 分)[解析]:设 M( x , y ),P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ),易求 y ? 4 x 的焦点 F 的坐标为(1,0)

8

∵ M 是 FQ 的 中 点 , ∴
x1 2 y y2 ? 1 2

x?

1 ? x2 2 y2 y? 2

?

x2 ? 2x ?1 y2 ? 2 y

, 又 Q 是 OP 的 中 点 ∴

x2 ?

?

x1 ? 2 x 2 ? 4 x ? 2 y1 ? 2 y 2 ? 4 y



∵P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,∴ (4 y) 2 ? 4(4 x ? 2) ,所以 M 点的轨迹方程为 y 2 ? x ? 1 .
2

18. 解:(1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y 2 ? 2 px

? 点 P(1,2)在抛物线上

?22?p?, 1 得p?2
故所求抛物线的方程是 y ? 4 x
2

准线方程是 x ? ?1

……4 分

(2)设直线 PA 的斜率为 k PA ,直线 PB 的斜率为 k PB 则 k PA ?

y1 ? 2 y ?2 ( x1 ? 1) , k PB ? 2 ( x 2 ? 1) x1 ? 2 x2 ? 1
……6 分

? PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补 ? k PA ? ? k PB
由 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 )在抛物线上,得

y1 ? 4 x1
2

(1) (2)

y2 ? 4 x2
2

?

y1 ? 2

1 2 1 2 y1 ? 1 y2 ? 1 4 4 ? y1 ? 2 ? ? ( y 2 ? 2 ) ? y 1 ? y 2 ? ?4
由(1)-(2)得直线 AB 的斜率

??

y2 ? 2

k AB ?

y 2 ? y1 4 4 ? ? ? ? ?1( x1 ? x 2 ) x 2 ? x1 y1 ? y 2 4

……12 分

9

19.(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1.

又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入

x2 ? y2 ? 1, 4
),

解得 B(

2 4k 2 ? 1

,

2k 4k 2 ? 1
2

),C(-

2 4k 2 ? 1

,-

2k 4k 2 ? 1
k? 1 2

则 BC ? 4

1? k

1 ? 4k 2

,又点 A 到直线 BC 的距离 d=

1? k 2

,

∴△ABC 的面积 S△ABC=

2k ? 1 1 AB ? d ? 2 1 ? 4k 2

于是 S△ABC= 由

4k 2 ? 4k ? 1 4k ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1

4k 1 ≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=- 时,等号成立. 2 2 4k ? 1

∴S△ABC 的最大值是 2 . 20.(14 分)[解析]:(1)设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0),又有点 A(-a,0),B(a,0). ? S ?ACD ? S ?PCD , 2 x ? a y0 ( x ? a) 2 y 0 ,得 0 ? C为AP的中点,? C ( 0 , ). 将C点坐标代入椭圆方程 ? 2 ?4, 2 2 2 a b
2 2 2 ( x ? a) 2 x 0 ? 2 ? 5 , ? x0 ? 2a( x0 ? ?a舍去),? y 0 ? 3b ,? P(2a, 3b) . 又 x0 ? y 0 ? 1 ? 0 2 2 2

a

b

a

a

2 2 (2)? K PD ? K PB ? y 0 ? 3b , 直线PD : y ? 3b ( x ? a) 代入 x ? y ? 1 ? 2 x 2 ? 3ax ? a 2 ? 0 2 2

x0 ? a

a

a

a

b

? xD ?

a ( x D ? a舍去) ,? C( x0 ? a , y0 ),即C( a , 3 b) ∴CD 垂直于 x 轴.若 CD 过椭圆 C1 的右焦 2 2 2 2 2
2 a 2 ? b 2 ,? b ? 3 a,? e ? 2 a 2 ? b2 7 故可使 ? . a 2

点,则 a ?

CD 过椭圆 C1 的右焦点,此时

21(14 分)解:(1)由已知可得点 A(-6,0),F(0,4) 设点 P( x , y ),则 AP =( x +6, y ), FP =( x -4, y ),由已知可得

? x2 y 2 ?1 ? ? ? 36 20 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?

10

则 2 x +9 x -18=0, x =

2

3 或 x =-6. 2

由于 y >0,只能 x =

3 5 3 ,于是 y = . 2 2

∴点 P 的坐标是(

3 5 3 , 2 2

(2) 直线 AP 的方程是 x - 3 y +6=0. 设点 M( m ,0),则 M 到直线 AP 的距离是 解得 m =2. 椭圆上的点( x , y )到点 M 的距离 d 有

m?6 2

.

于是

m?6 2

= m ? 6 ,又-6≤ m ≤6,

5 4 9 d 2 ? ( x ? 2 )2 ? y 2 ? x ?4 x2 ?4 ?2 0 ? x2 ? (x ? 2) , ?1 5 9 9 2 9 由于-6≤ m ≤6, ∴当 x = 时,d 取得最小值 15 2
说明:在解析几何中求最值:一是建立函数关系,利用代数方法求出相应的最值;再是 利用圆锥曲线的几何性质或者曲线的参数方程求最值。 C2 的离心率为 7 .
2

11


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