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高中数学人教版必修1第一章《13函数的单调性》课件


灵宝市第三高级中学:王丽芳

函数的单调性
第一课时
学科网

一.

新课引入:
首先观察两个函数的图象,找出它们的 函数值随自变量x变化的规律。
(1).

f ( x) ? x ? 2
y

(2).

>f ( x) ? ? x ? 2

f ( x) ? x ? 2

f ( x) ? ? x ? 2

y

o

x

o

x

y

y ? x2
f(x1) f(x2)

f(x2)

f(x1)

学.科.网

x x
1

2

o

x

1

x

x
2

当x1<x2<0时, 有f(x1)>f(x2),
f(x)在(-∞,0)上是减函数

当0<x1 <x2时, 有f(x1)<f(x2),
f(x)在(0,+∞)上是增函数

二、增、减函数的定义
一般地,设函数 y=f(x) 的定义域为I, 区间D?I
y

y ? f (x)
f (x 2 )

对任意的x1 ∈D、x2 ∈D且x1<x2 当x1 <x2 时,有f(x1)<f(x2), 则称f(x)在区间D上是增函数.
x

f (x )
1

O

x

1

x2

y ? f (x)
f (x1 )

当x1 <x2 时,有f(x1)>f(x2), 则称f(x)在区间D上是减函数.
x

f (x 2 )
O

x1

x2

注意几点:
(1)如果函数 y ? f (x) 在某个区间是增函数或减函数, 就说函数 y ? f (x) 在这一区间具有(严格的)单调 性,这一区间叫函数y ? f (x) 的单调区间。 (2)在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的,

减函数图象从左向右是下降的。
(3)函数的单调性是对定义域某个区间而言的。例如:
y ? x 2 在(0,??) 上为增函数,在 (??,0) 上为减

Z.x.x.k

函数;在

(??,??) 上就不具备单调性。



.知识应用与解题研究
图象,请根据图象说出 y ? f (x) 的单调区间,以 及在每一个区间上 y ? f (x) 是增函数还是减函数。
y

[例1] 如下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y ? f (x)

?5

?2

0 1

3

5

x

解:根据函数图象可知 函数 y ? f (x)单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],

其中y ? f (x) 在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间
[-2,1),[3,5]上是增函数。
Zx.xk

注意:函数的单调性是对某个区间而言的,对于单 独的一点,它的函数值是唯一确定的常数,不存在 单调性问题。

3 在 (0,??) 上是减函数。 x 证明:设 x1, x 2是 (0,??) 上的任意两个实数, 3( x2 ? x1 ) 且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 。 x1 x2 ? x , x ? ( 0, ?? )
[例2] 证明函数 f ( x) ?
1 2

?x x
1

2

? 0
1 2

又? x ? x ?x
2 1

? x ? 0
1 2

于是 f ( x ) ? f ( x ) ? 0 ? f (x ) ? f (x )
1 2

即 f ( x) ?

3 在 (0,??)上是减函数。 x

用定义证明函数在区间上是增或减函 数的步骤:
1.在此区间上任取两个实数 x1 , x2, 且 x1 ? x2 (取值)

f 2.将它们的函数值作差: ( x1 ) ? f ( x2 ) (作差)
3.判断差的符号。
z.xx.k

(判断符号)
(得出结论)

4. 得出结论。

一般地,判断函数的单调性,要严格地根据定义来判断。

练习1:证明函数 y ? x ? 1在(??,0) 上是减函数。
2

证明:设 x1 , x2 是区间 (??,0) 上的任意两个实数, 且 x1 ? x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )。

? x1 , x2 ? ( ?? ,0)且x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
y ? x 2 ? 1 在 (??,0) 上是减函数。 即 函数

2 [例3] 函数 y ? ? x ? 6 x ? 10 的单调增区间是



单调减区间是 分析:


y
19

y ? ? x 2 ? 6 x ? 10 ? ?( x ? 3) 2 ? 19

函数的图象如右图所示:

?单调增区间是(??,3]
单调减区间是 3,??) [

0 3

x

练习2:函数 y ? 3 x ? 5 为减函数的区间是



?3x ? 5 分析:y ? 3 x ? 5 ? ? ?? 3 x ? 5
它的图象如右图所示

5 (x ? ) 3 5 (x ? ) 3
y

5 故减区间是 (??, ) 3
0 5
3

x

思考题:已知函数 y ? x ? 2(a ? 2) x ? 5 在区间
2

(4,??)上是增函数,求 a 的取值范围。
分析:此函数图象是开口向上的抛物线,所以

在对称轴的右侧图象随自变量增大而上升。
即 x ?[2 ? a,??), 函数是增函数。
z.xx.k

y

?(4,??) ? [2 ? a,??)
4 x ? 2?a

0

x

?2 ? a ? 4 a ? ?2

三. 课堂小结:
1. 函数的单调性的找法—作图,根据图象找函数 的单调区间。 2. 函数的增减性的证明方法—定义法。

四. 作业布置:
1课本习题2.3
2.精编

Thank you for coming!

谢谢指导!
灵宝三高 芳 王丽


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