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2013文登二模文科数学


高三文科数学适应性练习

2013.3

一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? A. ?
1 2 ?i

1? i 1? i

,则

1 ? 2i z ?1

/>2

的共轭复数是
1 2 ?i

B. ?
? ? 1? 2?

C.

1 2

?i

D.

1 2

?i

[来源:学§科§网]

2.已知集合 A ? ? ? 1, ? , B ? ?x mx ? 1 ? 0 ? ,若 A ? B ? B ,则所有实数 m 组成的集合是

A. ? 0, ? 1, 2 ?

B. ? ?
?

?

1

? , 0 ,1 ? 2 ?

C. ? ? 1, 2 ?

D. ? ? 1, 0 , ?
? 2?

?

1?

3.下列各小题中, p 是 q 的充要条件的是 (1) p : co s ? ? co s ? ;
f (? x) f (x)
q : sin ? ? sin ? ;

(2) p :

? ? 1;

q : y ? f ( x ) 是奇函数;

(3) p : A ? B ? B ;

q : CU B ? CU A ;
2

(4) p : m ? 2 或 m ? 6 ; q : y ? x ? m x ? m ? 3 有两个不同的零点. A. (1)(3) B. (3)( 4 ) C. (3 ) D. ( 4 )

4.设某校高三女生的体重 y (单位: kg )与身高 x (单位: c m )具有线性相关关系,根
y 据一组样本数据 ( x i , y i )( i ? 1, 2, ...) , 用最小二乘法建立的回归方程为 ? ? 0 .8 5 x ? 8 5 .7 1 ,

则下列结论中不正确的是:

[来源:学#科#网]

A. y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线可能过样本点的中心 ( x , y ) C.若该校某女生身高增加 1cm ,则体重约增加 0 .8 5 kg D.若该校某女生身高为 1 7 0 cm ,则可判定其体重约为 5 8 .7 9 k g 5.设抛物线 x
2

? 12 y 的焦点为 F , 经过点 P ( 2 , 2 ) 的直线 l 与抛物线相交于 A , B 两点且

点 P 恰为 AB 的中点,则 AF ? BF ? A. 1 4 B. 1 2 C. 1 1 D. 1 0

6.一个样本容量为 2 0 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数列 { a n } ,若 a 3 ? 8 且 前 4 项和 S 4 ? 2 8 ,则此样本的平均数和中位数分别是 开始 A. 2 2 , 2 3 B. 2 3, 2 2 C. 2 3, 2 4 D. 2 3, 2 3
n ? 1, S ? 0

7.右面的程序框图中,若输出 S 的值为 1 2 6 ,则图中应填上的 条件为 A. n ? 5 B. n ? 6
?
6

C. n ? 7

D. n ? 8

?

否 是 (
n

8.设函数 f ( x ) ? s in ( 2 x ?

) ,则下列结论正确的是

) 输出 S 结束

A. f ( x ) 的图像关于直线 x ? B. f ( x ) 的图像关于点 (
?
6

?
3

对称

S ? S ?2

, 0 ) 对称

n ? n ?1

C. f ( x ) 的最小正周期为 ? ,且在 [ 0 , D.把 f ( x ) 的图像向右平移
?

?
12

] 上为增函数

个单位,得到一个偶函数的图像

12 ???? ? ??? ? ??? ? 9.设 O , A , B , M 为平面上四点, O M ? ? O A ? (1 ? ? ) O B , ? ? (0,1) ,则

A.点 M 在线段 A B 上 C.点 A 在线段 B M 上
3

B.点 B 在线段 A M 上 D. O , A , B , M 四点共线

10.已知函数 y ? x ? 3 x ? 2 c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则 c 的值为 A. 2 或 ? 2 B. ? 3 或 1 C. 1 或 ? 1
2 2

D. 3 或 ? 9

11.在平面直角坐标系 x o y 中,圆 C 的方程为 x ? y ? 8 x ? 1 5 ? 0 ,若直线 y ? kx ? 2 上至 少存在一点,使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆 C 有公共点 ,则 k 的最大值为 A. 2 B.
4 3

C.

2 3

D. 3

? 12.对于正实数 ? , M ? 为满足下述条件的函数 f ( x ) 构成的集合: x1 , x 2 ? R 且 x 2 ? x1 , 记

有 ? ? ( x 2 ? x1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? ? ( x 2 ? x1 ) .下列结论中正确的是 A. 若 f ( x ) ? M ? , g ( x ) ? M ? ,则 f ( x ) ? g ( x ) ? M ?
1 2

1

?? 2

B. 若 f ( x ) ? M ? , g ( x ) ? M ? 且 ? 1 ? ? 2 ,则 f ( x ) ? g ( x ) ? M ?
1 2

1

?? 2

C. 若 f ( x ) ? M ? , g ( x ) ? M ? ,则 f ( x ) ? g ( x ) ? M ?
1 2

1 ?? 2

D. 若 f ( x ) ? M ? , g ( x ) ? M ? 且 g ( x ) ? 0 ,则
1 2

f (x) g (x)

?M

?1 ?2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上. 13.设不等 式组 ?
?0 ? x ? 1 ?0 ? y ? 2

表示的平面区域为 D ,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐 .
2

标原点的距离大于 1 的概率是

2 14. 已 知 命 题 p : ? x ? ?1, 4 ? , x ? a , 命 题 q : ? x ? R , x ? 2 ax ? 2 ? a ? 0 , 若 命 题

“ p 且 q ”是真命题,则实数 a 的取值范围为 15.如图,已知球 O 的面上有四点 A , B , C , D ,
D A ? 平面 A B C , A B ? B C , D A ? A B ? B C ? 2 ,

.

则球 O 的体积与表面积的比为
?
2



[来源:学科网]

16.函数 f ( x ) ? 3 s in 数

x ? lo g 1 x 的零点的个
2



三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) 设 ? A B C 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 且 a c o s C ?
1 2 c ?b .

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 1 ,求 ? A B C 的周长 l 的取值范围. 18.(本小题满分 12 分) 高三某班有两个数学课外兴趣小组, 第一组有 2 名男生,2 名女生, 第二组有 3 名 男生, 2 名女生.现在班主任老师 要从第一组选出 2 人, 从第二组选出 1 人, 请 A C 他们在班会上和全班同学分享学习心得. B (Ⅰ)求选出的 3 人均是男生的概率; (Ⅱ)求选出的 3 人中有男生也有女生的概率. 19.(本小题满分 12 分) 如图, 在多面体 ABCDEFG 中, 平面 ABC ∥平面 DEFG ,AD ⊥平面 DEFG , BA ? AC , ED ? DG , EF ∥ DG . 且 AC ? 1, AB ? ED ? EF ? 2 , AD ? DG ? 4 . (Ⅰ)求证: BE ? 平面 DEFG ; (Ⅱ)求证: BF ∥平面 ACGD ; (Ⅲ)求三棱锥 A ? FBC 的体积. E D F G

20.(本题满分 12 分) 已知数列 { a n } 为公差不为 0 的等差数列, S n 为前 n 项和, a 5 和 a 7 的等差中项为 1 1 , 且 a 2 ? a 5 ? a 1 ? a 1 4 .令 b n ?
1 a n ? a n ?1 , 数列 { b n } 的前 n 项和为 T n .

[来源:学科网]

(Ⅰ)求 a n 及 T n ; (Ⅱ )是否存在正整数 m , n (1 ? m ? n ), 使 得 T1 , T m , T n 成等比数列?若存在,求出所有 的 m , n 的值;若不存在,请说明理由.

21.(本题满分 12 分) 已知函 数 f ( x ) ? ln ( e ? a ? 1)( a 为常数)是实数集 R 上的奇函数.
x

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x ) ? ? f ( x ) ? sin x 在区间 ? ? 1,1 ? 上是减函数,求实数 ? 的最大值; ( Ⅲ)若关于 x 的方程
ln x f (x) ? x ? 2 e x ? m 有且只有一个实数根,求 m 的值.
2

22.(本小题满分 14 分) 设点 P ( x , y ) 到直线 x ? 2 的距离与它到定点 (1, 0 ) 的距离之比为 2 , 并记点 P 的轨迹 为曲线 C . (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设 M ( ? 2 , 0 ) ,过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 E , F 两点,当线段 E F 的中点落 在由四点 C 1 ( ? 1, 0 ), C 2 (1, 0 ), B1 (0, ? 1), B 2 (0,1) 构成的四边形内(包括边界)时,求直线 l 斜 率的取值范围.

201303 文科数学 参考答案及评分标准
一、 B A C B D , D B C A C , B A
二、13. 1 ?
?
8

14. a ? 1 或 a ? ? 2

15. 1 : 3

16. 5

三.解答题 17.解(Ⅰ)由 a c o s C ?
1 2 c ? b 得 s in A c o s C ? 1 2 s in C ? s in B

????2 分

又 sin B ? sin ( A ? C ) ? sin A co s C ? co s A sin C
? 1 2 sin C ? ? c o s A sin C ,? sin C ? 0 , ? c o s A ? ?
2? 3

1 2

????4 分

又? 0 ? A ? ? ? A ?

????6 分
2 3 2 3 2 3

(Ⅱ)由正弦定理得: b ?

a sin B sin A

?

sin B , c ?

sin C

l ? a ? b ? c ? 1?

2 3

? s in B ? s in C ? ? 1 ?

? s in B ? s in ? A ? B ? ?
?
3

? 1?

2

(

1

sin B ?

3 2

cos B ) ? 1 ?

2 3

sin ( B ?

) ????9 分

3 2

? A ?

2? 3

,? B ? (0 ,

?
3

),? B ?

?
3

?(

?
3

,

2? 3

) , ????10 分

? s in ( B ?

?
3

)? (

3 2

,1]

故 ? A B C 的周长 l 的取值范围为 ( 2 ,

2 3 3

? 1] .

?? ??12 分

18(Ⅰ)记第一组的 4 人分别为 A1 , A 2 , a 1 , a 2 ;第二组的 5 人分别为 B1 , B 2 , B 3 , b1 , b 2 设“从第一组选出 2 人,从第二组选出 1 人”组成的基本事 件空间为 ? ,则
? ? { ( A1 , A 2 , B1 ), ( A1 , A 2 , B 2 ), ( A1 , A 2 , B 3 ), ( A1 , A 2 , b1 ), ( A1 , A 2 , b 2 ), ( A1 , a 1 , B1 ), ( A1 , a 1 , B 2 )( A1 , a 1 , B 3 )( A1 , a 1 , b1 )( A1 , a 1 , b 2 )( A1 , a 2 , B 1 ), ( A1 , a 2 , B 2 ), ( A1 , a 2 , B 3 ), ( A1 , a 2 , b1 ), ( A1 , a 2 , b 2 ), ( A 2 , a 1 , B1 )( A 2 , a 1 , B 2 )( A 2 , a 1 , B 3 )( A 2 , a 1 , b1 )( A 2 , a 1 , b 2 ), ( A 2 , a 2 , B1 )( A 2 , a 2 , B 2 )( A 2 , a 2 , B 3 )( A 2 , a 2 , b1 )( A 2 , a 2 , b 2 ), ( a 1 , a 2 , B1 )( a 1 , a 2 , B 2 )
( a 1 , a 2 , B 3 )( a 1 , a 2 , b1 )( a 1 , a 2 , b 2 )} 共有 30 种

?1 分

????4 分

设“选出的 3 人均是男生”为事件 A ,则 A ? { ( A1 , A 2 , B1 ), ( A1 , A 2 , B 2 ), ( A1 , A 2 , B 3 )} ,共 3 种
3 30 1 10 1 10

????5 分

? P ( A) ?

?

,所以选出的 3 人均是男生的概率为

????7 分

(Ⅱ)设“选出的 3 人中有男生也有女生”为事件 B ,设“都是女生”为事件 C , ?8 分

则 C ? { ( a 1 , a 2 , b1 )( a 1 , a 2 , b 2 )} , P ( C ) ?
? P ( B ) ? 1 ? P ( A ) ? P (C ) ? 1 ? 1 10 ?

2 30 1 ?

? 5 6
5 6

1 15

????10 分

15

所以选出的 3 人中有男生也有女生的概率为 19.(本小题满分 12 分)

.

????12 分

解:(Ⅰ)? 平面 ABC ∥平面 DEFG ,平面 ADEB ? 平面 ABC ? AB ,平面 ADEB ? 平面 DEFG ? DE ,? AB ∥ DE ???1 分

又? AB ? DE ,? 四边形 ADEB 为平行四边形,? BE ∥ AD ??3 分
? AD ? 面 DEFG ,? BE ? 平面 DEFG. ??4 分

(Ⅱ)设 DG 的中点为 M ,连接 AM , MF ,则 DM ?

1 2

DG ? 2 ,

A B

C

? EF ? 2, EF ∥ DG ,∴四边形 DEFM 是平行四边形????5 分

∴ MF ? DE且MF ∥ DE ,由(Ⅰ)知, ADEB 为平行四边形, ∴ AB ? DE且AB ∥ DE ,∴ AB ? MF 且AB ∥ MF , ∴四边形 ABFM 是平行四边形,????7 分 E D F G

即 BF ∥ AM ,又 BF ? 平面 ACGD ,故 BF ∥平面 ACGD ;????9 分 (Ⅲ)∵平面 ABC ∥平面 DEFG ,则 F 到平面 ABC 的距离为 AD ,????10 分
VA? FBC ? VF ? ABC ? 1 3 S ?ABC ? AD ? 1 1 4 ? ( ? 1? 2) ? 4 ? ????12 分 3 2 3

20 解:(Ⅰ)因为 { a n } 为等差数列,设公差为 d ,则由题意得
? a 5 ? a 7 ? 2 2 ? 2 a1 ? 1 0 d ? 2 2 ? ? a 2 ? a 5 ? a 1 ? a 1 4 ? ( a 1 ? d )( a 1 ? 4 d ) ? a 1 ( a 1 ? 1 3 d )

整理得 ? 所以 a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ? 1 ?????3 分 由 bn ?
1 a n ? a n ?1
1 2 (1 ?

? a1 ? 5 d ? 1 1 ? d ? 2 a1

?d ? 2 ? ? ? a1 ? 1

?

1 ( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)
? 1 3 ? 1 5 ?? ?

?

1

2 2n ? 1
? 1

(

1

?

1 2n ? 1
n

)

所以 T n ?

1 3

1 2n ? 1

2n ? 1

)?

2n ? 1

?????5 分

(Ⅱ)假设存在 由(Ⅰ)知, T n ?
n 2n ? 1

,所以 T1 ?

1 3

, Tm ?

m 2m ? 1

, Tn ?

n 2n ? 1

若 T1 , T m , T n 成等比,则有

T m ? T1 ? T n ? (
2 2

m 2m ? 1 ?

) ?
2

1

3 2n ? 1 3 n ?

?

n

?

m
2

2

4m ? 4m ? 1
2

?

n 6n ? 3

???8 分

?

4m ? 4m ? 1 m
2

6n ? 3 n

?

4m ? 1 ? 2m m
2

,。。。。。(1)

因为 n ? 0 ,所以 4 m ? 1 ? 2 m ? 0 ? 1 ?
2
?

6 2

? m ?1?

6 2

,?????10 分

因为 m ? N , m ? 1,? m ? 2, ,当 m ? 2 时,带入(1)式,得 n ? 1 2 ; 综上,当 m ? 2, n ? 1 2 可以使 T1 , T m , T n 成等比数列。?????12 分 21.解:(Ⅰ)? f ( x ) ? ln ( e ? a ? 1) 是实数集 R 上奇函数,
x

? f (0 ) ? 0 ,即 ln ( e ? a ? 1) ? 0 ? 2 ? a ? 1 ? a ? ? 1
0

??2 分. ??4 分

将 a ? ? 1 带入 f ( x ) ? ln e ? x ,显然为奇函数.
x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x ) ? ? f ( x ) ? sin x ? ? x ? sin x ,? g '( x ) ? ? ? co s x , x ? ? ? 1,1 ?
? 要 使 g ( x ) 是 区 间 ? ? 1,1 ? 上 的 减 函 数 , 则 有 g '( x ) ? 0 在 x ? ? ? 1,1 ? 恒 成 立 ,

? ? ? ( ? co s x ) m in ,所以 ? ? ? 1 .

??6 分

所以实数 ? 的最大值为 ? 1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知方程
ln x x
ln x f (x)

???7 分
? x ? 2 e x ? m ,即
2

ln x x

? x ? 2 e x ? m ,???8 分
2

令 f1 ( x ) ?

, f2 ( x ) ? x ? 2ex ? m
2

? f '1 ( x ) ?

1 ? ln x x
2

当 x ? ? 0 , e ? 时, f '1 ( x ) ? 0,? f 1 ( x ) 在 ? 0 , e ? 上为增函数; 当 x ? [ e , ? ? ) 时, f '1 ( x ) ? 0,? f 1 ( x ) 在 [ e , ? ? ) 上为减函数; 当 x ? e 时, f 1 ( x ) m a x ?
2

1 e


2

??????10 分
2

而 f 2 ( x ) ? x ? 2 ex ? m ? ( x ? e ) ? m ? e

当 x ? ? 0 , e ? 时 f 2 ( x ) 是减函数,当 x ? [ e , ? ? ) 时, f 2 ( x ) 是增函数,
? 当 x ? e 时, f 2 ( x ) m in ? m ? e .
2

? ?????11 分

只有当 m ? e ?
2

1 e

,即 m ? e ?
2

1 e

时,方程有且仅有一个实数根.????12 分
2 ,

22 解:(Ⅰ)有题意

|x?2| ( x ? 1) ? y
2 2

?

??????2 分

整理得

x

2

? y ? 1 ,所以曲线 C 的方程为
2

x

2

? y ? 1 ??????4 分
2

2

2

(Ⅱ)显然直线 l 的斜率 k 存在,所以可设直线
l 的方程为 y ? k ( x ? 2 ) .

设点 E , F 的坐标分别为 ( x1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), 线段 E F 的中点为 G ( x 0 , y 0 ) ,
? y ? k ( x ? 2) ? 由? x2 2 ? y ?1 ? ? 2

得 (1 ? 2 k ) x ? 8 k x ? 8 k ? 2 ? 0
2 2 2 2 2 2 2 2

[来源:Z#xx#k.Com]

由 ? ? (8 k ) ? 4 (1 ? 2 k )(8 k ? 2 ) ? 0 解得 ?

2 2

? k ?

2 2

.?(1)

????7 分

由韦达定理得 x1 ? x 2 ?
x0 ? x1 ? x 2 2

?8k

2 2

1 ? 2k

,于是
2k 1 ? 2k
2

=?

4k

2 2

1 ? 2k
2 2

, y0 ? k ( x0 ? 2 ) ?

?????8 分

因为 x 0 ? ?

4k

1 ? 2k

? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边,

又直线 C 1 B 2 , C 1 B1 ,方程分别为 y ? x ? 1, y ? ? x ? 1 所以点 G 在正方形内(包括边界)的充要条件为
? 2k ?4k ? ?1 ? 2 2 ? y0 ? x0 ? 1 ?1 ? 2k 1 ? 2k 即? ? 2 4k ? y0 ? ? x0 ? 1 ? 2k ? ?1 ?1 ? 2k 2 1 ? 2 k 2 ?
2

? 2 k ? 2 k ? 1 ? 0, ? 亦即 ? 2 ?2k ? 2k ? 1 ? 0. ?
2

??????12 分

解得 ?

3 ?1 2

? k ?

3 ?1 2

,?????(2)
3 ?1 2 3 ?1 2

由(1)(2)知,直线 l 斜率的取值范围是 [ ?

,

]. ??????14 分


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