nbhkdz.com冰点文库

北京市西城区2013届高考一模数学文试题(WORD解析版)

时间:


2013 年北京市西城区高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1. 分) (5 (2013?西城区一模)已知全集 U={x∈Z||x|<5},集合 A={﹣2,1,3,4},B={0,2,4}, 那么 A∩?UB=( ) A.{﹣2,1,

4} B.{﹣2,1,3} C.{0,2} D.{﹣2,1,3,4} 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:计算题. 分析:根据题意,由全集与集合 B,可得?UB,由集合 A,结合交集的意义,可得答案. 解答:解:根据题意,全集 U={x∈Z||x|<5}={﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3,4},B={0,2,4},
3801346

则?UB={﹣4,﹣3,﹣2,﹣1,1,3},A={﹣2,1,3,4}, 则 A∩(?UB)={﹣2,1,3}; 故选 B. 点评:本题考查交、并、补集的混合运算,关键要理解它们的意义.属于基础题.

2. 分) (5 (2013?西城区一模)复数 A.1+i B.﹣1+i

=(

) C.﹣1﹣i D.1﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:计算题. 分析:利用复数的除法运算法则,把原式的分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得出. 解答: 解:复数 = =1+i.
3801346

故选 A. 点评:熟练掌握复数的运算法则是解题的关键. 3. 分) (5 (2013?西城区一模)执行如图所示的程序框图.若输出 ,则输入角 θ=( )

A.

B.

C.

D.

考点:选择结构. 专题:图表型. 分析: 分 sinθ=﹣ 和 tanθ=﹣
3801346

时两种情况加以讨论,解方程并比较|θ|与

的大小,最后综合即

可得到本题的答案. 解答:解:根据程序框图中的算法,得输出的结果可能是 sinθ 或 tanθ, ①当输出的﹣ ②当输出的﹣ ∵|θ|= > 是 sinθ 时,即 sinθ=﹣ 是 tanθ 时,tanθ=﹣ ,此时 θ=﹣ ,﹣ ,﹣ <θ< <θ< ,此时 θ 不存在; ,此时 θ=﹣ ;

符合题意, .

综上所述可得输入的 θ=﹣

故选 D. 点评:本题以程序框图为载体,求方程的解,着重考查了算法语句与方程、三角函数等知识,属于 基础题. 4. 分) (5 (2013?西城区一模)设等比数列{an}的公比为 q,前 n 项和为 Sn,且 a1>0.若 S2>2a3, 则 q 的取值范围是( ) A. B. C. D.

考点:等比数列的性质;数列的函数特性. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由题意可得 a1>0,且 a1+a1q>2a1q2,解一元二次不等式求得 q 的取值范围,注意 q≠0 这个 隐藏条件. 解答:解:由题意可得 a1>0,且 a1+a1q>2a1q2,即 2q2﹣q﹣1<0,即 (2q+1) (q﹣1)<0.
3801346

解得﹣ <q<1,又 q≠0,∴q 的取值范围是



故选 B. 点评:本题主要考查数列的函数特性,等比数列的通项公式,一元二次不等式的解法,注意 q≠0 这 个隐藏条件, 这是解题的易错点,属于中档题. 5. 分) (5 (2013?西城区一模)某正三棱柱的三视图如图所示,其中正(主)视图是边长为 2 的正 方形,该正三棱柱的表面积是( )

A.

B.

C.

D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:利用三视图的数据,直接求解三棱柱的表面积. 解答:解:因为正三棱柱的三视图,其中正(主)视图是边长为 2 的正方形, 棱柱的侧棱长为 2,底面三角形的边长为 2,
3801346

所以表面积为:2×

+2×3×2=12+2



故选 C. 点评:本题考查几何体的三视图的应用,几何体的表面积的求法,考查计算能力.

6. 分) (5 (2013?西城区一模)设实数 x,y 满足条件

,则 y﹣4x 的最大值是(



A.﹣4

B.

C.4

D.7

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析:画出对应的平面区域,求出可行域中各个角点的坐标,分析代入后即可得到答案. 解答:解:满足约束条件的平面区域如下图所示:
3801346

联立

可得

,即 A(﹣1,0)

由图可知:当过点 A(﹣1,0)时,y﹣4x 取最大值 4. 故选 C.

点评:本题考查的知识点是简单线性规划,其中根据约束条件,画出满足约束条件的可行域并求出 各角点的坐标,是解答此类问题的关键. 7. 分) (5 (2013?西城区一模) 已知函数 f x) +bx+c, ( =x 则“c<0”是“?x0∈R, f x0) 使( <0”的 ( A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2



考点:特称命题;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:计算题. 分析:通过 c<0,判断函数对应的不等式有解,说明充分性;不等式有解,说明 c 的值不一定小于 0,判断必要性即可. 解答:解:函数 f(x)=x2+bx+c,则“c<0”时,函数与 x 有两个交点,所以“?x0∈R,使 f(x0)<0 成立.
3801346

而“?x0∈R,使 f(x0)<0”即 x +bx+c<0,△ =b ﹣4c>0,即 b >4c,c 不一定有 c<0, 2 综上函数 f(x)=x +bx+c,则“c<0”是“?x0∈R,使 f(x0)<0”的充分不必要条件; 故选 A. 点评:本题考查充要条件的判断与应用,二次函数与二次不等式的解集的关系,考查计算能力. 8. 分) (5 (2013?西城区一模)如图,正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,E 是棱 B1C1 的中点,动点 P 在底面 ABCD 内,且 PA1=A1E,则点 P 运动形成的图形是( )

2

2

2

A.线段 考点:轨迹方程.

B.圆弧

C.椭圆的一部分

D.抛物线的一部分

3801346

专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设正方体的棱长为 1,求得 PA1=A1E=

,求得 AP=

= ,从而根据圆的定义

以及题中条件得到点 P 运动形成的图形. 解答:解: 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, 是棱 B1C1 的中点, E 动点 P 在底面 ABCD 内, PA1=A1E, 且 设正方体的棱长为 1, 则且 PA1=A1E= = = ,∴AP= = .

故点 P 的轨迹是以 A 为圆心,以 为半径的圆弧(圆位于底面 ABCD 内的部分) , 故选 B. 点评: 本题主要考查圆的定义,勾股定理的应用,求得 AP= ,是解题的关键,属于中档题.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 分) (5 (2013?西城区一模)已知向量 =(1,0) =(0,1) , .若向量 +λ 与 λ + 垂直,则实 数 λ= 0 .

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析: 由题意可先求出, , ,然后由
3801346



垂直,结合向量的数量积的性

质可求 λ 解答: 解:由题意可得, ∵ 与 垂直

=(1,λ) ,

=(λ,1)

=2λ=0 ∴λ=0 故答案为:0 点评:本题主要考查了向量的数量积性质的坐标表示,属于基础试题

10. 分) (5 (2013?西城区一模)已知函数



= ﹣



考点:函数的值. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析:根据 f(x)解析式代入相应表达式即可求得答案. 解答:解:由 f(x)解析式可得:
3801346

f( )+f(﹣2)= 故答案为: .

+2 =

﹣2

+ =﹣2+ =﹣ ,

点评:本题考查对数函数、指数函数的求值问题,属基础题,准确把握相应运算法则是解题的基础.
2

11. 分) (5 (2013?西城区一模)抛物线 y =2x 的准线方程是 M(x0,y0)在此抛物线上,且 ,则 x0= 2 .

;该抛物线的焦点为 F,点

考点:抛物线的简单性质. 专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 根据抛物线的标准方程,可得抛物线开口向右,由 2p=2 得 = ,所以抛物线的准线方程为
3801346

;由抛物线的定义结合点 M 坐标可得 解答:解:∵抛物线方程为 y2=2x ∴可得 2p=2,得 = , 所以抛物线的焦点为 F( ,0) ,准线方程为 ∵点 M(x0,y0)在此抛物线上, ∴根据抛物线的定义,可得 即 故答案为: ,解之得 x0=2 ,2 ;

,解之可得 x0 的值.

点评: 本题给出抛物线的标准方程,求它的准线方程和满足

的点 M 的坐标.着重考查了抛

物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识,属于基础题. 12. 分) (5 (2013?西城区一模)某厂对一批元件进行抽样检测.经统计,这批元件的长度数据 (单 位:mm)全部介于 93 至 105 之间.将长度数据以 2 为组距分成以下 6 组:[93,95) ,[95,97) ,[97, 99) ,[99,101) ,[101,103) ,[103,105],得到如图所示的频率分布直方图.若长度在[97,103) 内的元件为合格品,根据频率分布直方图,估计这批产品的合格率是 80% .

考点:用样本的频率分布估计总体分布;频率分布直方图. 专题:计算题;概率与统计. 分析:根据除了长度位于[97,99)的小矩形的面积之和,算出位于它们的频率之和为 0.76,从而得 到长度位于[97,99)的数据的频率为 1﹣0.76=0.24,再算出长度在[97,103)内三组数据频 率,即可得到这批产品的合格率的估计值. 解答:解:∵长度位于[93,95) ,[95,97) ,[99,101) ,[101,103) ,[103,105]的小矩形的面积分 别为
3801346

S1=0.0275×2=0.055,S2=0.0275×2=0.055,S4=0.18×2=0.36,S5=0.10×2=0.20,S6=0.045×2=0.09, ∴长度位于[93,95) 、[95,97) 、[99,101) 、[101,103) 、 [103,105]的频率分别为 0.055、0.055、0.36、0.20、0.09 可得除了长度位于[97,99)的其它组数的频率之和为 0.055+0.055+0.36+0.20+0.09=0.76 ∴可得长度位于[97,99)数据的频率为 1﹣0.76=0.24 因此,长度在[97,103)内的数据的频率为 0.24+0.36+0.20=0.8 即可以估计这批产品的合格率是 0.80=80% 故答案为:80% 点评:本题给出频率分布直方图,求一批产品的合格率的估计值,着重考查了频率分布直方图的理 解和频率计算公式等知识,属于基础题.

13.5 分)2013?西城区一模) ( ( 在△ ABC 中, 内角 A, C 的对边边长分别为 a, c, B, b, 且 c=10,则△ ABC 的面积是 24 .

. 若

考点:正弦定理;三角形的面积公式. 专题:计算题;解三角形. 分析:由题意得 acosA=bcosB,结合正弦定理化简得 sin2A=sin2B,所以 2A=2B 或 2A+2B=180°.由
3801346

于 a、b 不相等,得 A≠B,因此 A+B=90°,可得△ ABC 是直角三角形.根据 c=10 和 用勾股定理算出 b=6 且 a=8,即可得到△ ABC 的面积. 解答: 解:∵ ,∴acosA=bcosB,结合正弦定理得 sinAcosA=sinBcosB ∴2sinAcosA=2sinBcosB,即 sin2A=sin2B ∵A、B 是三角形的内角 ∴2A=2B 或 2A+2B=180°,可得 A=B 或 A+B=90° ∵ ,得 a、b 的长度不相等

,利

∴A=B 不成立,只有 A+B=90°,可得 C=180°﹣(A+B)=90° 因此,△ ABC 是直角三角形 设 b=3x,a=4x,可得 c= ∴x=2,于是 b=6 且 a=8, 由此可得△ ABC 的面积是 S= ab= ×8×6=24 故答案为:24 =5x=10

点评:本题给出△ ABC 的边角关系,叫我们判断三角形的形状并求三角形的面积,着重考查了利用 正弦定理解三角形、诱导公式和二倍角正弦的公式等知识,属于中档题. 14. 分) (5 (2013?西城区一模)已知数列{an}的各项均为正整数,其前 n 项和为 Sn.若 且 S3=29,则 a1= 5 ;S3n= 7n+22 .

考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析:通过对 a1 分 4k,4k+1,4k+2,4k+3(k∈N*)讨论,及与已知条件,结合 S3=29,即可求出
3801346

a1;通过求出 a1,a2,…,a9,知道:从 a4 开始数列{an}是一个周期为 3 的数列,进而即可得 到 S3n. 解答: 解: (1)①若 ,则 a2=2k,a3=k,∴S3=a1+a2+a3=7k=29, 不是整数, 舍去; ②若 a1=4k+1,则 a2=3(4k+1)+1=12k+4,a3=6k+2,∴S3=a1+a2+a3=22k+7=29,解得 k=1, ∴a1=5. ③若 a1=4k+2,则 解得 k= ,应舍去; ,则 S3=a1+a2+a3=22k+18=29,解 ,a3=3a2+1=3(2k+1)+1=6k+4,则 S3=a1+a2+a3=12k+7=29,

④若 a1=4k+3,则 a2=3(4k+3)+1=12k+10, 得 k= 不是整数,舍去.

综上可得:a1=5 (2)∵a1=5,a2=16,a3=8,∴a4=4,a5=2,a6=1,a7=4,a8=2,a9=1…. 可以看到:从 a4 开始数列{an}是一个周期为 3 的数列,即 an+3=an, (n≥4) . 因此,当 n≥2 时,S3n=29+7(n﹣1)=7n+22,当 n=1 时,上式也成立,故 S3n=7n+22. 点评:数列掌握分类讨论的思想方法和数列的周期性是解题的关键. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (13 分) (2013?西城区一模)已知函数 f(x)=sinx+acosx 的一个零点是 (Ⅰ)求实数 a 的值; 2 2 (Ⅱ)设 g(x)=[f(x)] ﹣2sin x,求 g(x)的单调递增区间. 考点:正弦函数的单调性;函数的零点. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析: (I)根据函数解析式,得 f( )=
3801346



,将 sin

=

、cos

=﹣

代入,即可解出 a 的值;

(II)由(Ⅰ)得 f(x)=sinx+cosx,由二倍角的余弦公式和辅助角公式,化简整理得 g(x) = ,结合正弦函数的单调性,解关于 x 的不等式即可得到求 g(x)的单调

递增区间. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=sinx+acosx,且 ∴ 即 , ,解之得 a=1.



(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=sinx+cosx. 2 2 ∴g(x)=[f(x)] ﹣2sin x =(sinx+cosx) ﹣2sin x=sin2x+cos2x= 解不等式 得 ,k∈Z. ,k∈Z. ,
2 2



∴函数 g(x)的单调递增区间为

点评:本题给出三角函数式,求实数 a 的值并求函数的单调区间,着重考查了三角恒等变换、不等 式的解法和三角函数的图象与性质等知识,属于基础题. 16. (14 分) (2013?西城区一模)在如图所示的几何体中,面 CDEF 为正方形,面 ABCD 为等腰梯 形,AB∥CD, ,AB=2BC=2,AC⊥FB. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 FBC; (Ⅱ)求四面体 FBCD 的体积; (Ⅲ)线段 AC 上是否存在点 M,使 EA∥平面 FDM?证明你的结论.

考点:直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析:(Ⅰ)利用勾股定理的逆定理即可得到 AC⊥CB,又 AC⊥FB,利用线面垂直的判定定理即 可证明; (Ⅱ) 利用 (Ⅰ) 的结论可得 AC⊥CF, CF⊥CD, 又 利用线面垂直的判定定理即可得出 FC⊥ 平面 ABCD. 利用等腰梯形的性质即可得出△ BCD 的面积, 利用三棱锥的体积公式即可得出; (Ⅲ)线段 AC 上存在点 M,且 M 为 AC 中点时,有 EA∥平面 FDM.利用正方形的性质、 三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明.
3801346

解答:(Ⅰ)证明:在△ ABC 中, ∵ ,AB=2,BC=1,∴AC +BC =AB . ∴AC⊥BC. 又∵AC⊥FB,BF∩CB=B, ∴AC⊥平面 FBC. (Ⅱ)解:∵AC⊥平面 FBC,∴AC⊥FC. ∵CD⊥FC,∴FC⊥平面 ABCD. 在 Rt△ ACB 中, ,∴∠CAB=30°,
2 2 2

∴在等腰梯形 ABCD 中可得∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°, ∴CB=DC=1, ∴FC=1. ∴△BCD 的面积 S= ∴四面体 FBCD 的体积为: = . .

(Ⅲ)解:线段 AC 上存在点 M,且 M 为 AC 中点时,有 EA∥平面 FDM,证明如下: 连接 CE 与 DF 交于点 N,连接 MN. 由 CDEF 为正方形,得 N 为 CE 中点. ∴EA∥MN. ∵MN?平面 FDM,EA?平面 FDM, ∴EA∥平面 FDM. 所以线段 AC 上存在点 M,使得 EA∥平面 FDM 成立.

点评:熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、等腰梯形的性质、三棱锥的体积公式、 正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键. 17. (13 分) (2013?西城区一模)某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次 停车不超过 1 小时收费 6 元, 超过 1 小时的部分每小时收费 8 元 (不足 1 小时的部分按 1 小时计算)现 . 有甲、乙二人在该商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (Ⅰ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求甲停车

付费恰为 6 元的概率; (Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概率. 考点:古典概型及其概率计算公式;互斥事件与对立事件. 专题:概率与统计. 分析:(Ⅰ)根据题意,由全部基本事件的概率之和为 1 求解即可.
3801346

(Ⅱ)先列出甲、乙二人停车付费之和为 36 元的所有情况,再利用古典概型及其概率计算公 式求概率即可. 解答:解: (Ⅰ)设“甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A, 则 .

所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是 . (Ⅱ)设甲停车付费 a 元,乙停车付费 b 元,其中 a,b=6,14,22,30. 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为: (6,6)(6,14)(6,22)(6,30)(14, , , , , 6)(14,14)(14,22)(14,30)(22,6)(22,14)(22,22)(22,30)(30,6) , , , , , , , , , (30,14)(30,22)(30,30) , , ,共 16 种情形. 其中, (6,30)(14,22)(22,14)(30,6)这 4 种情形符合题意. , , , 故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 .

点评:本题考查古典概型及其概率计算公式、独立事件和互斥事件的概率,考查利用所学知识解决 问题的能力. 18. (13 分) (2013?西城区一模)已知函数 f(x)=e +ax,g(x)=ax﹣lnx,其中 a≤0. (Ⅰ)求 f(x)的极值; (Ⅱ)若存在区间 M,使 f(x)和 g(x)在区间 M 上具有相同的单调性,求 a 的取值范围. 考点:函数在某点取得极值的条件;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析:(I)由导数运算法则知,f'(x)=ex+a,对字母 a 进行分类讨论,再利用导数与单调性关系 求出极值即可; (II)对于存在性问题,可先假设存在,即假设存在实数 a 的值,使函数 f(x)和函数 g(x) 在 M 上具有相同的单调性,再利用导数工具,求出函数的单调区间,若出现矛盾,则说明假 设不成立,即不存在;否则存在. x 解答:解: (Ⅰ)f(x)的定义域为 R,且 f'(x)=e +a.
3801346

x

①当 a=0 时,f(x)=e ,故 f(x)在 R 上单调递增. 从而 f(x)没有极大值,也没有极小值. ②当 a<0 时,令 f'(x)=0,得 x=ln(﹣a) .f(x)和 f'(x)的情况如下: x (﹣∞, (﹣ln(﹣a)(ln(﹣a) ln , a) ) +∞) 0 + f'(x) ﹣ ↘ ↗ f(x) 故 f(x)的单调减区间为(﹣∞,ln(﹣a);单调增区间为(ln(﹣a) ) ,+∞) . 从而 f(x)的极小值为 f(ln(﹣a) )=﹣a+aln(﹣a) ;没有极大值. (Ⅱ)g(x)的定义域为(0,+∞) ,且 .

x

③当 a=0 时,f(x)在 R 上单调递增,g(x)在(0,+∞)上单调递减,不合题意. ④当 a<0 时,g'(x)<0,g(x)在(0,+∞)上单调递减. 当﹣1≤a<0 时,ln(﹣a)≤0,此时 f(x)在(ln(﹣a) ,+∞)上单调递增,由于 g(x)在 (0,+∞)上单调递减,不合题意.

当 a<﹣1 时,ln(﹣a)>0,此时 f(x)在(﹣∞,ln(﹣a) )上单调递减,由于 f(x)在 (0,+∞)上单调递减,符合题意. 综上,a 的取值范围是(﹣∞,﹣1) . 点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查函数、导数、不等式等基础知识,以及综合 运用上述知识分析问题和解决问题的能力.

19. (14 分) (2013?甘肃三模)如图,已知椭圆

的左焦点为 F,过点 F 的直线交椭圆于 A,

B 两点,线段 AB 的中点为 G,AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D,E 两点. (Ⅰ)若点 G 的横坐标为 ,求直线 AB 的斜率;

(Ⅱ) 记△ GFD 的面积为 S1, OED △ (O 为原点) 的面积为 S2. 试问: 是否存在直线 AB, 使得 S1=S2? 说明理由.

考点:直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;直线的一般式方程. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:(Ⅰ)依题意,直线 AB 的斜率存在,设其方程,代入椭圆方程,利用韦达定理,确定 G 的 横坐标,即可求得直线 AB 的斜率; (Ⅱ)假设存在直线 AB,使得 S1=S2,确定 G,D 的坐标,利用△ GFD∽△OED,即可得到 结论. 解答:解: (Ⅰ)依题意,直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=k(x+1) .
3801346

将其代入

,整理得 (4k +3)x +8k x+4k ﹣12=0.

2

2

2

2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,所以



故点 G 的横坐标为



依题意,得

,解得



(Ⅱ)假设存在直线 AB,使得 S1=S2,显然直线 AB 不能与 x,y 轴垂直.

由(Ⅰ)可得



因为 DG⊥AB,所以



解得

,即



因为△ GFD∽△OED,所以 S1=S2,所以|GD|=|OD|. 所以 整理得 8k +9=0. 因为此方程无解,所以不存在直线 AB,使得 S1=S2.
2



点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,考查韦达定理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属 于中档题. 20. (13 分) (2013?西城区一模)已知集合 .对于 A=(a1, a2,…,an) ,B=(b1,b2,…,bn)∈Sn,定义 ;λ

(a1,a2,…,an)=(λa1,λa2,…,λan) (λ∈R) 与 B 之间的距离为 ;A (Ⅰ)当 n=5 时,设 A=(1,2,1,2,5) ,B=(2,4,2,1,3) ,求 d(A,B) ; (Ⅱ)证明:若 A,B,C∈Sn,且?λ>0,使 ,则 d(A,B)+d(B,C)=d(A,C) ;



(Ⅲ)记 I=(1,1,…,1)∈S20.若 A,B∈S20,且 d(I,A)=d(I,B)=13,求 d(A,B)的最 大值. 考 绝对值三角不等式;数列的求和;平行向量与共线向量;两点间的距离公式. 点:

3801346

专 等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 题: 分 析:(Ⅰ) 当 n=5 时,直接利用

,求得 d(A,B)的值.

(Ⅱ)设 A=(a1,a2,…,an) ,B=(b1,b2,…,bn) ,C=(c1,c2,…,cn) ,则由题意可得?λ >0,使得 bi﹣ai=λ(ci﹣bi) ,其中 i=1,2,…,n,由此计算 d(A,B)+d(B,C)的结果,计算 d(A, C)的结果,从而得出结论 (Ⅲ) 根据 x,y∈R,则有|x+y|≤|x|+|y|,可得所以

,等号成立的条件为 ai=1,或 bi=1,从而得到 d(A,B)≤26, 由此可得结论. 解 答:(Ⅰ)解:当 n=5 时,由 ,

得 d(A,B)=|1﹣2|+|2﹣4|+|1﹣2|+|2﹣1|+|5﹣3|=7,所以 d(A,B)=7. (Ⅱ)证明:设 A=(a1,a2,…,an) ,B=(b1,b2,…,bn) ,C=(c1,c2,…,cn) . 因为?λ>0,使 ,

所以?λ>0,使得 (b1﹣a1,b2﹣a2,…,bn﹣an)=λ( 1﹣b1,c2﹣b2,…,cn﹣bn) (c , 所以?λ>0,使得 bi﹣ai=λ(ci﹣bi) ,其中 i=1,2,…,n. 所以 bi﹣ai 与 ci﹣bi(i=1,2,…,n)同为非负数或同为负数. 所以

=

=



(Ⅲ) 首先证明如下引理:设 x,y∈R,则有|x+y|≤|x|+|y|. 证明:因为﹣|x|≤x≤|x|,﹣|y|≤y≤|y|,所以﹣(|x|+|y|)≤x+y≤|x|+|y|, 即|x+y|≤|x|+|y|. 所以

=



上式等号成立的条件为 ai=1,或 bi=1,所以 d(A,B)≤26. 对于 A=(1,1,…,1,14) ,B=(14,1,1,…,1) ,有 A,B∈S20, 且 d(I,A)=d(I,B)=13,故 d(A,B)=26. 综上,d(A,B)的最大值为 26. 点 本题主要考查新定义,两点间的距离公式,两个向量共线,绝对值不等式的性质应用,属于中 评:档题.


北京市西城区2012-2013学年度高三数学(文)上学期期末考...

北京市西城区2012-2013学年度高三数学(文)上学期期末考试试题word版带答案2013.1_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区2012-2013学年度高三数学(文)上学期期末...

北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题_Wo...

北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题_Word版含答案 (1)_高三理化生_理化生_高中教育_教育专区。高三用 高三数学(文科)第Ⅰ卷(选择题共 40 分) ...

北京市西城区2013年高三4月一模数学(文科)试题(WORD精...

北京市西城区2013年高三4月一模数学(文科)试题(WORD精校版) 隐藏>> 北京市西城区 2013 年高三一模试卷 高三数学(文科)第Ⅰ卷(选择题共 40 分) 2013.4 一、...

2013年北京市西城区高三二模数学(文)试题Word版带答案

2013年北京市西城区高三二模数学(文)试题Word版带答案_数学_高中教育_教育专区。2013年北京市西城区高三二模数学(文)试题Word版带答案 ...

2013届北京市西城区高三期末数学文科试题(WORD精校版)

2013届北京市西城区高三期末数学文科试题(WORD精校版)_高三数学_数学_高中教育_...北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷 高三数学(文科)第Ⅰ卷(...

2013届北京市西城区高三一模数学理科试题(WORD精校版)

2013届北京市西城区高三一模数学理科试题(WORD精校版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区 2013 年高三一模试卷 高三数学(理科)第Ⅰ卷(选择题共 40 ...

2014年北京市西城区高三一模数学(文)试题Word版带解析

2014年北京市西城区高三一模数学(文)试题Word版解析_数学_高中教育_教育专区。2014年北京市西城区高三一模数学(文)试题Word版解析 ...

北京市西城区2013届高三数学第一次模拟考试试题 文(含...

北京市西城区2013届高三数学第一次模拟考试试题 文(解析)新人教版 隐藏>> 北京市西城区 2013 届高三下学期(4 月)一模数学(文)试卷第Ⅰ卷(选择题 共 40 ...

北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题Wor...

北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题Word版含答案北...

【解析】北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文...

解析北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题 隐藏>> 北京市西城区 2012 — 2013 学年度第一学期期末试卷 高三数学(文科)第Ⅰ卷(选择题 共 40 ...