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山西省运城市景胜中学2015-2016学年高一数学12月月考试题


景胜中学 2015--2016 学年度第一学期月考(12 月) 高一数学试题
时间 120 分钟满分 150 分 一.选择题 1.设 A ? ?x | x ?1 ? 0? , B ? ?x | log2 x ? 0? ,则 A ? B 等于( A. {x | 0 ? x ? 1} B. {x | x ? 1} C. {x | x ? 0} ) ) D. ?
<

br />2.三个数 a ? 0.62 , b ? log2 0.6, c ? 20.6 之间的大小关系是( A. a ? c ? b . C. b ? a ? c B. a ? b ? c D. b ? c ? a

3.设集合 A ? {x | 1 ? x ? 2} , B ? { y | 1 ? y ? 4} ,则下述对应法则 f 中,不能构成 A 到 B 的映射的是 ( ) A. f : x ? y ? x
2

B. f : x ? y ? 3x ? 2 D. f : x ? y ? 4 ? x
2

C. f : x ? y ? ? x ? 4

2 4.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ?

1 ,则 f (?1) 等于( x
D.2 ) D. ?3,4? )个



A. ? 2

B.0

C.1

5.函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点所在的区间可能是( A. ?0,1? B. ?1,2? C. ?2,3?

6.若全集 U ? ?0,1,2,3,4?且CU A ? ?2,4? ,则集合 A 的真子集共有( A.8 个 7.函数 y ? y 1 -1 O
A.
x

B.7 个

C.4 个 ) y 1 -1 x -1 O C. ( C.

D.3 个

xa (0 ? a ? 1) 的图象的大致形状是( x y
1 x

y 1 x -1 O D. ) D. ) x

O B.

8.下列函数中既是偶函数又是 A. 9. f ( x) ? ? B.

?(3a ? 1) x ? 4a
x ?a

( x ? 1) ( x ? 1)
? 1? ? 3?

是定义在 (??,??) 上是减函数,则 a 的取值范围是(

A. ? , ?

?1 1 ? ?6 3 ?

B. ? 0, ?

C. ? 0, ? 6

? ?

1? ?

D. ? ,1?

?1 ? ?3 ?
1

10. 若 f ( x) 是 R 上的减函数, 且 f ( x) 的图象经过点 A (0, 4) 和点 B(3, -2) , 则当不等式 | f ( x ? t ) ? 1 |? 3 的解集为(-1,2)时, t 的值为( A.0 11.函数 y ? B.1 ) C.-1 ) D.2

? 3 ? a ?? a ? 6 ? ? ?6 ? a ? 3? 的最大值为(
B.

A.9

9 2

C. 3

D.

3 2 2

12. 若 a ? b ? c , 则 函 数 f ? x? ? ? x ? a b x? ?c ? ?? x? b ? ?? x? ?? ? x???c ( ) B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内

x ?? 的 a 两个零点分别位于区间

A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ?? ? 内 二.填空题

13.若函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为(1,2],则函数 y ? f (log2 x) 的定义域为 14 函数 f ( x) ? a
x ?1

. .

? 3 (其中 a ? 0, a ? 1 )的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标是
2

15 函数 f ( x) ? log 1 (3 ? 2 x ? x ) 的值域为________________.
2

16 设偶函数 ... f ( x) ? a

x ?b

在(0,+∞)上单调递增,则 f(b-2)与 f(a+1)的大小关系为____________.

三.解答题 17. (本题满分 10 分)
? 2 ? 8 ?3 化简或求值: (1) ? ? ? (0.008) 3 ? 25 ? 27 ? 2 2

(2)

?5 32 log3 5 ? log3 ?3 log2 3 9

18. (本题满分 12 分)

2 已知 A ? x a ? x ? 2a ? 4 , B ? x x ? 5x ? 6 ? 0 ,若 A ? B ? A ,求 a 的取值范围.

?

?

?

?

19. (本小题满分 12 分) (1)判断函数 f ( x) ? x ? (2)猜想函数 f ( x ) ? x ? (3)若不等式 x ?

4 在 x ? (0,??) 上的单调性并证明 你的结论; .. x a , (a ? 0) 在定义域内的单调性(只需写出结论,不用证明) ; x

9 ? 2m 2 ? m ? 0 在 x ? ?1, 5? 上恒成立,利用题(2)的结论,求实数 m 的取值范围. x
2

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 对任意实数 x、y 都有 f ( xy) = f ( x) · f ( y ) ,且 f (?1) ? 1 , f (27) ? 9 ,当 0 ? x ? 1 时, 0≤ f ( x) <1. (1)判断 f ( x) 的奇偶性并证明; (2)判断 f ( x) 在[0,+∞ ) 上的单调性,并给出证明; (3)若 a ? 0 且 f (a ? 1) ≤ 3 9 ,求 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ?16 x ? q ? 3
2

(1)若函数在区间 ??1,1? 上存在零点,求实数 q 的取值范围; (说明:对于区间 [ a, b] ,称 b ? a 为区间长度)

(2)问:是否存在常数 t (t ? 0) ,当 x ??t,10? 时, f ( x ) 的值域为区间 D ,且 D 的长度为 12 ? t .

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? lg

2x 1 , f (1) ? 0 ,当 x ? 0 时,恒有 f ( x) ? f ( ) ? lg x . ax ? b x

(1)求 f ( x) 的表达式及定义域; (2)若方程 f ( x) ? lg t 有解,求实数 t 的取值范围; (3)若方程 f ( x) ? lg(8 x ? m) 的解集为 ? ,求实数 m 的取值范围.

3

考生注意:只交答题纸卷!



************** 密 ********************************* 封*********************************** 线*********************

景胜中学 2015--2016 学年度第一学期月考(12 月) 高一数学答题纸 时间 120 分钟满分 150 分 考生注意: 请在各题目的答题区域内作答,超出黑色 定区域的答案无效! 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

考号___________________

矩形边框限

姓名_________________

13、__________

14、_________

15、__________

16、_________

三、计算题(本大题共 6 题,共 70 分) 17、

班级_________________ 校__________________

18、

4

19、

5

20、

21、

6

22、

7

请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框限定区域的答案无效! 景胜中学 2015-2016 学年度第一学期月考(12 月) 高一数学试题答案 2015.12.18 一.选择题 1.A 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 二.填空题 13. x 1 ? x ? 2 7.D 8.C 9.A 10.B 11.B 12.A

?

?

14。 (?1,?2)

15. ?? 2,???

16. f(b-2) ? f(a+1)

三.解答题 17. (本题满分 10 分)

2 22 ? 2 3 ? 3 ? 1000? 3 2 4 ? 解: (1)原式= ? ( ) ? ? ? = ? 25 ? ……5 分 ? ? 25 9 25 9 ? 3 ? ? 8 ?
(2)原式 ? ?5 log3 2 ? log3 25 ? log3 32 ? 5 ? ?5 log3 2 ? 5 log3 2 ? 2 log3 3 ? 5 ? ?7 ……5 分 18. (本题满分 12 分)

2

2

?

?

解:解得 B ? x ? 1 ? x ? 6

?

?

……2 分

? A ? B ? A ,? A ? B ……3 分 (1)若 A= ? 则 A ? B 成立,此时 2a ? 4 ? a , 即 a ? 4 ……6 分 ?2 a ? 4 ? a ?a ? 4 ? ? (2)若 A ? ? 要 A ? B ,则需 ?a ? ?1 ……7 分 即 ?a ? ?1 解得 4 ? a ? 5 ?2 a ? 4 ? 6 ?a ? 5 ? ? 综上所述 a ? ?? ?,5? . ……12 分
19. (本小题满分 12 分) 解: (1) f ( x) 在 ?0,2? 上是减函数,在 ?2,??? 上是增函数.…………………1 分 证明:设任意 x1 ? x2 ? ?0,??? ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? = ( x1 ? x 2 )

……9 分

4 4 ? ………2 分 x1 x2

x1 x2 ? 4 x1 x2

…………………3 分 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) …………………………4 分 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) …………………5 分

又设 x1 ? x2 ? ?0,2? ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ∴ f ( x) 在 ?0,2? 上是减函数 又设 x1 ? x2 ? ?2,??? ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ∴ f ( x) 在 ?2,??? 上是增函数

(2)由上及 f(x)是奇函数,可猜想:f(x)在 ? ?,? a 和

?

? ? a ,???上是增函数,
…………………7 分

f(x)在 ? a ,0 和 0, a 上是减函数

?

? ?

?

8

(3)∵ x ? ∴x?

9 ? 2m 2 ? m ? 0 在 x ? ?1, 5? 上恒成立 x

9 ? 2m 2 ? m 在 x ? ?1, 5? 上恒成立 …………………………8 分 x 9 由(2)中结论,可知函数 t ? x ? 在 x ? ?1, 5? 上的最大值为 10,此时 x=1 ……………10 分 x
要使原命题成立,当且仅当 2m ? m ? 10
2

∴ 2m ? m ? 10 ? 0
2

解得 m ? ?2或x ?

5 2

∴实数 m 的取值范围是 ?m m ? ?2或m ? 20. (本小题满分 12 分)

? ?

5? ? 2?

…………………………12 分

解: (1)令 y =-1,则 f (? x) = f ( x) · f (?1) , ∵ f (?1) =1,∴ f (? x) = f ( x) 且 x ? R ,所以 f ( x) 为偶函数.……………4 分 (2)若 x≥0,则 f ( x ) = f ( x ? x ) = f ( x ) · f ( x ) =[ f ( x ) ] ≥0.……………5 分
2

若存在 x0 ? 0, 使得f ( x0 ) ? 0 ,则 f (27) ? f ( x0 ? 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ……………6 分

27 27 ) ? f ( x0 ) f ( ) ? 0 ,矛盾,所以 x0 x0

设 0≤x 1 <x 2 ,则 0≤

x1 x x <1,∴ f ( x1 ) = f ( 1 ? x 2 ) = f ( 1 ) · f ( x2 ) ,……………8 分 x2 x2 x2

∵当 x≥0 时 f ( x ) ≥0,且当 0≤x<1 时,0≤ f ( x) <1. ∴0≤ f (

x1 ) <1,∴ f ( x1 ) < f ( x2 ) ,故函数 f ( x) 在[0,+∞ ) 上是增函数.……9 分 x2
3

(3)∵ f (27) =9,又 f (3 ? 9) = f (3) · f (9) = f (3) · f (3) · f (3) = [ f (3) ] , ∴9 = [ f (3) ] ,∴ f (3) = 3 9 ,……………10 分 ∵ f (a ? 1) ≤ 3 9 ,∴ f (a ? 1) ≤ f (3) ,……………11 分 ∵a≥0,(a+1) ? [0,+∞ ) ,函数在[0,+∞ ) 上是增函数. ∴a+1≤3,即 a≤2 又 a≥0,故 0≤a≤2.……………12 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (1) ∵二次函数 f ( x) ? x ?16 x ? q ? 3 的对称轴是 x ? 8
2
3

∴函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上单调递减

9

∴要函数 f ( x ) 在区间 ??1,1? 上存在零点须满足 f (?1) ? f (1) ? 0 即 (1 ? 16 ? q ? 3) ? (1 ? 16 ? q ? 3) ? 0 (2)当 t ? 8 时,

……2 分

解得 ?20 ? q ? 12 ……4 分

2 f ( x) 的值域为 ? f (t ), f (10)? ,即 ? ?t ? 16t ? q ? 3, q ? 57 ? ?

∴ q ? 57 ? (t 2 ?16t ? q ? 3) ? ?t 2 ? 16t ? 60 ? 12 ? t ∴ t ? 17t ? 72 ? 0
2

∴t ? 8 或t ? 9

……7 分

?t ? 8 ? 当 ?8 ? t ? 10 ? 8 时,即 0 ? t ? 6 时, ?t ? 0 ?
2 f ( x) 的值域为 ? f (8), f (t )? ,即 ? ? q ? 61, t ? 16t ? q ? 3? ?

∴ t 2 ?16t ? q ? 3 ? (q ? 61) ? t 2 ?16t ? 64 ? 12 ? t ∴ t ? 15t ? 52 ? 0
2

∴t ?

15 ? 17 15 ? 17 ,经检验 t ? .……10 分 2 2

?t ? 8 ? 当 ?8 ? t ? 10 ? 8 时,即 6 ? t ? 8 时, ?t ? 0 ?

f ( x) 的值域为 ? f (8), f (10)? ,即 ?q ? 61, q ? 57? ∴ q ? 57 ? (q ? 61) ? 4 ? 12 ? t ∴ t ? 8 经检验 t ? 8 不合题意,舍去. ……11 分

综上所述,存在常数 t ? 8 , t ? 9 , t ?

15 ? 17 满足题意.……12 分 2

22. (本小题满分 12 分) 解: (1)? 当 x ? 0 时, f ( x) ? f ( ) ? lg x 恒成立

1 x

2x 2 ? lg ? lg x ,即 (a ? b) x2 ? (a ? b) x ? 0 恒成立,? a ? b ……2 分 ax ? b bx ? a 2x 又 f (1) ? 0 ,即 a ? b ? 2 , 从而 a ? b ? 1,? f ( x) ? lg ……3 分 1? x 2x ? 0 ,得 x( x ? 1) ? 0 , x ? ?1或x ? 0 ,? f ( x) 的定义域为 ?x x ? ?1或x ? 0?.……4 分 由 1? x 2x 2x ? lg t ,即 t ? (2)方程 f ( x) ? lg t 即 lg ( x ? ?1或x ? 0 )有解……5 分 1? x 1? x 2x 2 ? 2? 记 h( x ) ? , h( x) 在 (??,?1) 和 (0,??) 上单调递增……6 分 1? x x ?1 ? lg

x ? (??,?1) 时, h( x) ? (2,??) ; x ? (0,??) 时, h( x) ? (0,2) ……7 分

?t ? (0,2) ? (2,??) ……8 分
(3)解法一:

? 2x ? 8x ? m ? ?8 x 2 ? (6 ? m) x ? m ? 0 2x ?1 ? x ?? 由 lg ……9 分 ? lg(8 x ? m) ? ? 1? x ? x ? ?1或x ? 0 ? 2x ? 0 ? ?1 ? x
10

方程的解集为 ? ,故有两种情况: ①方程 8x 2 ? (6 ? m) x ? m ? 0 无解,即 ? ? 0 ,得 2 ? m ? 18 ……10 分

②方程 8x 2 ? (6 ? m) x ? m ? 0 有解,两根均在 [ ?1, 0] 内, g ( x) ? 8x2 ? (6 ? m) x ? m

?? ? 0 ? g (?1) ? 0 ? ?m ? 2或m ? 18 ? 则 ? g (0) ? 0 ……12 分 ? ? ?0?m?2 ? 6 ? m ? 10 ? ? ??1 ? ?6 ? m ? 0 ? 16 ?
综合①②得实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 18 (3)解法二: ……12 分

……11 分

? 2x 2x ? 8x ? m ? ? ? 8x 2x ?1 ? x ?m ? ?? 若方程有解,则由 lg ……9 分 ? lg(8 x ? m) ? ? 1? x 2 x 1? x ? ? x ? ?1或x ? 0 ?0 ? ?1 ? x ?
由 g ( x) ?

2x 2 ? 8 x ? 10 ? [ ? 8( x ? 1)] 1? x 1? x

当 x ? ?1, 则 g ( x) ? 10 ? 2

2 3 ? 8( x ? 1) ? 18 ,当且仅当 x ? ? 时取到 18 ……10 分 1? x 2
……12 分 ……11 分 ……12 分

当 x ? 0 ,则 g ( x) 是减函数,所以 g ( x) ? g (0) ? 0

即 g ( x) 在 (??, ?1) ? (0, ??) 上的值域为 (??, 0) ? [18, ??) 故当方程无解时, m 的取值范围是 [0,18)

11


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