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广东省实验中学2012-2013学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)新人教A版


2012-2013 学年广东省实验中学高一(下)期末数学试卷 参考答案与试题解析
第一部分基础检测 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分)直线 x﹣y+1=0 的倾斜角为( ) A.60° B.120° C.150° D.30° 考点: 直线的倾斜角. 专题: 计算题. 分

析: 求出直线的斜率,再求直线的倾斜角,得到选项. 解答: 解:由直线 x﹣y+1=0 可知:直线的斜率 k=tanα = , ∵0≤α <π ,且 tanα = , ∴α =60°, 故选 A. 点评: 本题考查直线的倾斜角和斜率的关系,以及倾斜角的取值范围,已知三角函数值求角 的大小.求出直线的斜率是解题的关键. 2. (5 分) (2013?资阳一模)若 a>b>0,则下列不等式一定不成立的是( 2 2 A. B.log2a>log2b C.a +b ≤2a+2b﹣2 D. )

考点: 不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由已知 a>b>0 及不等式的基本性质和函数 y=log2x 单调性可得到 A.B.D 皆正确, 因此 C 一定不成立. 2 2 2 2 解答: 解:∵a +b ﹣2a﹣2b+2=(a﹣1) +(b﹣1) ≥0,当且仅当 a=b=1 时取等号,而已知 2 2 a>b>0,故上式的等号不成立,∴(a﹣1) +(b﹣1) >0. 2 2 2 2 即一定有 a +b >2a+2b﹣2.∴a +b ≤2a+2b﹣2 一定不成立. 故选 C. 点评: 本题考查了不等式的基本性质和函数的单调性的应用,正确理解是解题的关键. 3. (5 分) (2008?福建) 设{an}是等差数列, 若 a2=3, a7=13, 则数列{an}前 8 项的和为 ( A.128 B.80 C.64 D.56 )

考点: 等差数列的前 n 项和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;方程思想. 分析: 利用等差数列的通项公式,结合已知条件列出关于 a1,d 的方程组,求出 a1,d,代入 等差数列的前 n 项和公式即可求解.或利用等差数列的前 n 项和公式,结合等差数列 的性质 a2+a7=a1+a8 求解. 解答: 解:解法 1:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,
1

由等差数列的通项公式以及已知条件得



解得

,故 s8=8+

=64.解法 2:∵a2+a7=a1+a8=16,

∴s8=

×8=64.

故选 C. 点评: 解法 1 用到了基本量 a1 与 d,还用到了方程思想; 解法 2 应用了等差数列的性质:{an}为等差数列,当 m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)时, am+an=ap+aq. 特例:若 m+n=2p(m,n,p∈N+) ,则 am+an=2ap.

4. (5 分)不等式组 A.{x|﹣1<x<1}

的解集是( B.{x|1<x≤3}

) D.{x|x≥3 或 x<1}

C.{x|﹣1<x≤0}

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题. 分析: 原不等式相当于不等式组 求①②解集的交集即得所求的解集. 解答: 解析:原不等式相当于不等式组

,接下来分别求解不等式①②即可,最后

不等式①的解集为{x|﹣1<x<1}, 不等式②的解集为{x|x<0 或 x>3}. 因此原不等式的解集为{x|x<0 或 x>3}∩{x|﹣1<x<1}={x|﹣1<x≤0} 故答案为{x|﹣1<x≤0} 故选 C. 点评: 本小题主要考查不等关系与不等式应用、一元二次不等式的解法、集合的运算等基础 知识,考查运算求解能力.属于基础题. 5. (5 分)已知△ABC 中,a=10, A.60° B.120° ,A=45°,则 B 等于 ( C.30° ) D.60°或 120°

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 直接利用正弦定理求出 B 的三角函数值,然后求出角的大小. 解答: 解:因为△ABC 中,a=10, ,A=45°,

2

由正弦定理可知,sinB=

=

=



所以 B=60°或 120°. 故选 D. 点评: 本题考查正弦定理的应用,注意特殊角的三角函数值的求法. 6. (5 分) (2013?自贡一模)运行如图所示的程序框图,则输出 s 的值为( )

A.﹣2

B.3

C.4

D.8

考点: 程序框图. 专题: 计算题. n 分析: 会根据 s←s+(﹣1) n 计算 s 的值及判断出当 n←5 时跳出循环结构,即可得出答案. 1 2 解答: 解:∵n←1,s←1+(﹣1) ×1;∴n←2,s←0+(﹣1) ×2;∴n←3,s←2+(﹣1) 3 4 5 ×3;∴n←4,s←﹣1+(﹣1) ×4;∴n←5,s←3+(﹣1) ×5. 当 n=6 时,应跳出循环程序,并输出 s 的值是﹣2. 故选 A. 点评: 正确理解循环结构的功能和会使用判断框中的条件判断何时跳出循环结构是解题的 关键. 7. (5 分)已知点 A(1,3) ,B(3,1 ) ,C(﹣1,0) ,则△ABC 的面积为( A.5 B.6 C.7 D.8 )

考点: 三角形的面积公式;点到直线的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 先找出△ABC 的位置, △ABC 的面积转化为三角形 ACE 与梯形 AEDB 的面积减去三角形 CDB 的面积可得出答案. 解答: 解: 如图, △ABC 的面积转化为三角形 ACE 与梯形 AEDB 的面积减去三角形 CDB 的面积,

3

则 S△ABC=S△CAE+SAEDB﹣S△CDB = ×3×2+ (1+3)×2﹣ ×4×1=5. 故选 A. 点评: 本题考查三角形的面积,解答本题的关键是利用将△ABC 的面积转化,这种方法比较 好,同学们要注意. 8. (5 分) (2008?四川) 已知等比数列{an}中, a2=1, 则其前 3 项的和 S3 的取值范围是 ( ) A.(﹣∞,﹣1] B.(﹣∞,0)∪(1, C.[3,+∞) D.(﹣∞,﹣1]∪[3, +∞) +∞) 考点: 等比数列的前 n 项和. 分析: 首先由等比数列的通项入手表示出 S3(即 q 的代数式) ,然后根据 q 的正负性进行分 类,最后利用均值不等式求出 S3 的范围. 解答: 解:∵等比数列{an}中,a2=1 ∴ ∴当公比 q>0 时, 当公比 q<0 时, ; .

∴S3∈(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) . 故选 D. 点评: 本题考查等比数列前 n 项和的意义、等比数列的通项公式及均值不等式的应用.

9. (5 分)变量 x,y 满足约束条件

,则目标函数 z=3x+y﹣3 的取值范围是

( ) A. [ ,9]

B.

[﹣ ,6]

C.[﹣2,3]

D.[1,6]

4

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组表示的平面区域;作出目标函数对应的直线;结合图象知当直线过 A、B 时,z 最小最大,从而得出目标函数 z=3x+y﹣3 的取值范围. 解答: 解:画出不等式表示的平面区域 将目标函数为 z=3x+y﹣3,作出目标函数对应的直线, 直线过 B(0,1)时,直线的纵截距最小,z 最小,最大值为﹣2; 当直线过 A(2,0)时,直线的纵截距最大,z 最大,最大值为 3; 则目标函数 z=3x+y﹣3 的取值范围是[﹣2,3]. 故选 C.

点评: 本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值. 10. (5 分)已知直线 l1:y=xsinα 和直线 l2:y=2x+c,则直线 l1 与 l2( ) A.通过平移可以重合 B.不可能垂直 C.可能与 x 轴围成等腰直角三角形 D.通过绕 l1 上某点旋转可以重合 考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 计算题. 分析: 分别找出两直线的斜率,根据正弦函数的值域得到直线 l1 斜率的范围,发现两直线的 斜率不可能相等,所以两直线不可能平行,必然相交,故直线 l1 绕交点旋转可以与 l2 重合. 解答: 解:直线 l1:y=xsinα 的斜率为 sinα , 而 sinα ∈[﹣1,1],即直线 l1 的斜率 k1∈[﹣1,1], 直线 l2:y=2x+c 的斜率 k2=2, ∵k1≠k2, ∴直线 l1 与 l2 不可能平行,即两直线必然相交, 则直线 l1 与 l2 可以通过绕 l1 上某点旋转可以重合. 故选 D 点评: 此题考查了两直线的交点坐标,正弦函数的值域,以及直线斜率的求法,根据直线方 程得出两直线的斜率不相等是解本题的关键.
5

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 2 11. (5 分)若关于 x 的不等式 mx ﹣mx+1<0 的解集不是空集,则 m 的取值范围是 (﹣∞, 0)∪(4,+∞) . 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 2 分析: 分别讨论 m=0 和 m≠0,利用不等式 mx ﹣mx+1<0 的解集不是空集,解出 m 的取值范 围. 解答: 解: 若 m=0, 则原不等式等价为 1<0, 此时不等式的解集为空集. 所以不成立, 即 m≠0. 2 若 m≠0,要使不等式 mx ﹣mx+1<0 的解集不是空集,则 2 ①m>0 时,有△=m ﹣4m>0,解得 m>4. ②若 m<0,则满足条件. 综上满足条件的 m 的取值范围是(﹣∞,0)∪(4,+∞) . 故答案为: (﹣∞,0)∪(4,+∞) . 点评: 本题主要考查一元二次不等式的基本解法,要注意分类讨论. 12. (5 分) (2010?聊城一模)已知 b>0,直线 b x+y+1=0 与 ax﹣(b +4)y+2=0 互相垂直, 则 ab 的最小值为 4 . 考点: 两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 分析: 两条直线垂直,则斜率的乘积为﹣1. 解答: 解:由题意, ,即
2 2

∴ 当 b=2 时,ab 的最小值为 4. 点评: 不等式运用时要注意“一正二定三相等”. 13. (5 分)点 P(a,4)到直线 x﹣2y+2=0 的距离等于 2 平面区域内,则 P 点坐标为 (16,4) . ,且在不等式 3x+y>3 表示的

考点: 点到直线的距离公式. 专题: 直线与圆. 分析: 利用点到直线的距离公式和线性规划的知识即可得出. 解答: 解:由题意知 , 解得 a=16 或 a=﹣4. 又 P(a,4)在不等式 3x+y>3 表示的平面区域内, ∴a=16, ∴P(16,4) . 故答案为(16,4) .
6

点评: 熟练掌握点到直线的距离公式和线性规划的知识是解题的关键. 14. (5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(﹣1,﹣2) ,B(2,2) ,C(﹣2,﹣1) (1)以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别为 ,5 ; (2)△ABC 内角 B 的角平分线所在直线的方程是 x﹣y=0 . 考点: 平行向量与共线向量;向量的加法及其几何意义;向量的减法及其几何意义;直线的 一般式方程. 专题: 综合题;平面向量及应用. 分析: (1)所求对角线的长为向量 、 的模; (2)由 =5, =|(﹣4,﹣3)|=5,可判断该三角形为等腰三角形,从而

知 B 的平分线即为中线,求出中点,进而可求得斜率,由点斜式即可得到答案; 解答: 解: (1) =(3,4) , =(﹣1,1) , =(2,5) , 所以两对角线的长分别为: (2) =5, =(4,3) , = , =5;

=|(﹣4,﹣3)|=5,

所以△ABC 为等腰三角形,则内角 B 的角平分线也为中线,

AC 边的中点为(﹣ ,﹣ ) ,所以所求直线的斜率为:

=1,

所求直线方程为:y﹣2=x﹣2,即 x﹣y=0, 故答案为: (1) ; (2)x﹣y=0. 点评: 本题考查平面向量的加法、减法及其几何意义,考查直线的一般式方程,属中档题. 三.解答题(每题 10 分,共 30 分) 15. (10 分)求过直线 l1:x﹣2y+3=0 与直线 l2:2x+3y﹣8=0 的交点,且到点 P(0,4)的 距离为 1 的直线 l 的方程. 考点: 点到直线的距离公式;两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: 确定 l1,l2 的交点坐标,分类讨论,利用点到直线的距离公式,即可得出结论. 解答: 解:由 ,解得 ∴l1,l2 的交点为(1,2)?2 分 显然,直线 x=1 满足条件; 另设直线方程为 y﹣2=k(x﹣1) ,即 kx﹣y+2﹣k=0,

?4 分

7

依题意有:

,解得:

?8 分

∴所求直线方程为 3x+4y﹣11=0 或 x=1?.10 分 (注:未考虑 x=1 扣 2 分) 点评: 本题考查两条直线的位置关系,考查点到直线的距离公式,考查学生的计算能力,属 于基础题. 16. (10 分)已知 f(x)=﹣3x +a(5﹣a)x+b. (1)当不等式 f(x)>0 的解集为(﹣1,3)时,求实数 a,b 的值; (2)若对任意实数 a,f(2)<0 恒成立,求实数 b 的取值范围. 考点: 一元二次不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 2 分析: (1)由已知,﹣1,3 是﹣3x +a(5﹣a)x+b=0 两解. 2 (2)由 f(2)<0,即 2a ﹣10a+(12﹣b)>0,分离参数 b 求解. 2 解答: 16 解由已知,﹣1,3 是﹣3x +a(5﹣a)x+b=0 两解. ∴ ?3 分
2





?5 分
2

(Ⅱ)由 f(2)<0,即 2a ﹣10a+(12﹣b)>0?8 分 即 b<2a ﹣10a+12=2(a﹣ ) ﹣ ∴恒成立∴ 故实数 b 的取值范围为 ?10 分.
2 2

点评: 本题考查二次函数与二次不等式的知识,属于基础题.

17. (10 分) (2011?临汾模拟)如图,在△ABC 中, (1)求 sinA; (2)记 BC 的中点为 D,求中线 AD 的长.



考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1)根据同角三角函数基本关系,利用 cosC 求得 sinC,进而利用两角和公式求得 sinA. (2)先根据正弦定理求得 BC,则 CD 可求,进而在△ADC 中,利用余弦定理根据 AC 和 cosC 的值求得 AD.

8

解答: 解: (1)由

,C 是三解形内角,



= (2)在△ABC 中,由正弦定理

,又在△ADC 中, 由余弦定理得, =



点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用,涉及了同角三角函数基本关系,两角和 公式,综合性很强. 第二部分综合能力检测 18. (5 分)点 A(1,3)关于直线 y=kx+b 对称的点是 B(﹣2,1) ,则直线 y=kx+b 在 x 轴 上的截距是( ) A. B. C. D. ﹣ ﹣

考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 计算题. 分析: 点关于直线对称,可以根据对称点的坐标,利用两点连线的斜率与直线垂直.然后两 点中点在直线上.联立两个一元两次方程即可求解出直线方程,最后令 y=0 求出在 x 轴上的截距. 解答: 解:由题意知 ,

解得 k=﹣ ,b= , ∴直线方程为 y=﹣ x+ , 其在 x 轴上的截距为﹣ ×(﹣ )= . 故选 D. 点评: 本小题主要考查与直线关于点、直线对称的直线方程、直线的截距、方程组的解法等 基础知识,考查运算求解能力.属于基础题.
9

19. (5 分) (2008?长宁区二模)设 f(x)是定义在 R 上恒不为 0 的函数,对任意 x,y∈R, 都有 f(x)?f(y)=f(x+y) ,若 a1= ,an=f(n) (n 为常数) ,则数列{an}的前 n 项和 Sn 的取值范围是( A. [ ,2) ) B.

[ ,2]

C.

[ ,1]

D.

[ ,1)

考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 计算题. 分析: 依题意分别求出 f(2) ,f(3) ,f(4)进而发现数列{an}是以 为首项,以 的等比 数列,进而可以求得 Sn,进而 Sn 的取值范围. 2 3 解答: 解析:f(2)=f (1) ,f(3)=f(1)f(2)=f (1) , f(4)=f(1)f(3)=f (1) ,a1=f(1)= , ∴f(n)=( ) ,
n 4

∴Sn=

=1﹣

∈[ ,1) .

答案:D 点评: 本题主要考查了等比数列的求和问题.属基础题. 20. (12 分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱,已知生产甲种棉纱 1 吨需耗一级籽棉 2 吨、二 级籽棉 1 吨;生产乙种棉纱 1 吨需耗一级籽棉 1 吨,二级籽棉 2 吨.每 1 吨甲种棉纱的利润 为 900 元,每 1 吨乙种棉纱的利润为 600 元.工厂在生产这两种棉纱的计划中,要求消耗一 级籽棉不超过 250 吨,二级籽棉不超过 300 吨.问甲、乙两种棉纱应各生产多少吨,能使利 润总额最大?并求出利润总额的最大值. 考点: 简单线性规划. 专题: 应用题. 分析: 利用线性规划知识求解,建立约束条件,作出可行域,再根据目标函数 z=900x+600y, 利用截距模型,平移直线找到最优解,即可. 解答: 解:设生产甲、乙两种棉纱分别为 x、y 吨,利润总额为 z, 则 z=900x+600y ?2



?4

作出以上不等式组所表示的平面区域(如图) , 即可行域.?6 作直线 l:900x+600y=0,即 3x+2y=0,
10

把直线 l 向右上方平移至过直线 2x+y=250 与 直线 x+2y=300 的交点位置 M( , ) ,?10

此时所求利润总额 z=900x+600y 取最大值 130000 元.?12.

点评: 本题考查用线性规划解决实际问题中的最值问题,解题的关键是确定约束条件,作出 可行域,利用目标函数的类型,找到最优解,属中档题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=2 ,x∈R. (1)若存在 x∈[﹣1,1],使得 成立,求实数 a 的取值范围;
x

(2)解关于 x 的不等式 f(2x)+(a﹣1)f(x)>a; (3)若 f(x1)+f(x2)=f(x1)f(x2) ,f(x1)+f(x2)+f(x3)=f(x1)f(x2)f(x3) , 求 x3 的最大值. 考点: 其他不等式的解法;基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)由于存在 x∈[﹣1,1],令
2

,可得 a>﹣t +2t.再根据函数

2

y=﹣t +2t 的最小值为 0,求得 a 的范围. 2x x (2)不等式即 2 +(a﹣1)x>a.令 t=2 ∈(0,+∞) ,不等式即(t﹣1) (t+a)> 0.结合 t 的范围,分 a=﹣1、a<﹣1、a>﹣1 三种情况,分别求得 x 的范围. (3)令 ,则 a+b=ab,a+b+c=abc,利用基本不等式求得 ab

的范围,可得 c 的范围,从而求得 x3 的最大值. 解答: 解: (1)∵存在 x∈[﹣1,1],令
2 2

,即

成立. (1 分)

∴a>﹣t +2t.由于函数 y=﹣t +2t 的最小值为 0,此时,t=2, (4 分) ∴a>0,即实数 a 的取值范围为(0,+∞) . (5 分) 2x (2)不等式 f(2x)+(a﹣1)f(x)>a,即 2 +(a﹣1)x>a. x 令 t=2 ∈(0,+∞) ,不等式即(t﹣1) (t+a)>0. (6 分) ①当﹣a=1,即 a=﹣1,可得 t>0 且 t≠1,∴x≠0. (7 分) ②当﹣a>1,即 a<﹣1,可得 t>﹣a,或 0<t<1,∴x>log2(﹣a) ,或 x<0. (8 分) ③当﹣a<1,即 a>﹣1,可得 t<﹣a,或 t>1. 若﹣a≤0,即 a≥0,由不等式可得 t>1,∴x>0. (9 分)
11

若 0<﹣a<1,即﹣1<a<0,由不等式可得 0<t<﹣a,或 t>1, ∴x<log2(﹣a) ,或 x>0. (10 分) 综上,当 a=﹣1 时,不等式的解集为{x|x≠0}; 当 a<﹣1 时,不等式的解集为{x|x>log2(﹣a) ,或 x<0 }; 当 a≥0 时,不等式的解集为{x|x>0}; 当﹣1<a<0 时,不等式的解集为{x|x<log2(﹣a) ,或 x>0}. (11 分) (3)令 由 ,则 a+b=ab,a+b+c=abc, (a,b,c>0) . . (13 分) (15 分) ∴ ,故 x3 的最大值为 . (16 分)

点评: 本题主要考查一元二次不等式、对数不等式的解法,不等式的性质以及基本不等式的 应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 22. (14 分) (2013?河东区二模)已知正项数列{an}中,a1=6,点
2

在抛

物线 y =x+1 上;数列{bn}中,点 Bn(n,bn)在过点(0,1) ,以方向向量为(1,2)的直线 上. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (文理共答) (Ⅱ)若 f(n)= ,问是否存在 k∈N,使 f(k+27)=4f(k)成立,

若存在,求出 k 值;若不存在,说明理由; (文理共答) (Ⅲ) 对任意正整数 n, 不等式 ≤0 成立,

求正数 a 的取值范围. (只理科答) 考点: 等差数列与等比数列的综合;等差数列的通项公式;等比数列的通项公式;数列与不 等式的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 2 分析: (Ⅰ)将点 代入抛物线 y =x+1,得 an+1=an+1,由此能求出 an;过 点(0,1) ,以方向向量为(1,2)的直线方程为 y=2x+1,把点 Bn(n,bn)代入能求 出 bn. (Ⅱ)由 f(n)= 存在唯一的 k=4 符合条件. = ,利用题设条件能推导出

12

(Ⅲ)由



≤0,知

a≤ = 的取值范围. 解答: 解: (Ⅰ)将点

,设 f(n+1) , 利用构造法能求出正数 a

代入抛物线 y =x+1,

2

得 an+1=an+1, ∴an+1﹣an=d=1, ∴an=a1+(n﹣1)?1=n+5, ∵过点(0,1) ,以方向向量为(1,2)的直线方程为 y=2x+1, 点 Bn(n,bn)在过点(0,1) ,以方向向量为(1,2)的直线上, ∴bn=2n+1. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f(n)= 当 k 为偶数时,k+27 为奇数, ∴f(k+27)=4f(k) , ∴k+27+5=4(2k+1) ,∴k=4. 当 k 为奇数时,k+27 为偶数, ∴2(k+27)+1=4(k+5) ,∴k= (舍去) = ,

综上所述,存在唯一的 k=4 符合条件. (Ⅲ)由 ﹣ ≤0,

即 a≤ 设 f(n+1)=

, ,



=

= =

13

=



∴f(n+1)>f(n) ,即 f(n)递增, ∴f(n)min=f(1)= ∴0<a≤ = ,

.?(12 分)

点评: 本题考查数列的通项公式的求法,考查满足条件的实数的取值范围的求法,解题时要 认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.

14


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