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2014年安徽省马鞍山市高三二模数学(文)试题及答案


2014 年马鞍山市高中毕业班第二次教学质量检测 高三文科数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 考生注意事项: 1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、姓名、班级、座号、准考证号. 2.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 3.答第Ⅱ卷时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写,要求字体工整、笔迹清 晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必 须在题号所指示的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上答题无效. 4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交. 第 I 卷(选择题,共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的,请在答题卡相应位置将正确结论的代号用 2B 铅笔涂黑.
, 6 , 7 , 9} 1 . 设 全 集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} , 集 合 P ? { 1 , 3 , 4 , 5 , 集 合 Q ?{ 3 , 4 , 5 , 6 }

.则下图中的阴影部分表示的集合为(▲) B. {1, 7,9}
3, 4, 5, 6, 7, 9} D. {1,

A. {2,8}
6} C. {3, 4,5,

答案:B 命题意图:本题考查集合的基本运算,简单题. 1? i 2.设 i 是虚数单位,则复数 1 ? i =(▲) A. ?1 B. 1 C. ?i D. i

答案:C 命题意图:本题考查复数的基本运算,简单题. 3.“ a ? 0 ”是“ | a |? 0 ”的(▲) A.充分不必要条件 C.充要条件 答案:A 命题意图:本题考查简易逻辑,简单题. B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.执行如下图所示的程序框图,若输入 a , b 的值分别为 A.0 开始 B.1
a ? b?

log3 4 和 log4 3 ,则输出 S ? (▲)
D. ? 1

C.2 是
a ? b?

输入 a , b

否 S ? a?b
S ? a ?b ?1





输出 S

S ? a ? b ?1

结 束

答案:C 命题意图:本题考查程序框图,简单题.

y 2 x2 ? ?1 2 5.若双曲线 5 k 与抛物线 x ? 12 y 有相同的焦点,则 k 的值为(▲)

A.4 B. ?4 C .2 答案:B 命题意图:本题考查双曲线的定义及计算,简单题.
x y 6. 设 x ? 0, y ? 0 ,且 2 x ? y ? 6 ,则 9 ? 3 有 (▲)

D. ?2

A.最大值 27 B.最小值 27 C.最大值 54 D.最小值 54 答案:D 命题意图:本题考查基本不等式应用,指数函数的性质,简单题. 7. 下列命题中错误的是(▲) A. 如果平面 ? ⊥平面 ? ,平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? l ,那么 l ? ? B. 如果平面 ? ⊥平面 ? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? C. 如果平面 ? 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? D. 如果平面 ? ⊥平面 ? , ? ? ? ? l ,过 ? 内任意一点作 l 的垂线 m ,则 m ? ? 答案:D 命题意图:本题考查空间线面位置关系,简单题. ? y ? sin(2 x ? ?) 8. 函数 的图象向左平移 3 后所得的图象关于 y 轴对称,则 ? 的值可能是(▲)

? A. 6 答案:A
?

? B. 3
?

? C. 6

? D. 3

命题意图:本题考查三角函数图形变换,简单题.
??? ? ???? ??? ? ???? ? AB AC ??? A B A C 1 ? ? ???? ) ? BC ? 0 ??? ? ? ???? ? ( ??? ???? ??? ? 2 | AB | | AC | | A B | | A C | 9. 在△ ABC 中, 已知向量 AB 与 AC 满足 , 且 , 则△ ABC 为 (▲)

A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.三边均不相等的三角形 答案:A 命题意图:本题考查向量的数量积运算及应用,中等题.
? ? 10 .已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,其导函数为 f ( x) ,当 x ? (0, ?? ) 时,恒有 xf ( x) ? f (? x) . 若 g ( x) ? xf ( x)

,则满足 g (1) ? g (1 ? 2 x) 的实数 x 的取值范围是(▲) B. (??, 0) ? (1, ??) C. (0, ??) D. (??, 0)

A. (0,1)

答案:B 命题意图:本题考查导数的应用,函数的性质,较难题.

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请在答题卡上答题. 11.已知函数 则 f (2014) ?
f ? x? x ?[0, 4) 时,f ? x ? ? x 满足: ?x ? R, f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ,且当 ,
2

▲ .

答案:4 命题意图:本题考查函数的周期性,简单题. 12.为了判断高中学生的文理科选修是否与性别有关系,随机调查了 50 名学生,得到如下 2× 2 列联 表: 理科 男 女 13 7 文科 10 20

2 2 已知 P( K ? 3.841) ? 0.05 , P( K ? 5.024) ? 0.025 .

根据表中数据,得到

K2 ?

50(13 ? 20 ? 10 ? 7) ? 4.844 23 ? 27 ? 20 ? 30 .

2

则认为选修文科与性别有关系的可能性不低于 ▲ .
2 ∵ K ? 4.844 ,这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理,应该断定“是

答案:95%.解析

否选修文科与性别之间有关系”成立,选修文科与性别有关系的可能性不低于 95%.

命题意图:本题考查独立性检验,列联表,简单题.
? x ? 2 y ? 0, ? ? y ? x, ? y ? ? x ? m, ?

13.若实数 x, y 满足

且 z ? x ? 2 y 的最小值为 4,则实数 m 的值为 ▲ .

答案:3 命题意图:本题主要考查线性规划,中等题. 提示:当 z ? x ? 2 y 过 x ? 2 y ? 0 与 y ? ? x ? m 的交点时, z 取得最小值.即 4 ? x ? 2 y 、 x ? 2 y ? 0 、
y ? ?x ? m

共点.

14.将全体正整数按右图规律排成一个三角形数阵,若数 2014 在图中第 m 行 从左往右数的第 n 位.则 ( m, n) 为 ▲ . 答案: (63, 3) 命题意图:本题考查等差数列,规律探求.中等题. 15. 如果三棱锥 A ? BCD 的底面 BCD 是正三角形, 顶点 A 在底面 BCD 上的射影 是△ BCD 的中心,则这样的三棱锥称为正三棱锥.给出下列结论: ① 正三棱锥所有棱长都相等; ② 正三棱锥至少有一组对棱(如棱 AB 与 CD )不垂直; ③ 当正三棱锥所有棱长都相等时,该棱锥内任意一点到它的四个面的距离之和为定值; ④ 若正三棱锥所有棱长均为 2 2 ,则该棱锥外接球的表面积等于 12? . ⑤ 若正三棱锥 A ? BCD 的侧棱长均为 2, 一个侧面的顶角为 40? , 过点 B 的平面分别交侧棱 AC ,AD 于 M , N .则△ BMN 周长的最小值等于 2 3 . 以上结论正确的是 ▲ (写出所有正确命题的序号) . 答案:③,④,⑤ 命题意图:本题综合考查空间线面关系,类比、转化思想,较难题.

1 3 6 5 4 7 8 9 10 ..........
第 14 题图

2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题卡 指定区域答题. 16. (本小题满分 12 分) ? 3 ? ? ? ? a ? (sin x, ) b ? 1) b. 4 , ? (cos x, 已知向量 ,函数 f ( x) ? 2( a + b )· (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的最小正周期;
,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 b ? 2 2,c ? 1 , (Ⅱ) 在 ?ABC 中,角 A
f ( A) ? 5 2.

求 ?ABC 外接圆的半径. 命题意图:本题综合考查平面向量的数量积、三角恒等变换、解三角形,简单题. 【解析】 1 ? ? ? ? ) ? (cos x, ?1) f ( x) ? a b b ? 2(sin x ? cos x, 4 (Ⅰ) 2( + )·
? 2sin x cos x ? 2cos2 x ? ? sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? 1 2 1 2

? 3 ? 2 sin(2 x ? ) ? 4 2 ………………………………………………………4 分
2? ?? 2 ………………………………………………………………6 分 ? 3 5 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ? f ( A) ? 4 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,又 ? 3 5 2 sin(2 A ? ) ? ? 4 2 2 ∴ T?

? 2 sin(2 A ? ) ? 4 2 又∵A 是△ABC 的内角,

2A ?

?
4

?

3? ? ? A? 4 4 …………………………………………………8 分

由余弦定理:

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 8 ? 1 ? 4 2 ?

2 ?5 2

? a ? 5 …………………………………………………………………10 分

a a ? 2R ? R ? ? 2sin A 由正弦定理 sin A

5 2

?

10 2 ………………………12 分

17. (本小题满分 12 分) 为了解某单位员工的月工资水平,从该单位 500 位员工中随机抽取了 50 位进行调查,得到如下频数 分布表: 月工资 [15,25) (单位:百元) 男员工数 女员工数 1 4 [25,35) 8 2 [35,45) 10 5 [45,55) 6 4 [55,65) 4 1 [65,75) 4 1

(Ⅰ) 完成下面的月工资频率分布直方图(注意填写纵坐标) ;

频 率 /组 距

5 7

5 6

5

5 4

5 3

2 O5

5 1

月工资

(Ⅱ) 试由上图估计该单位员工月平均工资; (Ⅲ) 若从月工资在 ?
25, 35?

和?

45, 55?

两组所调查的女员工中随机选取 2 人,试求这 2 人月工资差不超

过 1000 元的概率. 命题意图:本题考查频率分布直方图、样本特征数、古典概型,简单题. 【解析】 (Ⅰ)如图(4 分)
频 率 /组 距

3 0 . 0 2 0 . 0 1 0 . 0
5 7 5 6 5 5 4 5 3 2 O5 5 1 月工资

(Ⅱ)

20 ? 0.1 ? 30 ? 0.2 ? 40 ? 0.3 ? 50 ? 0.2 ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.1 ? 43 ?百元?

即该单位员工月平均工资估计为 4300 元.…………………………………………8 分 (Ⅲ)由上表可知:月工资在 ?
25, 35?

组的有两名女工,分别记作甲和乙;月工资在 ?

45, 55?

组的有四名女

工,分别记作 A,B,C,D.现在从这 6 人中随机选取 2 人的基本事件有如下 15 组: (甲,乙) , (甲,A) , (甲,B) , (甲,C) , (甲,D) , (乙,A) , (乙,B) , (乙,C) , (乙,D) , (A,B) , (A,C) , (A,D) , (B,C) , (B,D) , (C,D) 其中月工资差不超过 1000 元,即为同一组的有(甲,乙) , (A,B) , (A,C) , (A,D) , (B,C) ,

(B,D) , (C,D)共 7 组, 7 P? 15 ∴ 所求概率为 ……………………………………………………………………12 分 18. (本小题满分 12 分) 如图,多面体 ABCDEFG 中,四边形 ABCD,CDEF 都是边长为 2 的正方形,DE⊥平面 ABCD,AG ⊥平面 ABCD,且 AG=1. (Ⅰ)若 P 是 BC 的中点,证明 AP∥平面 BFG; (Ⅱ)求四面体 ABEG 的体积. 命题意图:本题综合考查空间线、面的位置关系,体积的计算,中等题. 【解析】 1 (Ⅰ)取 BF 中点 Q,连 PQ、GQ,则 PQ∥CF,且 PQ= 2 CF=AG=1, ∵CDEF 是正方形,DE⊥平面 ABCD, ∴ CF⊥平面 ABCD, ∴PQ⊥平面 ABCD, 又 AG⊥平面 ABCD, ∴PQ∥AG,APQG 为矩形, ∴AP∥GQ ∵QG ? 平面 BFG,AP ? 平面 BFG, ∴AP∥平面 BFG………………………………………………………………6 分 (Ⅱ)∵AG⊥平面 ABCD,∴AG⊥AD, 又 ABCD 是矩形,∴AB⊥AD 从而 AD⊥平面 ABG 又 DE⊥平面 ABCD,∴AG∥DE 1 1 2 VABEG ? VE ? ABG ? VD ? ABG ? ? ? AB ? AG ? AD ? 3 2 3 …………………………12 分 ∴ 19.(本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? t ,且 an ?1 ? 2Sn ? 1 , n ? N * . (Ⅰ) 当实数 t 为何值时,数列 {an } 是等比数列?
b { n} an

(Ⅱ) 在(Ⅰ)的结论下,设

bn ? log 3 an ?1

,数列

的前 n 项和 Tn ,证明

Tn ?

9 4.

命题意图:本题考查等比数列的通项公式,前 n 项和公式,错项相减、不等式证明等,中等题. 【解析】 (Ⅰ)方法 1:由题意得 an ?1 ? 2Sn ? 1,an ? 2Sn ?1 ? 1(n ? 2)
2 Sn ? Sn ?1 ) ? 2an ? an ?1 ? 3an (n ? 2) 两式相减得 an ?1 ? an ? ( ……………………………2 分

所以当 n ? 2 时, {an } 是以 3 为公比的等比数列.
a2 2t ? 1 ? ? 3? t ?1 a1 t

要使 n ? N * 时, {an } 是等比数列,则只需

……………………4 分

方法 2:由题意, a1 ? t , a2 ? 2S1 ? 1 ? 2t ? 1 , a3 ? 2S2 ? 1 ? 2(a1 ? a2 ) ? 1 ? 2(3t ? 1) ? 1 ? 6t ? 3 要使 {an } 为等比数列,则有:
a22 ? a1a3 ? (2t ? 1)2 ? t (6t ? 3) ? 4t 2 ? 4t ? 1 ? 6t 2 ? 3t ? 2t 2 ? t ? 1 ? 0

解得 t ? 1或

t??

1 1 t?? 2( 2 时, a2 ? 0 ,不合题意,舍去)
n ?1

t ? 1时, q ? 3 , an ? 3



Sn ?

1 ? 3n 1 n ? (3 ? 1) ? 2Sn ? 1 ? 3n ? an?1 1? 3 2 符合题意.

所以 t ? 1………………………………………………………………………………4 分
n ?1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得知 an ? 3 , bn ? log3 an ?1 ? n …………………………………………6 分

bn n 1 ? ? n ? ( ) n ?1 an 3n ?1 3

………………………………………………………………7 分

1 1 1 1 Tn ? 1 ? 2 ? ? 3 ? ( )2 ? 4 ? ( )3 ? ? ? n ? ( )n ?1 3 3 3 3 1 Tn ? 3 1 1 1 1 1 1? ? 2 ? ( )2 ? 3 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1) ? ( )n?1 ? n ? ( )n 3 3 3 3 3



② 2 1 12 13 1 n?1 1n Tn ? 1 ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n ? ( ) 3 3 3 3 3 …………………………9 分 -②得 3
1 1 ? ( )n 3 ? n ? ( 1 )n ? 1 3 1? 3 …………………………………………………11 分



Tn ?

9 9 3 1n 9 ? ( ? n)( ) ? 4 4 2 3 4 .. …………………………………………………13 分

20. (本小题满分 13 分)
0) 0) 已知椭圆 C 的两个焦点分别为 F1 (? 3, , F2 ( 3, ,短轴的两个端点分别为 B1 , B2 ;且 △F1 B1 B2 为等

腰直角三角形.

(Ⅰ) 求椭圆 C 的方程;
2 2 (Ⅱ) 若直线 l 与椭圆 C 交于点 M,N ,且 OM ? ON ,试证明直线 l 与圆 x ? y ? 2 相切.

命题意图:本题考查椭圆的方程与性质、直线与二次曲线的位置关系,较难题. 【解析】
x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 a b .
?a 2 ? a 2 ? 4b 2 ? ? 2 2 ? ?a ? b ? 3

根据题意知

2 2 , 解得 a ? 6 , b ? 3 …………………………………………4 分

x2 y 2 ? ?1 故椭圆 C 的方程为 6 3 . …………………………………………………………5 分
x0 ) (Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时,易知 ?OMN 为等腰直角三角形,设点 M ( x0, ,代入椭圆方

程易

得 x0 ? ? 2 ,即直线 l 方程为 x ? ? 2 ,符合题意; ……………………………6 分 当直线的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m .
? y ? kx ? m ? 2 2 ?x y ?1 2 2 2 ? ? 由? 6 3 ,消去 y 得: (2k ? 1) x ? 4kmx ? (2m ? 6) ? 0 .
y1 ),N ( x2, y2 ) 设 M ( x1, ,则

x1 ? x2 ?

?4km 2m2 ? 6 , x x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

① ②……………………8 分

2 2 从而 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m

因为 OM ? ON ,所以 OM ? ON ? 0 ,即
x1 x2 ? y1 y2 ? 0

???? ? ????

将①②代入得:

x1 x2 ? y1 y2 ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2

?

1 [(k 2 ? 1)(2m2 ? 6) ? km(?4km) ? m2 (2k 2 ? 1)] ? 0 2k 2 ? 1

1

化简得: 2k ? 1
2

(3mk 2 ? 6k 2 ? 6) ? 0 ? 3mk 2 ? 6k 2 ? 6 ? 0



2 2 k 2 ?1 ) 故m ?( …………………………………………………………………………10 分

d?

m 1? k 2

?

另一方面,点 O 到直线 l 的距离为

m2 2(k 2 ? 1) ? ? 2 1? k 2 1? k 2

;……………12 分

2 2 故直线 l 与圆 x ? y ? 2 相切. ………………………………………………………………13 分

21.(本题满分 13 分)
2 已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ax ? 2ax ? 2ln x , g ( x) ? f ( x) ? 2 x .

(Ⅰ) 当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ) 讨论 g ( x) 的单调性; (Ⅲ) 当 a ? 1 时,若函数 命题意图:本题考查导数的几何意义、导数的应用,分类讨论、数形结合思想,较难题. 【解析】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x ? 2 x ? 2ln x ,
2

h( x) ? g ( x) ? 5 ?

1 a 有三个不同的零点,求实数 a 的取值范围.

f ?( x) ? 2 x ? 2 ?

2 2( x2 ? x ? 1) ? x x

设切线方程为 y ? f (1) ? k ( x ? 1) ,
? ∵ k ? f (1) ? 2 , f (1) ? ?1 ,

代入切线方程,化简得: y ? 2 x ? 3 ………………………………………………3 分
2 (Ⅱ) g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? ax ? 2(a ? 1) x ? 2ln x

2 2ax 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 g ?( x) ? 2ax ? 2(a ? 1) ? ? ? x x

1 2a( x ? 1)( x ? ) a x , ( x ? 0)

1 1 ( x ? 1)( x ? ) ? 0 ? x1 ? , x2 ? 1 a a ………………………………4 分 1 ?1 ①当 0 ? a ? 1 时, a

∵ x ? 0, a ? 0 ,由

1 1 (0,1),( , ??) (1, ) ? ? g ( x ) ? 0 a 在区间 上 ,在区间 a 上 g ( x) ? 0

∴函数

g ( x)

1 (0,1),( , ??) a 的单调递增区间是 ,

1 (1, ) 单调递减区间是 a …………………………………………………………6 分

②当 a ? 1 时, ∴函数
g ( x)

0?

1 1 1 ?1 (0, ),(1, ??) ( ,1) ? g ?( x ) ? 0 a a ,在区间 上 ,在区间 a 上 g ( x) ? 0

1 (0, ),(1, ??) 的单调递增区间是 a ,

1 ( ,1) 单调递减区间是 a .……….……………………. ……………. …………7 分
? ③ 当 a ? 1 时 , g ( x ) ? 0 恒 成 立 , 故 函 数 g ( x) 的 单 调 递 增 区 间 是 (0, ??) , 没 有 单 调 递 减 区

间…………………………………………………………………………………8 分 (Ⅲ)∵ h( x) 与 g ( x) 的单调性相同,当 a ? 1 ,由(Ⅱ)②可知:
h( x) ? g ( x) ? 5 ?
? ?[h( x)]极大 ? 0 1 ? ?[h( x)]极小 ? 0 ………………10 分 a 有三个不同的零点等价于 ?

函数

1 ? ?[h( x)]极大 ? h( ) a ? ?[h( x)]极小 ? h(1) 又? ,……………………………………………………………12 分
1 ? 1 h( ) ? 3 ? 2 ln ? 0 ? ? a a ? 1 ?h(1) ? 3 ? ? a ? 0 a ? ∴?
3 ? 2 3 1 ? a ? e ? 3 ? 13 ? ? ? a ? e2 ? 2 ? 3 ? 13 ? a ? ∴? 2 …………………13 分


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