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立体几何中的向量方法(Ⅱ)求空间角、距离]


立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角、距离
2015 高考会这样考 复习备考要这样做 1.考查用向量方法求空间角的大小;2.考查简单的空间距离的计算(点面距是重点). 1.掌握空间角的定义、范围,掌握求空间角的向量方法;2.会利用向量方法对距离进行转化.

1. 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 m1,m2,则

l1 与 l2 所成的角 θ 满足 cos θ =|cos〈m1,m2〉|. (2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m,n,则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 sin θ =|cos〈m,n〉 |. (3)求二面角的大小 → → 1°如图①,AB、CD 是二面角 α —l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则二面角的大小 θ =〈AB,CD〉 .

2°如图②③,n1,n2 分别是二面角 α —l—β 的两个半平面 α ,β 的法向量,则二面角的大小 θ 满足 cos θ =cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉 . 2. 点面距的求法如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段,n 为平面 α 的法向量,则 B 到平面 α

→ |AB·n| 的距离 d= . |n| [难点正本 疑点清源] 1. 向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点线面的位 置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算. 2. 利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面 α 、β 的向量 n1,n2 时,要根据向量坐标在图形中观 察法向量的方向,从而确定二面角与向量 n1,n2 的夹角是相等,还是互补. 3. 求点到平面距离的方法:①垂面法:借助面面垂直的性质来作垂线,其中过已知点确定已知面的垂面是关键; ②等体积法,转化为求三棱锥的高;③等价转移法;④法向量法.

1. 若平面 α 的一个法向量为 n=(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a=(-2,-3,3),则 l 与 α 所成角的正弦 值为___________. 2. 若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120°,则直线 l 与平面 α 所成的角为________. 3. 从空间一点 P 向二面角 α —l—β 的两个面 α ,β 分别作垂线 PE,PF,垂足分别为 E,F,若二面角 α —l—β 的大小为 60°,则∠EPF 的大小为__________. 4. 如图所示,在空间直角坐标系中,有一棱长为 a 的正方体 ABCO—A′B′C′D′,A′C

的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为________.

1

5. 在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中点,E,F 分别是 CC1,AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于________. 题型一 求异面直线所成的角 例1 如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 是正方形

BCC1B1 的中心,点 F、G 分别是棱 C1D1、AA1 的中点,设点 E1、G1
分别是点 E、G 在平面 DCC1D1 内的正投影. (1)证明:直线 FG1⊥平面 FEE1; (2)求异面直线 E1G1 与 EA 所成角的正弦值.

如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2.E、F 分别是线段 AB、BC 上的 点,且 EB=BF=1.求直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值.

题型二 求直线与平面所成的角 例2 如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD, 垂足为 H,PH 是四棱锥的高,E 为 AD 的中点. (1)证明:PE⊥BC; (2)若∠APB=∠ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值.

2

1 已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA=AC= AB,N 为 AB 上一点, 2 且 AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.

题型三 求二面角 例3 (2012·广东)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩 形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值.

(2011·辽宁)如图,四边形 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,PD∥QA,QA=

AB= PD.
(1)证明:平面 PQC⊥平面 DCQ; (2)求二面角 Q—BP—C 的余弦值.

1 2

3

题型四 求空间距离 例4 在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥ 平面 ABC,SA=SC=2 3,M、N 分别为 AB、SB 的中点,如图所示. 求点 B 到平面 CMN 的距离.

(2012·大纲全国)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,CC1=2 2,E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为 A.2 B. 3 C. 2 ( ) D.1

利用空间向量求角

典例:(12 分)如图,已知在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,

AA1=1,直线 BD 与平面 AA1B1B 所成的角为 30°,AE 垂直 BD
于点 E,F 为 A1B1 的中点. (1)求异面直线 AE 与 BF 所成角的余弦值; (2)求平面 BDF 与平面 AA1B 所成二面角(锐角)的余弦值.

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答题模板 利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 温馨提醒 (1)利用向量求角是高考的热点,几乎每年必考,主要是突出向量的工具性作用. (2)本题易错点是在建立坐标系时不能明确指出坐标原点和坐标轴,导致建系不规范. (3)将向量的夹角转化成空间角时,要注意根据角的概念和图形特征进行转化,否则易错.

方法与技巧 1. 若利用向量求角,各类角都可以转化为向量的夹角来运算. (1)求两异面直线 a、b 的夹角 θ ,须求出它们的方向向量 a,b 的夹角,则 cos θ =|cos〈a,b〉|. (2)求直线 l 与平面 α 所成的角 θ ,可先求出平面 α 的法向量 n 与直线 l 的方向向量 a 的夹角.则 sin θ = |cos〈n,a〉|. (3)求二面角 α —l—β 的大小 θ ,可先求出两个平面的法向量 n1,n2 所成的角,则 θ =〈n1,n2〉或 π -〈n1,

n2〉 .
2. 求点到平面的距离,若用向量知识,则离不开以该点为端点的平面的斜线段. 失误与防范 1. 利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同. 2. 求点到平面的距离,有时利用等积法求解可能更方便. 3. 求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角.

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A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1. 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 如图所示,则直线 B1D 和 CD1 所成的角 为 A.60° B.45° C.30° ( ) D.90°

2. 在空间直角坐标系 Oxyz 中, 平面 OAB 的一个法向量为 n=(2, -2,1), 已知点 P(-1,3,2), 则点 P 到平面 OAB 的距离 d 等于 ( A.4 3. ) B.2 C.3 D.1

如图所示,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1,E、F 分别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心,则 EF 和 CD 所成的角是 A.60° B.45° C.30° ( ) D.90°

4. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 为 BB1 的中点,则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 ( A. 1 2 B. 2 3 C. 3 3 D. ) 2 2

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AA1⊥底面 ABC,AB=BC=AA1, ∠ABC=90°,点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角是________. 6. 长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 ____________. 7. 设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,则点 D1 到平面 A1BD 的距离是________. 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)如图,四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PA 与平面 ABD 所成的角为 60°,在四边形 ABCD 中,∠ADC=∠DAB=90°,AB= 4,CD=1,AD=2. (1)建立适当的坐标系,并写出点 B,P 的坐标; (2)求异面直线 PA 与 BC 所成的角的余弦值.

9. (12 分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥ 平面 ABCD,PA=3,AD=2,AB=2 3,BC=6. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—BD—A 的大小.

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B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) → → 1. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin〈CM,D1N〉的值为 ( A. 1 9 4 B. 5 9 2 C. 5 9 ) D. 2 3 )

2. 在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=AA1,则 AC1 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为( A. 3. 2 2 B. 15 5 C. 6 4 D. 6 3

如图,设动点 P 在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的对角线 BD1 上,记

D1P =λ .当∠APC 为钝角时,则 λ 的取值范围是 D1B

(

)

? 1? A.?0, ? ? 3?
二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

? 1? B.?0, ? ? 2?

?1 ? C.? ,1? ?2 ?

?1 ? D.? ,1? ?3 ?

4. 如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC-

A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线 BC1 与直线 AB1 夹角的余弦值为
________. 5. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦 值为________. 6. 在四面体 P-ABC 中,PA,PB,PC 两两垂直,设 PA=PB=PC=a,则点 P 到平面 ABC 的距离为________. 三、解答题 7. (13 分)如图(1),在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=3,AC=6.D,E 分别是 AC,AB 上的点,且 DE∥BC,DE=2, 将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置,使 A1C⊥CD,如图(2).

(1)求证:A1C⊥平面 BCDE; (2)若 M 是 A1D 的中点,求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小; (3)线段 BC 上是否存在点 P,使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直?说明理由.

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