2.1.1指数与指数幂的运算(一)课件

§2.1.1指数与指数幂的运算

回顾初中知识,什么是平方根？立方根？
①如果一个数的平方等于a,则这个数叫做 a

的平方根. 例：22=4 2,-2叫4的平方根. 2=4 (-2) ②如果一个数的立方等于a,则这个数叫做a 的立方根. 2叫8的立方根. 例：23=8 (-2)3=-8 -2叫-8的立方根.

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24=16 (-2)4=16 25=32

2,-2叫16的4次方根;

2叫32的5次方根;

………………………………………… 通过类比方法，可得n次方根的定义.

2n = a
xn =a

2叫a的n次方根; x叫a的n次方根.

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1.方根的定义 如果xn=a,那么x叫做 a 的n次方根（其中n>1, 且n∈N*）. 即 如果一个数的n次方等于a (n>1，且 n∈N*)，那么这个数叫做 a 的n次方根. 23=8 8的3次方根是2. -8的3次方根是-2. 49的2次方根是7，-7.
3 记作： 8 ? 2.

(-2)3=-8 72=49 (-7)2=49 34=81 (-3)4=81

81的4次方根是3，-3.

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猜想：当n为奇数时，一个数的n次方 根有多少个？当n为偶数时呢？
(1) 奇次方根有以下性质： 正数的奇次方根是正数.负数的奇次方 根是负数.零的奇次方根是零. (2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数，负 数没有偶次方根，零的偶次方根是零.
如果x n ? a, 那么
? n a , n ? 2k ? 1, k ? N? , ? x?? ? ? ? n a , a ? 0, n ? 2k , k ? N . ?

零的n次方根是零.

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根指数

n

a

被开方数

根式

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思考： a ) ? ?, a ? ? (
n n n n

9 ( 3 ?8)3 ? ____. -8 ( 9) ? ____, n n ( a) ? a
2

(1)

5

25 ? 2,

3

（? 2 3 ? ?2. ）

(2) 32 ? 3,

(?3)2 ? ?3,

(?3)2 ? 3.

(3) 4 24 ? 2, 4 (?2)4 ? ?2, 4 ? 2 4 ? 2. （ ）

结论:an开偶次方根,则有

n

a n ?| a | .

an开奇次方根,则有 n a n ? a.

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公式1.

? a?
n

n

? a.

适用范围: ①当n为大于1的奇数时, a∈R.

②当n为大于1的偶数时, a≥0.
公式2.
n

a ? a.
n

适用范围:n为大于1的奇数, a∈R.

公式3.

n

a ?| a | .
n

适用范围:n为大于1的偶数, a∈R.

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例1.求下列各式的值

（ 1） (?8) ;
3 3

(2)

(?10)2 ;

(3)

4

(3 ? ? )4 ;
3 3

(4)

(a ? b)2 (a ? b).

解 ： ?1?

?? 8? = -8; 2 ?2? ?? 10? ?| ?10 | =10; 4 4 ?3? ?3 ? ? ? ?| 3 ? ? | ? ? ? 3; 2 ?| a ? b | ? a ? b a ? b . ? ? ?4? ?a ? b?

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【2】求下列各式的值.

⑴ ?32;
5

⑵ （? 3）;
4

⑶ （ 2 ? 3）;
2

⑷ 5? 2 6.
5

解: ⑴ 5 ?32 ?
4

5

(?2) ? ?2;
2 2 2

⑵ （? 3 ? [ ? 3) ] ? 9 ? 9; ） (
(3) （ 2 ? 3 ?| 2 ? 3 |? 3 ? 2; ）
2

(4) 5 ? 2 6 ? （ 2 ? 3 ? 3 ? 2. ）
2

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例2.填空: (1)在 6 ( ?2)2 n , 5 a 4 , 3 ? a 4 , 4 ( ?3)2 n?1

( ?3) 这四个式子中,没有意义的是________.
4 2 n?1

(2) 若 9a ? 6a ? 1 ? 3a ? 1, 则a 的 a≥ 1 取值范围是______. 3
2

(3)已知a, b, c为三角形的三边,则

2b ? 2c （a ? b ? c) ? b ? a ? c ? ________.
2

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例4.求使等式 ( x ? 2)( x ? 4) ? ( x ? 2) x ? 2
2

成立的x的范围. 解 : ? ( x ? 2)( x2 ? 4) ? ( x ? 2)2 ? x ? 2? ? x ? 2 x ? 2.

? x ? 2 x ? 2 ? ( x ? 2) x ? 2. ? x ? 2 ? 0, 则有 x ? 2 ? 0, 或 ? ?| x ? 2 |? x ? 2. ? x ? ?2, ? x ? ?2, 或 ? 即 x ? ?2, 或x ≥ 2. ? x ? 2 ≥ 0. 所以x的取值范围是 x ? ?2, 或x ≥ 2.

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例1.求值：

5? 2 6 ? 7? 4 3 ? 6? 4 2.

解：原式 ? ( 3 ? 2)2 ? (2 ? 3)2 ? (2 ? 2)2

?| 3 ? 2 | ? | 2 ? 3 | ? | 2 ? 2 |
? ( 3 ? 2 ) ? (2 ? 3 ) ? (2 ? 2 )

? 3 ? 2 ? 2? 3 ? 2? 2 ? 2 2.

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例2．如果 ?2 x ? 5 x ? 2 ? 0, 化简代 数式 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 2 | x ? 2 | . 解： ?2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0, ? 2 ? 2 x ? 5 x ? 2 ? 0, 解之，得 1 ? x ? 2. 2
2

所以
2

2 x ? 1 ? 0, x ? 2 ? 0.

? (2 x ? 1)2 ? 2 | x ? 2 | ? 4x ? 4x ? 1 ? 2 | x ? 2 |

?| 2 x ? 1 | ?2 | x ? 2 | ? (2 x ? 1) ? 2[?( x ? 2)] ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 4 ? 3.

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1.根式定义 2.根式的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数, 负数的n次方根是一个负数,这时,a的n次方根用 符号 n a 表示.零的任何次方根都是零. (2)当n为偶数时,正数a的n次方根有两个, 合写 为 ? n a .负数没有偶次方根. 零的任何次方根 都是零.

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3.三个公式 (1)

? a?
n

n

? a;

(2) n a n ? a;

(3) a ?| a | .
n n

4.若xn=a , x怎样用a表示？
?n a, n为奇数, ? ? ? n a , n为偶数, a ? 0, x?? a ? 0, ? 0, ?不存在, n为偶数, a ? 0. ?