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第6炼 函数的图像

时间:2016-06-19


第二章

第 6 炼 函数的图像

函数及其性质

第 6 炼 函数的图像
一、基础知识 1、做草图需要注意的信息点: 做草图的原则是:速度快且能提供所需要的信息,通过草图能够显示出函数的性质。在 作图中草图框架的核心要素是函数的单调性, 对于一个陌生的可导函数, 可通过对导函数的 符号分析得到单调区间, 图像形状依赖于函数的凹凸性, 可由二阶导数的符号决定 (详见 “知 识点讲解与分析”的第 3 点) ,这两部分确定下来,则函数大致轮廓可定,但为了方便数形 结合,让图像更好体现函数的性质,有一些信息点也要在图像中通过计算体现出来,下面以 常见函数为例,来说明作图时常体现的几个信息点 (1)一次函数: y ? kx ? b ,若直线不与坐标轴平行,通常可利用直线与坐标轴的交点来确 定直线 特点:两点确定一条直线 信息点:与坐标轴的交点 (2)二次函数: y ? a ? x ? h ? ? k ,其特点在于存在对称轴,故作图时只需做出对称轴一
2

侧的图像,另一侧由对称性可得。函数先减再增,存在极值点——顶点,若与坐标轴相交, 则标出交点坐标可使图像更为精确 特点:对称性 信息点:对称轴,极值点,坐标轴交点 (3)反比例函数: y ?

1 ,其定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? ,是奇函数,只需做出正版轴图 x

像即可(负半轴依靠对称做出) ,坐标轴为函数的渐近线 特点:奇函数(图像关于原点中心对称) ,渐近线 信息点:渐近线 注: (1)所谓渐近线:是指若曲线无限接近一条直线但不相交,则称这条直线为渐近线。渐近 线在作图中的作用体现为对曲线变化给予了一些限制, 例如在反比例函数中, x 轴是渐近线, 那么当 x ??? ,曲线无限向 x 轴接近,但不相交,则函数在 x 正半轴就不会有 x 轴下方的 部分。

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(2)水平渐近线的判定:需要对函数值进行估计:若 x ??? (或 ?? )时, f ? x ? ? 常 数 C ,则称直线 y ? C 为函数 f ? x ? 的水平渐近线 例如: y ? 2 x 当 x ??? 时, y ? ?? ,故在 x 轴正方向不存在渐近线 当 x ??? 时, y ? 0 ,故在 x 轴负方向存在渐近线 y ? 0 (3)竖直渐近线的判定:首先 f ? x ? 在 x ? a 处无定义,且当 x ? a 时, f ? x ? ? ??(或 ,那么称 x ? a 为 f ? x ? 的竖直渐近线 ?? ) 例如: y ? log2 x 在 x ? 0 处无定义,当 x ? 0 时, f ? x ? ? ?? ,所以 x ? 0 为 y ? log2 x 的一条渐近线。 综上所述:在作图时以下信息点值得通过计算后体现在图像中:与坐标轴的交点;对称轴 与对称中心;极值点;渐近线。 例:作出函数 f ? x ? ? x ?

1 的图像 x

分析:定义域为 ? ??,0? ? ? 0, ??? ,且 f ? x ? 为奇函数, 故先考虑 x 正半轴情况。

f ' ? x? ? 1 ?

1 ? 0 故函数单调递增, x2 2 f '' ? x ? ? ? 3 ? 0 ,故函数为上凸函数,当 x ??? 时, x

f ? x ? ? ?? 无水平渐近线, x ? 0 时, f ? x ? ? ?? ,所以 y 轴为 f ? x ? 的竖直渐近线。
零点: ?1,0? ,由这些信息可做出正半轴的草图,在根据对称性得到 f ? x ? 完整图像: 2、函数图象变换:设函数 y ? f ? x ? ,其它参数均为正数 (1)平移变换:

f ? x ? a ? : f ? x ? 的图像向左平移 a 个单位 f ? x ? a ? : f ? x ? 的图像向右平移 a 个单位 f ? x ? ? b : f ? x ? 的图像向上平移 a 个单位 f ? x ? ? b : f ? x ? 的图像向下平移 a 个单位
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(2)对称变换:

f ? ? x ? :与 f ? x ? 的图像关于 y 轴对称 ? f ? x ? :与 f ? x ? 的图像关于 x 轴对称 ? f ? ? x ? :与 f ? x ? 的图像关于原点对称
(3)伸缩变换:

1 ?k ? 1: 收缩 f ? kx ? : f ? x ? 图像纵坐标不变,横坐标变为原来的 ? k ?0 ? k ? 1:拉伸 ?k ? 1: 拉伸 kf ? x ? : f ? x ? 图像横坐标不变,纵坐标变为原来的 k 倍 ? ?0 ? k ? 1:收缩
(4)翻折变换:

? ? f ? x? , x ? 0 f ? x ?:f ? x ?? ? 即正半轴的图像不变,负半轴的原图像不要,换上与正半 f ? x , x ? 0 ? ? ? ?
轴图像关于 y 轴对称的图像

? ? f ? x? , f ? x? ? 0 f ? x? : f ? x? ? ? 即 x 轴上方的图像不变,下方的图像沿 x 轴对称的翻 ? f x , f x ? 0 ? ? ? ? ? ?
上去。 3、二阶导函数与函数的凹凸性: (1)无论函数单调增还是单调减,其图像均有 3 种情况, 若一个函数的增减图像为 则称函数为下凸函数

若一个函数的增减图像为

则称函数为上凸函数

(2)上凸函数特点:增区间增长速度越来越慢,减区间下降速度越来越快 下凸函数特点:增区间增长速度越来越快,减区间下降速度越来越慢 (3)与导数的关系:设 f
'

,如图所示:增 ? x ? 的导函数为 f '' ? x ? (即 f ? x ? 的二阶导函数)
'

长速度受每一点切线斜率的变化情况的影响, 下凸函数斜率随 x 的增大而增大, 即f 增函数 ? f
''

? x? 为

? x? ? 0 ;上凸函数随 x 的增大而减小,即 f ' ? x ? 为减函数 ? f '' ? x? ? 0 ;

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综上所述: 函数是上凸下凸可由导函数的增减性决定, 进而能用二阶导函数的符号进行求解。 二、方法与技巧: 1、在处理有关判断正确图像的选择题中,常用的方法是排除法,通过寻找四个选项的不同, 再结合函数的性质即可进行排除,常见的区分要素如下: (1)单调性:导函数的符号决定原函数的单调性,导函数图像位于 x 轴上方的区域表示原 函数的单调增区间,位于 x 轴下方的区域表示原函数的单调减区间 (2)函数零点周围的函数值符号:可通过带入零点附近的特殊点来进行区分 (3)极值点 (4)对称性(奇偶性)——易于判断,进而优先观察 (5)函数的凹凸性:导函数的单调性决定原函数的凹凸性,导函数增区间即为函数的下凸 部分,减区间为函数的上凸部分。其单调性可由二阶导函数确定 2、利用图像变换作图的步骤: (1)寻找到模板函数 f ? x ? (以此函数作为基础进行图像变换) (2)找到所求函数与 f ? x ? 的联系 (3)根据联系制定变换策略,对图像进行变换。 例如:作图: y ? ln ? x ? 1? 第一步寻找模板函数为: f ? x ? ? ln x 第二步寻找联系:可得 y ? f ? x ? 1? 第三步制定策略:由 f ? x ? 1? 特点可得:先将 f ? x ? 图像向左平移一个单位,再将 x 轴下 方图像向上进行翻折,然后按照方案作图即可 3、如何制定图象变换的策略 (1)在寻找到联系后可根据函数的形式了解变换所需要的步骤,其规律如下: ① 若变换发生在“括号”内部,则属于横坐标的变换 ② 若变换发生在“括号”外部,则属于纵坐标的变换 例如: y ? f ? 3x ? 1? :可判断出属于横坐标的变换:有放缩与平移两个步骤

y ? f ? ? x ? ? 2 :可判断出横纵坐标均需变换,其中横坐标的为对称变换,纵坐标的
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为平移变换 (2)多个步骤的顺序问题:在判断了需要几步变换以及属于横坐标还是纵坐标的变换后, 在安排顺序时注意以下原则: ① 横坐标的变换与纵坐标的变换互不影响,无先后要求 ② 横坐标的多次变换中,每次变换只有 x 发生相应变化 例如: y ? f ? x ? ? y ? f ? 2x ? 1? 可有两种方案 方案一:先平移(向左平移 1 个单位) ,此时 f ? x ? ? f ? x ? 1? 。再放缩(横坐标变为原来

1 ) ,此时系数 2 只是添给 x ,即 f ? x ? 1? ? f ?2x ? 1? 2 1 方案二:先放缩(横坐标变为原来的 ) ,此时 f ? x ? ? f ? 2 x ? ,再平移时,若平移 a 个单 2 1 1 位, 则 f ? 2 x ? ? f ? 2 ? x ? a ? ? ? f ? 2 x ? 2a ?(只对 x 加 a ) , 可解得 a ? , 故向左平移 2 2
的 个单位 ③ 纵坐标的多次变换中,每次变换将解析式看做一个整体进行 例如: y ? f ? x ? ? y ? 2 f ? x ? ? 1 有两种方案 方案一:先放缩: y ? f ? x ? ? y ? 2 f ? x ? ,再平移时,将解析式看做一个整体,整体加 1, 即 y ? 2 f ? x? ? y ? 2 f ? x? ? 1 方案二:先平移: y ? f ? x ? ? y ? f ? x ? ? 1,则再放缩时,若纵坐标变为原来的 a 倍,那 么 y ? f ? x ? ? 1 ? y ? a f ? x ? ? 1 ,无论 a 取何值,也无法达到 y ? 2 f ? x ? ? 1,所以需 要对前一步进行调整:平移 4、变换作图的技巧: (1)图像变换时可抓住对称轴,零点,渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同 方向的移动。先把握住这些关键要素的位置,有助于提高图像的精确性 (2)图像变换后要将一些关键点标出:如边界点,新的零点与极值点,与 y 轴的交点等 三、例题精析: 例 1:己知函数 f ? x ? ? ax ? bx ? c ,其导数 f
3 2 '

?

?

?

?

1 个单位,再进行放缩即可( a ? 2 ) 2

? x ? 的图象如图所示,则函数 f ? x ? 的极

大值是(



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A. a ? b ? c

B. 8a ? 4b ? c

C. 3a ? 2b

D. c

思 路 : 由 图 像 可 知 : x ? ?0, 2 ? 时 , f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单 调 递 增 , x ? ?2, ??? 时 ,

f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 单调递减,所以 f ? x ? 的极大值为 f ? 2? ? 8a ? 4b ? c
答案:B 小炼有话说:观察导函数图像时首要关注的是函数的符号,即是在 x 轴的上方还是下方,导 函数的符号决定原函数的单调性 例 2:设函数 y ? f ( x) 可导, y ? f ( x) 的图象如图所示,则导函数 y ? f ?( x) 的图像可能为 ( y O
图1

) y y y y

x

O A

x

O

x

O C

x

O D

x

B

思路: 根据原函数的图像可得:f ? x ? 在 ? ??,0? 单调递增, 在正半轴先增再减再增, 故 f ' ? x? 在负半轴的符号为正,在正半轴的符号依次为?正负正? ,观察四个选项只有 D 符合 答案:D 小炼有话说:本题可直接由导函数的符号来排除其他选项,若选项中也有符合 D 中? 负半 轴的符号为正,在正半轴的符号依次为‘正负正’ ? ,那么可观察第二条标准:从图上看在 x 负半轴中,函数增长的速度越来越快,则说明切线斜率随 x 的增大而增大,进而导函数在 x 负半轴也单调递增,依次类推可得到正半轴的情况,D 选项依然符合特征 例 3:函数 f ? x ? ? e x ? 1 的部分图象为(
x 2



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思路: f

'

? x? ? ex x2 ? e2 ?2x ? ? x ? x ? 2? ex ,可得 f ? x ? 在 ? ??, ?2? , ?0, ??? 单调递增,
2 x

在 ? ?2,0? 单调递减,且可估计当 x ??? , x e ?

x2 ? 0 即 f ? x ? ? ?1 ,所以 y ? ?1 e? x

为函数 f ? x ? 的渐近线,当 x ? ??, y ? ? ? 由此可判断出图像 A 正确 答案:A 小炼有话说: (1)本题考查的是通过分析函数性质作图,单调性是非常重要的一个要素,通 过单调性也可排除其他三个选项 (2) 关于渐近线的判断: 对于 x ??? ,x e ?
2 x

x2 ? 0 可这样理解,x ??? 时,x 2 , e? x e? x
?x

均趋向正无穷,但 e

?x

的速度更快,进而伴随着 x ??? , e

将远远大于 x ,进而比值趋

2

于 0,当 x ??? ,增长速度的排名为:直线(一次函数)<二次函数<指数函数 例 4:函数 f ? x ? ?
y

x ln | x | 的图像可能是( |x|
y y
?1

)
y
?1

O
?1
1

O
x
?1
1

x

O
C

1

x

O
D

1

x

A

B

思 路 : 观 察 解 析 式 可 判 断 出 f ? x? ?

x ln x 为 奇 函 数 , 排 除 A,C. 当 x ? 0 时 , x

f ? x? ? 0 ? l n x,故选择 B
答案:B
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小炼有话说: f ? x ? ?

x ln | x | 有两点可以优先观察:一个是奇偶性,则图像具有对称性, |x|

只需考虑正半轴的情况即可;二是含有绝对值,可利用 x 的符号去掉绝对值,进而得到正半 轴的解析式。 例 5(2015 浙江文) :函数 f ? x ? ? ? x ?

? ?

1? ? cos x ? ?? ? x ? ? , x ? 0 ? 的图像可能为( x?



思路:观察 4 个选项的图像,其中 A,B 图像关于 y 轴对称,C,D 图像关于原点中心对称。 所以先判断函数奇偶性, 可判断出 f ? ? x ? ? ? ? x ?

? ?

1? 1? ? ? cos ? ? x ? ? ? ? x ? ? cos x ? ? f ? x ? x? x? ?

所以 f ? x ? 为奇函数,排除 A,B,再观察 C,D 的区别之一就是 f

?? ? 的符号,经过计算可得

1? 1 ? f ?? ? ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? 0 ,所以排除 C ?? ? ?
答案:D 例 6:已知 f ? x ? ?

1 2 ?? ? x ? sin ? ? x ? , f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 f ? ? x ? 的图像是( 4 ?2 ?

)

思路: f ? x ? ?

1 1 2 ?? ? 1 x ? sin ? ? x ? ? x 2 ? cos x , f ' ? x ? ? x ? sin x ,可判断 f ' ? x ? 为 2 4 ?2 ? 4
'

奇函数, 图像关于原点中心对称, 排除 B, D 。 因为 f ? 排除 C 。故 A 正确。 答案:A

? 1 ?? ? ?? ? 1 ? ? ? ? ? sin ? ? ? 1? ? 0 , 6 2? 6 ? ?6? 2 6

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小炼有话说: f

'

? x? ?

1 x ? sin x 可优先判断出奇偶性,进而排除一些选项,对于 A, C 选 2

项而言,其不同之处有两点,一点是从 x ? 0 处开始的 f ' ? x ? 符号,解析的思路也源于此, 但需要代入特殊角进行判断,A 选项的图中发现在 x 轴正半轴中靠近 y 轴的函数值小于零, 从而选择最接近 0 的特殊角

? ,除此之外, A, C 图像的不同之处还在于从 x ? 0 开始时 6
1 ? ?? ? cos x , 则 x ? ? 0, ? 时 , 2 ? 3?

f ' ? x ? 的 单 调 性 , 所 以 也 可 对 f ' ? x ? 求 导 , f '' ? x ? ? f '' ? x ? ? 0 ,即 f ' ? x ? 应先减再增。所以排除 C

例 7:下面四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确 的序号 ..... 是( )

A.①②

B.③④

C.①③

D.①④

思路:如图所示:在图①、②在每个区间上函数的单调性与对应的导数的符号是正确的,即 单调增区间导数大于零,单调减区间上导数小于零;在③中显示在区间 ? 0, b ? 上导函数的值 为负值,而该区间上的函数图象显示不单调,二者不一致,所以③不正确;在④图象显示在 区间 ? a, b ? 上导函数的值总为正数, 而相应区间上的函数图象却显示为减函数, 二者相矛盾, 所以不正确.故选 B. 答案:B 小炼有话说: 要注意导函数图像与原函数图像的联系: 导函数的符号与原函数的单调性相对 应,导函数的增减与原函数的凹凸性相对应。

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2 ' 例 8:已知 R 上可导函数 f ? x ? 的图象如图所示,则不等式 x ? 2 x ? 3 f ? x ? ? 0 的解集

?

?

为(

)

A. ? ??, ?2? ? ?1, ??? C.

B. D.

? ??, ?2? ? ?1,2? ? ??, ?1? ? ? ?1,1? ? ?3, ???
'

? ??, ?1? ? ? ?1,0? ? ?2, ???

思路:由图像可得: x ? ? ??, ?1? , ?1, ??? 时, f

? x ? ? 0 , x ? ? ?1,1? 时, f ' ? x ? ? 0 ,所

2 2 ? ?x ? 2x ? 3 ? 0 ? ?x ? 2x ? 3 ? 0 以所解不等式为:? ' 或? ' , 可得: ? ??, ?1? ? ? ?1,1? ? ?3, ??? ? ? ? f ? x? ? 0 ? f ? x? ? 0

答案:D
2 2 例 9:函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx ? d 的大致图象如图所示,则 x1 等于( ? x2

3

2

)

A.

8 9

B.

10 9

C.

16 9

D.

4 5

思路:由图像可得: x1 , x2 为 f ? x ? 的极值点, x ? ?1, x ? 0, x ? 2 为函数的零点

f ' ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c ,即 x1 , x2 是方程 3x 2 ? 2bx ? c ? 0 的两个根,? x1 ? x2 ? ?
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2b , 3

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x1 x2 ?

c 4b2 2c 2 2 2 ? , ,? x1 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 3 9 3

? f ? ?1? ? 0 ??1 ? b ? c ? d ? 0 ?b ? ?1 ? ? ? 由 ? f ? 2 ? ? 0 ? ?8 ? 4b ? 2c ? d ? 0 ? ?c ? ?2 ? ?d ? 0 ?d ? 0 ? ? ? f ? 0? ? 0
2 ? x12 ? x2 ? ? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? 2

4b2 2c 16 ? ? 9 3 9

答案:C 小炼有话说:在观察一个函数图像时,有几个地方值得关注: 极值点——单调区间的分界点,导函数的零点; 零点——函数符号的分界点; 单调性——决定导函数的符号。 例 10: (2015 安徽)函数 f ? x ? ? A. a ? 0, b ? 0, c ? 0 C. a ? 0, b ? 0, c ? 0

ax ? b

? x ? c?

2

的图像如图所示,则下列结论成立的是(



B. a ? 0, b ? 0, c ? 0 D. a ? 0, b ? 0, c ? 0

思路:观察函数图像突出的特点便可确定 a, b, c 的符号: 特点 1:渐近线在 x 正半轴,从解析式可知 f ? x ? 的竖直渐 近线为 x ? c ? 0 即 x ? ?c ,所以 ?c ? 0 ? c ? 0 特点 2: x ??? 时, f ? x ? 仍大于 0,通过解析式可得 f ? x ? 的符号由 ax ? b 决定,所以 从? x ??? 时, f ? x ? 仍大于 0?中可推断出 a ? 0 特点 3:图像与 y 轴交点纵坐标为正, f ? 0 ? ? 综上所述,选项 a ? 0, b ? 0, c ? 0 答案:C

b ? 0 ,所以 b ? 0 c2

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