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2015年北京市17区二模试题第29题汇编—综合题


(2015 年北京市海淀区二模数学 29 题)
29. 如图 1,在平面直角坐标系 xOy 内,已知点 A(?1, 0) , B(?1,1) , C (1,0) , D (1,1) ,记线 段 AB 为 T1 ,线段 CD 为 T2 ,点 P 是坐标系内一点.给出如下定义:若存在过点 P 的直线 l 与 T1 , T2 都有公共点,则称点 P 是 T1 ? T2 联络点

. 例如,点 P (0, ) 是 T1 ? T2 联络点. (1)以下各点中,__________________是 T1 ? T2 联络点(填出所有正确的序号) ; ① (0, 2) ;② (?4, 2) ;③ (3, 2) .
3 2

1 2

y

3 2

y

B A
–4 –3 –2 –1

1

D C O
1 2 3 4

B A x
–4 –3 –2 –1

1

D C O
1 2 3 4

x

–1 –2 –3

–1 –2 –3

图1

备用图

(2)直接在图 1 中画出所有 T1 ? T2 联络点所组成的区域,用阴影部分表示; (3) 已知点 M 在 y 轴上, 以 M 为圆心, r 为半径画圆, ⊙M 上只有一个点为 T1 ? T2 联络点, ①若 r ? 1 ,求点 M 的纵坐标; ②求 r 的取值范围.

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(2015 年北京市东城区二模数学 29 题)
29.定义:如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分,那么就把这条直线称作这 个封闭图形的等分线。 (1)请在如下的三个图形中,分别作一条等分线.



平行四边形

等腰三角形

(2)请在图中用尺规作图 作一条直线 l ,使它即是矩形的等分线,也是圆的等分线.(保留作 .... 图痕迹,不写作法)

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( 2015 年北京市西城区二模数学 29 题)
29.对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P 和图形 G,给出如下定义:在图形 G 上若存在两点 M,N,使△PMN 为正三角形,则称图形 G 为点 P 的 τ 型线,点 P 为图形 G 的 τ 型点, △PMN 为图形 G 关于点 P 的 τ 型三角形. (1)如图 1,已知点 A(0, ? 3) , B(3,0) ,以原点 O 为圆心的⊙O 的半径为 1.在 A,B 两点中,⊙O 的 τ 型点是____,画出并回答⊙O 关于该 τ 型点的 τ 型三角形; (画 出一个即可) (2)如图 2,已知点 E (0, 2) ,点 F ( m,0) (其中 m>0) .若线段 EF 为原点 O 的 τ 型线, 且线段 EF 关于原点 O 的 τ 型三角形的面积为

4 3 ,求 m 的值; 9

(3)若 H (0, ?2) 是抛物线 y ? x 2 ? n 的 τ 型点,直接写出 n 的取值范围.

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( 2015 年北京市朝阳区二模数学 29 题)
29.如图,顶点为 A(-4,4)的二次函数图象经过原点(0,0) ,点 P 在该图象上,OP 交其对 称轴 l 于点 M,点 M、N 关于点 A 对称,连接 PN,ON. (1)求该二次函数的表达式; (2)若点 P 的坐标是(-6,3) ,求△OPN 的面积; (3)当点 P 在对称轴 l 左侧的二次函数图象上运动时, 请解答下面问题: ① 求证:∠PNM=∠ONM; ② 若△OPN 为直角三角形,请直接写出所有符合 条件的点 P 的坐标.

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( 2015 年北京市丰台区二模数学 29 题)
29. 对某一个函数给出如下定义: 如果存在实数 M ,对于任意的函数值 y , 都满足 y≤M , 那么称这个函数是有上界函数,在所有满足条件的 M 中,其最小值称为这个函数的上 确界.例如,图中的函数是有上界函数,其上确界是 2.

1 (1)分别判断函数 y ? ? ( x<0 )和 y ? 2 x ? 3 ( x<2 ) x
是不是有上界函数?如果是有上界函数,求其上确界; (2)如果函数 y ? ? x ? 2 ( a≤x≤b, b>a )的上确界是 b , 且这个函数的最小值不超过 2a ? 1 ,求 a 的取值范围; (3)如果函数 y ? x ? 2ax ? 2 ( 1≤x≤5 )是以 3 为上确界的
2

y
4 3 2 1 1O 1 2 1 2 3 4 5

x

有上界函数,求实数 a 的值.

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( 2015 年北京市石景山区二模数学 29 题)
29.对于平面直角坐标系 xOy 中的点 P ? m, n ? ,定义一种变换:作点 P ? m, n ? 关于 y 轴对 称的点 P ' ,再将 P ' 向左平移 k ? k ? 0? 个单位得到点 Pk ' , Pk ' 叫做对点 P ? m, n ? 的 k (1)求 P ? 3, 2 ? 的 3 阶“ ? ”变换后 P 3 ' 的坐标; (2)若直线 y ? 3x ? 3 与 x 轴, y 轴分别交于 A, B 两点,点 A 的 2 阶“ ? ”变换后得 到点 C ,求过 A, B, C 三点的抛物线 M 的解析式; (3)在(2)的条件下,抛物线 M 的对称轴与 x 轴交于 D ,若在抛物线 M 对称轴上存 在一点 E ,使得以 E , D, B 为顶点的三角 形是等腰三角形,求点 E 的坐标.
[来源:学*科*网]

阶“ ? ”变换.

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( 2015 年北京市昌平区二模数学 29 题)
29. 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y中 , 给 出 如 下 定 义 : 形 如 y ? a? x? m 与 ? ? ?a x? ? m
2

. y ? a ? x ? m? ? a ? x ? m? 的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”
2

(1)试写出一对兄弟抛物线的解析式





(2) 判断二次函数 y ? x 2 ? x 与 y ? x2 ? 3x ? 2 的图象是否为兄弟抛物线, 如果是, 求出 a 与

m 的值,如果不是,请说明理由;
(3)若一对兄弟抛物线各自与 x 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形,其中一个抛物线 的对称轴为直线 x ? 2 且开口向上,请直接写出这对兄弟抛物线的解析式.

y

O

x

备用图

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( 2015 年北京市顺义区二模数学 29 题)
29.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? ?

2 2 x ? bx ? c 与 x 轴交于 A,B 两点,其 3

中 B(6,0) ,与 y 轴交于点 C(0,8) ,点 P 是 x 轴上方的抛物线上一动点(不与点 C 重合) . (1)求抛物线的表达式; (2)过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D,交直线 BC 于点 E,点 E 关于直线 PC 的对称点为 E ' ,若点 ,请判断以 P,C,E, E ' 为顶点的四边形的形状, 并 E ' 落在 y 轴上(不与点 C 重合) 说明理由; (3)在(2)的 条件 下直接写出点 P 的坐标.
y y

C

P

C

A

O

B

x

A

O 备用图

B

x

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( 2015 年北京市怀柔区二模数学 29 题)
29. 阅读理解: 学习了三角形全等的判定方法:“SAS”,“ASA”,“AAS”,“SSS”和直角三角形全 等的判定方法“HL”后,我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相 等”即“SSA”的情形进行研究. 我们不妨将问题用符号语言表示为:在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠A=∠D. 初步探究: 如图 1,已知 AC=DF, ∠A=∠D,过 C 作 CH⊥射线 AM 于点 H,对△ABC 的 CB 边进行分类, 可分为“CB<CH,CB=CH,CH<CB<CA,”三种情况进行探究.
C F

A

H

M

D

N

图1

深入探究: 第一种情况,当 BC<CH 时,不能构成△ABC 和△DEF. 第二种情况, (1)如图 2,当 BC=CH 时,在△ABC 和△DEF 中,AC=DF,BC=EF,∠A=∠D, 根据 ,可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF.
C F

A

H (B)

M

D

E

N

图2

第三种情况, (2)当 CH<BC<CA 时,△ABC 和△DEF 不一定全等.请你用尺规在图 1 的两 个图形中分别补全△ABC 和△DEF,使△DEF 和△ABC 不全等(表明字母,不写作法,保留 作图痕迹) . (3)从上述三种情况发现,只有当 BC=CH 时,才一定能使△ABC≌△DEF. 除了上述三种 情况外,BC 边还可以满足什么条件,也一定能使△ABC≌△DEF?写出结论,并利用备用图 证明.
C F

A

H

M

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D

N

备用图

( 2015 年北京市平谷区二模数学 29 题)
29.定义:如图 1,平面上两条直线 AB、CD 相交于点 O,对于平面内任意一点 M,点 M 到直线 AB、 CD 的距离分别为 p、 q, 则称有序实数对 (p, q) 是点 M 的 “距离坐标” . 根 据上述定义, “距离坐标”为(0,0)点有 1 个,即点 O. (1) “距离坐标”为(1,0)点有 个;
D
D

C
B O

A M

M(p,q) A O
[来源:Zxxk.Com]

B

A

O

D

B

C

C 图2 图3 (2)如图 2,若点 M 在过点 O 且与直线 CD 垂直的直线 l 上时,点 M 的“距离坐标”为 (p,q) ,且∠BOD=120° .请画出图形,并直接写出 p,q 的关系式;

图1

(3)如图 3,点 M 的“距离坐标”为(1, 3 ) ,且∠AOB=30° ,求 OM 的长.

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( 2015 年北京市门头沟区二模数学 29 题)
29.我们给出如下定义:在平面直角坐标系 xOy 中,如果一条抛物线平移后得到的抛物线经 过原抛物线的顶点,那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线. 如下图,抛物线 F2 都是抛物线 F1 的过顶抛物线,设 F1 的顶点为 A,F2 的对称轴分别 交 F1、F2 于点 D、B,点 C 是点 A 关于直线 BD 的对称点.
y F1 D O(A) B C F2 A B O x D x C y F1 F2

图1
2 2

图2

(1)如图 1,如果抛物线 y=x 的过顶抛物线为 y=ax +bx,C(2,0) ,那么 ① a= ,b= . )

② 如果顺次连接 A、B、C、D 四点,那么四边形 ABCD 为( A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形

(2)如图 2,抛物线 y=ax2+c 的过顶抛物线为 F2,B(2,c-1) . 求四边形 ABCD 的面积.
2 (3)如果抛物线 y ? x ? x ?

1 3

2 3

7 的过顶抛物线是 F2,四边形 ABCD 的面积为 2 3 , 3

请直接写出点 B 的坐标.
y

O

x

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