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2013-2014学年高三理科数学周练(导数解答题)


2013-2014学年高三理科数学周练(导数解答题)
班级 姓名 座号 3 2 1. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c, 曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 3x-y+1=0, 2 若 x= 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值;(2)求 y=f(x)在区间[-3,1]上的最大值和最小值. 3 2 解:(1)由 f(x)=x +ax

+bx+c, 2 得 f′(x)=3x +2ax+b, 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3, 可得 2a+b=0.① 2 2 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′( )=0, 3 3 可得 4a+3b+4=0.② 由①②解得 a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为 x=1, ∴f(1)=3×1+1=4, ∴1+a+b+c=4, ∴c=5. 3 2 (2)由(1)可得 f(x)=x +2x -4x+5, 2 ∴f′(x)=3x +4x-4, 2 令 f′(x)=0,得 x=-2 或 x= . 3 当 x 变化时,y′、y 的取值及变化如下表:

95 ∴y=f(x)在区间[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27

1

1 2 2.求函数 f(x)= x -lnx 的单调区间与最小值 2

3.已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b? R) .
3 2

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ...

2

1 2 4.已知函数 f(x)= x -aln x(a∈R). 2 (1)若函数 f(x)的图象在 x=2 处的切线方程为 y=x+b,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在(1,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围.

3

5.设函数 f ( x) ? x ?
3

9 2 x ? 6x ? a . 2

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围.

4

变式:

6.设函数 f ( x) ? e ? e .
x

?x

(Ⅰ)证明: f ( x) 的导数 f ?( x) ≥ 2 ; (Ⅱ)若对所有 x≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ,求 a 的取值范围.
5

6

7.设 L 为曲线 C: y ?

ln x 在点(1,0)处的切线. x

(I)求 L 的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方.

【答案】解: (I)设 f ( x) ?

ln x 1 ? ln x ,则 f ?( x) ? .所以 f ?(1) ? 1 .所以 L 的方程为 x x2

y ? x ? 1 . (II)令 g ( x) ? x ? 1 ? f ( x) ,则除切点之外,曲线 C 在直线 l 的下方等价于 g ( x) ? 0 (?x ? 0, x ? 1) .
2

g ( x) 满足 g (1) ? 0 ,且 g ?( x) ? 1 ? f ?( x) ?

x 2 ? 1 ? ln x . x2

当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 单调递减; 当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 单调递增.
2

所以, g ( x) ? g (1) ? 0 ( x ? 0, x ? 1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 又解: g ( x) ? 0 即 x ? 1 ?

ln x ? 0 变形为 x2 ? x ? ln x ? 0 ,记 h( x) ? x 2 ? x ? ln x ,则 x

h?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) ? ? , x x x

所以当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x ) 在(0,1)上单调递减; 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x ) 在(1,+∞)上单调递增. 所以 h( x) ? h(1) ? 0 .)

7

8 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 1 ?

a . x

(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x ) ? x ? 2 ln x , f ?( x ) ? 1 ?

2 ( x ? 0) , x

? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , ? y ? f ( x ) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,
即x? y?2?0. (Ⅱ)由 f ?( x ) ? 1 ?

a x?a ? , x ? 0 可知: x x

①当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x ) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? a ;

? x ? (0, a ) 时, f ?( x ) ? 0 , x ? ( a, ??) 时, f ?( x ) ? 0

? f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a ) ? a ? a ln a ,无极大值.
综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值.

8

9.已知函数 f(x)=x -8lnx,g(x)=-x +14x. (1)求函数 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 f(x)与 g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f(x)=g(x)+m 有唯一解,试求实数 m 的值. 解 8 (1)因为 f′(x)=2x- ,所以切线的斜率 k=f′(1)=-6. x

2

2

又 f(1)=1,故所求的切线方程为 y-1=-6(x-1).即 y=-6x+7. 2? (2)因为 f′(x)= x+2? ? x x-2? ,

又 x>0,所以当 x>2 时,f′(x)>0;当 0<x<2 时,f′(x)<0. 即 f(x)在(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减. 又 g(x)=-(x-7) +49,所以 g(x)在(-∞,7)上单调递增,在(7,+∞)上单调递 减, 欲使函数 f(x)与 g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,则{a≥2?a+1≤7 ,解得 2≤a≤6. (3)原方程等价于 2x -8lnx-14x=m, 令 h(x)=2x -8lnx-14x,则原方程即为 h(x)=m. 因为当 x>0 时原方程有唯一解, 所以函数 y=h(x)与 y=m 的图象在 y 轴右侧有唯一的 交点. 8 2? 又 h′(x)=4x- -14= x x-4? ? 2x+1? ,且 x>0, x
9
2 2 2

所以当 x>4 时,h′(x)>0;当 0<x<4 时,h′(x)<0. 即 h(x)在(4, +∞)上单调递增, 在(0,4)上单调递减, h(x)在 x=4 处取得最小值, 故 从而当 x>0 时原方程有唯一解的充要条件是 m=h(4)=-16ln2-24.

10.已知函数 f ( x) ? (a ? ) x ? ln x .( a ? R )
2

1 2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f (x) 在区间[1,e]上的最大值和最小值; (Ⅱ)若在区间(1,+∞)上,函数 f (x) 的图象恒在直线 y ? 2ax 下方,求 a 的取值范 围.

10

1 2 2 11. 已知定义在正实数集上的函数 f(x)= x +2ax,g(x)=3a lnx+b,其中 a>0,设 2 两曲线 y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用 a 表示 b,并求 b 的最大值;(2)求证:f(x)≥g(x)(x>0).

11

12

13

1.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1 2 =0,若 x= 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在区间[-3,1]上的最大值和最小值. 3.已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b? R) .
3 2

3

2

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 解:(Ⅰ)由函数 f(x)的图象过原点得 b=0, 又 f′(x)=3x2+2(1-a)x-a(a+2), f(x)在原点处的切线斜率是-3, 则-a(a+2)=-3,所以 a=-3 或 a=1. (Ⅱ)由 f′(x)=0,得 ,

又 f(x)在区间(-1,1)上不单调,即





14

解得





所以 a 的取值范围是 a 10.已知函数 f(x)=ax+ -3lnx. x (1)当 a=2 时,求 f(x)的最小值; (2)若 f(x)在[1,e]上为单调函数,求实数 a 的取值范围. 2 解:(1)当 a=2 时,f(x)=2x+ -3lnx, x 2 2 3 2x -3x-2 f′(x)=2- 2- = , 2 x x x 1 令 f′(x)=0,得 x=2 或 x=- (∵x>0,∴舍去负值). 2 列表: x (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) - 0 + f(x) ? 5-3ln2 ? ∴当 a=2 时,函数 f(x)的最小值为 5-3ln2. 2 ax -3x-a (2)∵f′(x)= , 2 x 2 3 2 9+4a 2 令 h(x)=ax -3x-a=a(x- ) - , 2a 4a 要使 f(x)在[1, e]上为单调函数, 只需 f′(x)在[1, e]内满足: f′(x)≥0 或 f′(x)≤0 恒成立,且等号只在孤立的点取得. 2 ∵h(1)=-3<0,∴h(e)=ae -3e-a≤0, 3e ∴a≤ 2 . e -1 3e ①当 0≤a≤ 2 时,f′(x)≤0 恒成立. e -1 3 ②当 a<0 时,x= ?[1,e], 2a ∴h(x)<0(x∈[1,e]), ∴f′(x)<0,符合题意. 3e 综上可知,当 a≤ 2 时,f(x)在[1,e]上为单调函数. e -1

15

8.已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x ? b (a, b? R) .
3 2

(I)若函数 f ( x) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a, b 的值; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ...

9.设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数. 3 2

(Ⅰ)已知函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ) 已知不等式 f ( x) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立, 求实数 x 的取值范围.
' 2

16

8.设 f ? x ? ? a ? x ? 5 ? ? 6 ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x? 在点 1, f ? 1? 处的切线与 y
2

?

?

轴相交于点 ? 0, 6 ? .

(1)确定 a 的值;

(2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值.

错误!未指定书签。 (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理) . )已知函数

f ( x) ? x ? a ln x(a ? R)
(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值.

错误!未指定书签。 (2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理) . )已知函数

f ( x) ? x ? a ln x(a ? R)
(1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f ( x) 的极值. 【答案】解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x ) ? 1 ?

a . x
17

(Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x ) ? x ? 2 ln x , f ?( x ) ? 1 ?

2 ( x ? 0) , x

? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , ? y ? f ( x ) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,
即x? y?2?0. (Ⅱ)由 f ?( x ) ? 1 ?

a x?a ? , x ? 0 可知: x x

①当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 ,函数 f ( x ) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x ) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x ) ? 0 ,解得 x ? a ;

? x ? (0, a ) 时, f ?( x ) ? 0 , x ? ( a, ??) 时, f ?( x ) ? 0

? f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a ) ? a ? a ln a ,无极大值.
综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值. 错误!未指定书签。(2013 年高考北京卷(理) . )设 L 为曲线 C: y ? 切线. (I)求 L 的方程; (II)证明:除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 【答案】解: (I)设 f ( x) ?

ln x 在点(1,0)处的 x

ln x 1 ? ln x ,则 f ?( x) ? .所以 f ?(1) ? 1 .所以 L 的方程为 x x2

y ? x ? 1 . (II)令 g ( x) ? x ? 1 ? f ( x) ,则除切点之外,曲线 C 在直线 l 的下方等价于 g ( x) ? 0 (?x ? 0, x ? 1) .
2

g ( x) 满足 g (1) ? 0 ,且 g ?( x) ? 1 ? f ?( x) ?

x 2 ? 1 ? ln x . x2

当 0 ? x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 单调递减; 当 x ? 1 时, x ? 1 ? 0 , ln x ? 0 ,所以 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 单调递增.
2

18

所以, g ( x) ? g (1) ? 0 ( x ? 0, x ? 1). 所以除切点之外,曲线 C 在直线 L 的下方. 又解: g ( x) ? 0 即 x ? 1 ?

ln x ? 0 变形为 x2 ? x ? ln x ? 0 ,记 h( x) ? x 2 ? x ? ln x ,则 x

h?( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 x 2 ? x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) , ? ? x x x

所以当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x ) 在(0,1)上单调递减; 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x ) 在(1,+∞)上单调递增. 所以 h( x) ? h(1) ? 0 .)

19

8. 已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ?

1 2 其中 a ? 0 . 设 x ? 2ax ,g ( x) ? 3a 2 ln x ? b , 2

两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同. (I)用 a 表示 b ,并求 b 的最大值; (II)求证: f ( x) ≥ g ( x) ( x ? 0 ) .

8.已知函数 f(x)=x -8lnx,g(x)=-x +14x. (1)求函数 f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数 f(x)与 g(x)在区间(a,a+1)上均为增函数,求 a 的取值范围; (3)若方程 f(x)=g(x)+m 有唯一解,试求实数 m 的值.

2

2

20

9(山东理)设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 .
2

(Ⅰ)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)求函数 f ( x) 的极值点;

(Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ?
2

?1 ? 1 1 ? 1? ? 2 ? 3 都成立. ?n ? n n

8.设 f ? x ? ? a ? x ? 5 ? ? 6 ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ? x? 在点 1, f ? 1? 处的切线与 y 轴相交于点 ? 0, 6 ? . (1)确定 a 的值; 【答案】 (2)求函数 f ? x ? 的单调区间与极值.

?

?

21

f (3) ? 2 ? 6ln 3

22


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