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湖北省恩施巴东县第一高级中学高中数学 §1.3.1函数的最大(小)值教案 新人教A版必修1


§1.3.1 函数的最大(小)值
一.教学目标 1.知识与技能: 理解函数的最大(小)值及其几何意义. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 2.过程与方法: 通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值,实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标,因而借 助函数图象的直观性可得出函数的最值,有利于培养以形识数的解题意识. 3.情态与价值 利用函数的单调性和图象求函数的最大(

小)值,解决日常生活中的实际问题,激发学生学习的积极 性. 二.教学重点和难点 教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义 教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 三.学法与教学用具 1.学法:学生通过画图、观察、思考、讨论,从而归纳出求函数的最大(小)值的方法和步骤. 2.教学用具:多媒体手段 四.教学思路 (一)创设情景,揭示课题. 画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? ① f ( x) ? ? x ? 3 ③ f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

② f ( x) ? ? x ? 3
2

x ?[?1, 2]

④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 x ?[?2, 2]

(二)研探新知 1.函数最大(小)值定义 最大值:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M . 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值. 思考:依照函数最大值的定义,结出函数 y ? f ( x) 的最小值的定义. 注意: ①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ; ②函数最大 (小) 应该是所有函数值中最大 (小) 的, 即对于任意的 x ? I , 都有 f ( x) ? M ( f ( x) ? m) .
1

2.利用函数单调性来判断函数最大(小)值的方法. ①配方法 ②换元法 ③数形结合法

(三)质疑答辩,排难解惑. 例 1. (教材 P30 例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解(略) 例 2.将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商品每个涨价 1 元,其销售量减 少 10 个,为了赚到最大利润,售价应定为多少? 解 : 设 利 润 为 y 元 , 每 个 售 价 为 x 元 , 则 每 个 涨 ( x - 50 ) 元 , 从 而 销 售 量 减 少

10( x ? 50)个, 共售出500-10(x-50)=100-10x(个)
∴ y=(x-40)(1000-10x)

=-10(x-70)2 ? 9000 (50 ? x <100)
∴ x ? 70时

ymax ? 9000

答:为了赚取最大利润,售价应定为 70 元.

例 3.求函数 y ? 解: (略)

2 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. x ?1

例 4.求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值. 解:令 t ? 1 ? x ? 0 有x ? ?t 2 ? 1则

1 5 y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? ?t ? 0 2 4 1 ??(t ? ) 2 ? 0 2 1 5 5 ??(t ? ) 2 ? ? 2 4 4 5 ? 原函数的最大值为 . 4
(四)巩固深化,反馈矫正. (1)求函数 y ?| x ? 3| ? | x ? 1| 的最大值和最小值. (2)如图,把截面半径为 25cm 的图形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长为 x ,面积为 y ,试将 y 表示成 x 的函数,并画出函数的大致图象,并判断怎样锯才能使得截面面积最大?
2

25

(五)归纳小结 求函数最值的常用方法有: (1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定 函数的最值. (2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值. (3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值. (六)设置问题,留下悬念. 1.课本 P39(A 组) 5. 2.求函数 y ? x ? 2x ?1 的最小值. 3.求函数 y ? x2 ? 2x ? 3当自变量x在下列范围内取值时的最值 . ① ?1 ? x ? 0 ② 0? x?3 ③ x ? (??, ??)

A组 一、选择题: 1.若一次函数 y ? kx ? b(k ? 0)在(??,??) 上是单调减函数,则点 ( k , b) 在直角坐标平面的( ) A.上半平面
2

B.下半平面 )

C.左半平面

D.右半平面

2.函数 y=x +x+2 单调减区间是( A .[-

1 ,+∞] 2

B. (-1,+∞)

C. (-∞,- ) C. y ? x ? 2

1 ) 2

D. (-∞,+∞)

3.下列函数在(0,3)上是增函数的是( A. y ?

1 x

B. y ? x ? 2

D. y ? x ? 2 x ? 1
2

4.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间(-∞,4)上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A.a≥3 B.a≤-3 C.a≥-3 D.a≤5



5.设 A=[1,b](b>1) , f ( x) ? A.

3 2

B.2

1 ( x ? 1) 2 ? 1( x ? A) ,若 f(x)的值域也是 A,则 b 值是( 2 7 C.3 D. 2
2



6.定义在 R 上的 f(x)满足 f(-x)=f(x) ,且在(-∞,0)上是增函数,若 f (a ? 1) ? f (1) ,则
3

a 的取值范围是( A. | a |?

) B.|a|>2 C. | a 2 ? 1 |? 1 D. | a |?

2

2

二、填空题: 7.若函数 f(x)=(-k +3k+4)x+2 是增函数,则 k 的范围是 8.定义在区间[a、b]上的增函数 f(x) ,最大值是________,最小值是________。 定义在区间[c,d]上的减函数 g(x) ,最大值是________,最小值是________。 9.一般地,家庭用电量 y(千瓦)与气温 x(℃)有函数关系 y ? f ( x) 。图(1)表示某年 12 个月中每月 的平均气温,图(2)表示某家庭在 12 个月中每月的用电量. 试在数集 A ? {x | 5 ? x ? 30, x 是 2.5 的整数倍}中确定一个最小值 x1 和最大值 x2 ,使 y ? f ( x)是[ x1 , x2 ] 上的增函数,则区间[ x1 ,
2

x2]=

.

10.读图分析:设定义在 ??4,4? 的函数 y ? f ( x) 的图象 如图所示(图中坐标点都是实心点) ,请填写以下几个空格:
5

y
4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1

(1)若 y ? f ( x) , x ? ??2,3? ,则 y ? ___________。 (2)若 y ? f ( x) 的定义域为 ??4,4? ,则函数 y ? f ( x ? 1) 的定义域为____________。 (3)该函数的单调增区间为__________、 __________、_________。 (4)方程 f ( x ) ? 3 ( x ? ??4,4? )的解个数为____(个)。
2

o
-1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

4

x

11.函数 y ? ? x ? 2x ? 1 在区间[-3,a]上是增函数,则 a 的取值范围是________。
2 12.函数 f ? x ? ? x ? 1 的单调递增区间是_______。

4

三、解答题: 13.画出函数 y ?| x 2 ? x ? 6 | 的图象,并求出此函数的单调区间。 14.利用函数单调性定义,证明函数 y ?

x 在(-1,1)上是增函数。 1? x2

5


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